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1、- - . - 歷年考研數(shù)學(xué)一真題1987-2017（答案+解析）2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，其二階導(dǎo)數(shù)的圖形如右圖所示，則曲線在的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【詳解】對(duì)于連續(xù)函數(shù)的曲線而言，拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于零或者不存在從圖上可以看出有兩個(gè)二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，以及一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)但對(duì)于這三個(gè)點(diǎn)，左邊的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)都是正的，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不是拐點(diǎn)而另外兩個(gè)點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是異號(hào)的，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)才是拐點(diǎn)，所以應(yīng)該選（C）2設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，則 （A）

2、（B）（C） （D）【詳解】線性微分方程的特征方程為，由特解可知一定是特征方程的一個(gè)實(shí)根如果不是特征方程的實(shí)根，則對(duì)應(yīng)于的特解的形式應(yīng)該為，其中應(yīng)該是一個(gè)零次多項(xiàng)式，即常數(shù)，與條件不符，所以也是特征方程的另外一個(gè)實(shí)根，這樣由韋達(dá)定理可得，同時(shí)是原來(lái)方程的一個(gè)解，代入可得應(yīng)該選（A）若級(jí)數(shù)條件收斂，則依次為級(jí)數(shù)的（）收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn) （）收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)(）發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn) （）發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【詳解】注意條件級(jí)數(shù)條件收斂等價(jià)于冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，也就是這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂為，即，所以的收斂半徑，絕對(duì)收斂域?yàn)?，顯然依次為收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)，應(yīng)該選（B）設(shè)D是第一象限中由曲線與直線所圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在D上連續(xù)

3、，則（ ） （）（）（）（）【詳解】積分區(qū)域如圖所示，化成極坐標(biāo)方程：也就是D：所以，所以應(yīng)該選（B）5設(shè)矩陣，若集合，則線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是（A） （B）（C） （D）【詳解】對(duì)線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：方程組無(wú)窮解的充分必要條件是，也就是同時(shí)成立，當(dāng)然應(yīng)該選（D）6設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若，則在下的標(biāo)準(zhǔn)形為（A） （B）（C） （D） 【詳解】，所以故選擇（A）7若為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】所以故選擇（C）8設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】故應(yīng)該選擇（D）二、填空題（本題共

4、6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 【詳解】10 【詳解】只要注意為奇函數(shù)，在對(duì)稱區(qū)間上積分為零，所以11若函數(shù)是由方程確定，則 【詳解】設(shè)，則且當(dāng)時(shí)，所以也就得到12設(shè)是由平面和三個(gè)坐標(biāo)面圍成的空間區(qū)域，則 【詳解】注意在積分區(qū)域內(nèi)，三個(gè)變量具有輪換對(duì)稱性，也就是13階行列式 【詳解】按照第一行展開(kāi)，得，有由于，得14設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則 【詳解】由于相關(guān)系數(shù)等于零，所以X，Y都服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立則三、解答題15（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，在時(shí)為等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù)的取值【詳解】當(dāng)時(shí)，把函數(shù)展開(kāi)到三階的馬克勞林公式，得由于當(dāng)時(shí)，是等價(jià)無(wú)窮小，則有，解得，1

5、6（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意的，曲線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達(dá)式【詳解】在點(diǎn)處的切線方程為令，得曲線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積為整理，得，解方程，得，由于，得所求曲線方程為17（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，曲線，求在曲線上的最大方向?qū)?shù)【詳解】顯然在處的梯度在處的最大方向?qū)?shù)的方向就是梯度方向，最大值為梯度的模所以此題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件下的條件極值用拉格朗日乘子法求解如下：令解方程組，得幾個(gè)可能的極值點(diǎn)，進(jìn)行比較，可得，在點(diǎn)或處，方向?qū)?shù)取到最大，為18（本題滿分10分）（1）設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明；（2）設(shè)函數(shù)都可

6、導(dǎo)，寫(xiě)出的求導(dǎo)公式【詳解】（1）證明：設(shè)由導(dǎo)數(shù)的定義和可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（2）19（本題滿分10分）已知曲線L的方程為，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，計(jì)算曲線積分【詳解】曲線L的參數(shù)方程為起點(diǎn)對(duì)應(yīng)，終點(diǎn)為對(duì)應(yīng)20（本題滿分11分）設(shè)向量組為向量空間的一組基，（1）證明：向量組為向量空間的一組基；（2）當(dāng)為何值時(shí)，存在非零向量，使得在基和基下的坐標(biāo)相同，并求出所有的非零向量【詳解】（1），因?yàn)?，且顯然線性無(wú)關(guān)，所以是線性無(wú)關(guān)的，當(dāng)然是向量空間的一組基（2）設(shè)非零向量在兩組基下的坐標(biāo)都是，則由條件可整理得：，所以條件轉(zhuǎn)化為線性方程組存在非零解從而系數(shù)行列式應(yīng)該等于零，也就是由于顯然線性無(wú)關(guān)，所以，也就是此時(shí)方程組

7、化為，由于線性無(wú)關(guān)，所以，通解為，其中為任意常數(shù)所以滿足條件的其中為任意不為零的常數(shù)21（本題滿分11分）設(shè)矩陣相似于矩陣（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣【詳解】（1）因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣相似，所以有，也就是（2）由，得A，B的特征值都為解方程組，得矩陣A的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為；解方程組得矩陣A的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為令，則22（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為對(duì)X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè)，直到第2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)時(shí)停止，記為次數(shù)求的分布函數(shù)；（1） 求的概率分布；（2） 求數(shù)學(xué)期望【詳解】（1）X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè)，得到觀測(cè)值大于3的概率為顯然Y的可能取值為且

8、（2）設(shè)23（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為其中為未知參數(shù)，是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單樣本（1）求參數(shù)的矩估計(jì)量；（2）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量【詳解】（1）總體的數(shù)學(xué)期望為令，解得參數(shù)的矩估計(jì)量：（2）似然函數(shù)為顯然是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，為了使似然函數(shù)達(dá)到最大，只要使盡可能大就可以，所以參數(shù)的最大似然估計(jì)量為2016年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選前的字母填在答題紙指定位置上。（1）若反常積分收斂，則（）。A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】，而當(dāng)時(shí)收斂，而此時(shí)不影響，而

9、當(dāng)時(shí)收斂，此時(shí)不影響，因此選擇C.（2）已知函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)是（）。A. B. C. D. 【答案】D【解析】對(duì)函數(shù)做不定積分可得原函數(shù)，因此選擇D.（3）若是微分方程的兩個(gè)解，則=（）。A. B. C. D. 【答案】A【解析】將代入微分方程可得： 而將代入微分方程可得：將這兩個(gè)式子相加可得：兩個(gè)式子相減可得：因此可得故選擇A.（4）已知函數(shù)，則（）。A. 是的第一類間斷點(diǎn)B. 是的第二類間斷點(diǎn)C. 在處連續(xù)但不可導(dǎo)D. 在處可導(dǎo)【答案】D【解析】，因此在處連續(xù)，而，而，因此，而左右兩邊的極限均為1，因此，故在可導(dǎo)，選擇D.（5）設(shè)是可逆矩陣，且與相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）。A. 與相

10、似B. 與相似C. 與相似D. 與相似【答案】C【解析】因?yàn)榕c相似，因此存在可逆矩陣，使得，于是有：，即，因此，因此，而C選項(xiàng)中，不一定等于，故C不正確，選擇C.（6）設(shè)二次型，則在空間直角坐標(biāo)系下表示的二次曲面為（）。A.單葉雙曲面B.雙葉雙曲面C.橢球面D.柱面【答案】B【解析】二次型對(duì)應(yīng)的矩陣，根據(jù)可以求得特征值為，因此二次型的規(guī)范形為，故可得，即，因此對(duì)應(yīng)的曲面為雙葉雙曲面，選擇B.（7）設(shè)隨機(jī)變量，記，則（）。A. 隨著的增加而增加B. 隨著的增加而增加C. 隨著的增加而減少D. 隨著的增加而減少【答案】B【解析】，因此選擇B，隨著的增加而增加.（8）隨機(jī)試驗(yàn)有三種兩兩不相容的結(jié)果，

11、且三種結(jié)果發(fā)生的概率均為，將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)做2次，表示2次試驗(yàn)中結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，表示2次試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)，則于的相關(guān)系數(shù)為（）。A.B.C.D.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，因此有，因此可得，故可得相關(guān)系數(shù)為：二、填空題，914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答疑紙指定位置上.（9）_.【答案】【解析】（10）向量場(chǎng)的旋度_.【答案】【解析】由旋度公式可得（11）設(shè)函數(shù)可微，由方程確定，則_.【答案】【解析】將兩邊分別關(guān)于求導(dǎo)可得：，。將代入原式可得，因此將代入關(guān)于求導(dǎo)的式子可得：，因此，代入關(guān)于求導(dǎo)的式子可得：，因此有，故可得.（12）設(shè)函數(shù)，且，則_.【答案】【解析】根據(jù)，可得：，然后

12、求二階導(dǎo)數(shù)為：此時(shí)（存疑）（13）行列式_.【答案】【解析】.（14）設(shè)為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值，參數(shù)的置信度為0.95的雙側(cè)知心區(qū)間的置信上限為10.8，則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為_(kāi).【答案】【解析】，因?yàn)椋?，因此可得，故可得置信區(qū)間為.三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。（15）（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，計(jì)算二重積分.【答案】【解析】（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足方程，其中.（）證明：反常積分收斂；（）若，求的值.【答案】（）；（）【解析】（）特征方程為，由可知，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即且，因此二階常系數(shù)齊次線性方程的解為：，故可得因此收斂.（）由，可得：，解得代入可得（17）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足，且，是從點(diǎn)到點(diǎn)的光滑曲線，計(jì)算曲線積分，并求的最小值.【答案】3【解析】根據(jù)可得：又故可知，因此所以， 設(shè)，則有因此，因此積分與路徑無(wú)關(guān)故因?yàn)?，所以，令可得而，因此，因此?dāng)有最小值為.（18）（本題滿分10分）設(shè)有界區(qū)域由平面與三個(gè)坐標(biāo)平面圍成，為整個(gè)表面的外側(cè)，計(jì)算曲面積分.【答案】【解析】，令由高斯公式可