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1、(完整word)2000-2017歷年考研數學一真題(答案+解析)歷年考研數學一真題1987-2017（答案+解析）(經典珍藏版)最近三年+回顧過去最近三年篇（20152017）2015年全國碩士研究生入學統一考試數學(一）試卷一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設函數在上連續(xù),其二階導數的圖形如右圖所示,則曲線在的拐點個數為（A）0 （B)1 (C）2 （D）3【詳解】對于連續(xù)函數的曲線而言,拐點處的二階導數等于零或者不存在從圖上可以看出有兩個二階導數等于零的點，以及一個二階導數不存在的點但對于這三個點,左邊的二階導數等于零的點的兩側二階導數都是正的，所以對應的點不是拐點而另外兩個點的兩

2、側二階導數是異號的，對應的點才是拐點,所以應該選(C）2設是二階常系數非齊次線性微分方程的一個特解，則 （A） （B）（C） (D）【詳解】線性微分方程的特征方程為,由特解可知一定是特征方程的一個實根如果不是特征方程的實根，則對應于的特解的形式應該為，其中應該是一個零次多項式，即常數，與條件不符，所以也是特征方程的另外一個實根，這樣由韋達定理可得,同時是原來方程的一個解，代入可得應該選(A）若級數條件收斂，則依次為級數的（）收斂點，收斂點 （）收斂點，發(fā)散點(）發(fā)散點，收斂點 （)發(fā)散點，發(fā)散點【詳解】注意條件級數條件收斂等價于冪級數在處條件收斂，也就是這個冪級數的收斂為,即,所以的收斂半徑，

3、絕對收斂域為，顯然依次為收斂點、發(fā)散點，應該選(B）設D是第一象限中由曲線與直線所圍成的平面區(qū)域,函數在D上連續(xù)，則（ ) (）（）（）(）【詳解】積分區(qū)域如圖所示，化成極坐標方程：也就是D:所以，所以應該選（B）5設矩陣，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件是（A） （B）（C） （D）【詳解】對線性方程組的增廣矩陣進行初等行變換:方程組無窮解的充分必要條件是，也就是同時成立，當然應該選(D）6設二次型在正交變換下的標準形為,其中,若，則在下的標準形為(A） （B)（C) （D） 【詳解】，所以故選擇（A）7若為任意兩個隨機事件，則（ ）(A） （B） （C） （D）【詳解】所以故選

4、擇（C）8設隨機變量不相關，且,則（ ）（A） (B） (C） （D）【詳解】故應該選擇（D）二、填空題（本題共6小題，每小題4分,滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 【詳解】10 【詳解】只要注意為奇函數，在對稱區(qū)間上積分為零，所以11若函數是由方程確定，則 【詳解】設，則且當時,，所以也就得到12設是由平面和三個坐標面圍成的空間區(qū)域,則 【詳解】注意在積分區(qū)域內，三個變量具有輪換對稱性,也就是13階行列式 【詳解】按照第一行展開，得，有由于，得14設二維隨機變量服從正態(tài)分布，則 【詳解】由于相關系數等于零，所以X，Y都服從正態(tài)分布，且相互獨立則三、解答題15(本題滿分10分）設函數，在

5、時為等價無窮小,求常數的取值【詳解】當時，把函數展開到三階的馬克勞林公式,得由于當時，是等價無窮小，則有,解得，16(本題滿分10分）設函數在定義域上的導數大于零，若對任意的,曲線在點處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且,求的表達式【詳解】在點處的切線方程為令，得曲線在點處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積為整理,得，解方程,得，由于,得所求曲線方程為17（本題滿分10分)設函數,曲線,求在曲線上的最大方向導數【詳解】顯然在處的梯度在處的最大方向導數的方向就是梯度方向,最大值為梯度的模所以此題轉化為求函數在條件下的條件極值用拉格朗日乘子法求解如下：令解方程組，得幾個可能的極值點，進行比較

6、，可得，在點或處，方向導數取到最大，為18（本題滿分10分）(1）設函數都可導，利用導數定義證明；（2）設函數都可導，寫出的求導公式【詳解】（1）證明：設由導數的定義和可導與連續(xù)的關系（2）19(本題滿分10分）已知曲線L的方程為，起點為,終點為,計算曲線積分【詳解】曲線L的參數方程為起點對應，終點為對應20（本題滿分11分)設向量組為向量空間的一組基，(1）證明：向量組為向量空間的一組基；(2）當為何值時，存在非零向量，使得在基和基下的坐標相同，并求出所有的非零向量【詳解】（1），因為，且顯然線性無關，所以是線性無關的，當然是向量空間的一組基（2)設非零向量在兩組基下的坐標都是，則由條件可整

7、理得：，所以條件轉化為線性方程組存在非零解從而系數行列式應該等于零，也就是由于顯然線性無關，所以，也就是此時方程組化為,由于線性無關，所以，通解為，其中為任意常數所以滿足條件的其中為任意不為零的常數21(本題滿分11分）設矩陣相似于矩陣(1）求的值;（2）求可逆矩陣，使為對角矩陣【詳解】（1）因為兩個矩陣相似，所以有，也就是（2)由,得A，B的特征值都為解方程組,得矩陣A的屬于特征值的線性無關的特征向量為；解方程組得矩陣A的屬于特征值的線性無關的特征向量為令，則22（本題滿分11分）設隨機變量X的概率密度為對X進行獨立重復的觀測,直到第2個大于3的觀測值出現時停止，記為次數求的分布函數；（1）

8、 求的概率分布;（2） 求數學期望【詳解】（1）X進行獨立重復的觀測，得到觀測值大于3的概率為顯然Y的可能取值為且（2）設23(本題滿分11分）設總體的概率密度為其中為未知參數，是來自總體的簡單樣本（1）求參數的矩估計量；(2）求參數的最大似然估計量【詳解】(1）總體的數學期望為令，解得參數的矩估計量:（2）似然函數為顯然是關于的單調遞增函數，為了使似然函數達到最大，只要使盡可能大就可以，所以參數的最大似然估計量為2016年全國碩士研究生入學統一考試數學（一）試卷一、選擇題：18小題,每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選前的字母填在答題紙指定位置

9、上。（1）若反常積分收斂，則（)。A. 且B. 且C. 且D。 且【答案】C【解析】，而當時收斂，而此時不影響,而當時收斂，此時不影響，因此選擇C.（2）已知函數，則的一個原函數是(）。A。 B。 C。 D. 【答案】D【解析】對函數做不定積分可得原函數，,因此選擇D.（3)若是微分方程的兩個解，則=()。A。 B. C. D。 【答案】A【解析】將代入微分方程可得： 而將代入微分方程可得：將這兩個式子相加可得：兩個式子相減可得：因此可得故選擇A.（4）已知函數，則（）.A. 是的第一類間斷點B. 是的第二類間斷點C。 在處連續(xù)但不可導D。 在處可導【答案】D【解析】，因此在處連續(xù)，而，而，因

10、此,而左右兩邊的極限均為1，因此,故在可導，選擇D。（5）設是可逆矩陣，且與相似，則下列結論錯誤的是（)。A。 與相似B. 與相似C。 與相似D. 與相似【答案】C【解析】因為與相似，因此存在可逆矩陣，使得，于是有：，即，因此，因此,而C選項中,不一定等于,故C不正確,選擇C。（6）設二次型，則在空間直角坐標系下表示的二次曲面為（）。A.單葉雙曲面B.雙葉雙曲面C.橢球面D.柱面【答案】B【解析】二次型對應的矩陣，根據可以求得特征值為,，因此二次型的規(guī)范形為，故可得,即，因此對應的曲面為雙葉雙曲面，選擇B.（7)設隨機變量，記,則(）。A。 隨著的增加而增加B. 隨著的增加而增加C。 隨著的增

11、加而減少D. 隨著的增加而減少【答案】B【解析】，因此選擇B,隨著的增加而增加。（8）隨機試驗有三種兩兩不相容的結果，且三種結果發(fā)生的概率均為，將試驗獨立重復做2次,表示2次試驗中結果發(fā)生的次數，表示2次試驗發(fā)生的次數,則于的相關系數為（）。A。B.C。D?！敬鸢浮俊窘馕觥扛鶕}意可知，因此有，因此可得,故可得相關系數為：二、填空題，914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答疑紙指定位置上。（9）_?！敬鸢浮俊窘馕觥?10)向量場的旋度_.【答案】【解析】由旋度公式可得（11）設函數可微，由方程確定，則_.【答案】【解析】將兩邊分別關于求導可得：，。將代入原式可得，因此將代入關于求導的式

12、子可得：，因此，代入關于求導的式子可得:,因此有，故可得。(12）設函數，且，則_.【答案】【解析】根據，可得：，然后求二階導數為：此時(存疑）(13）行列式_.【答案】【解析】.（14）設為來自總體的簡單隨機樣本,樣本均值，參數的置信度為0。95的雙側知心區(qū)間的置信上限為10。8,則的置信度為0。95的雙側置信區(qū)間為_.【答案】【解析】,因為，所以,因此可得，故可得置信區(qū)間為。三、解答題：1523小題,共94分。請將解答寫在答題紙指定位置上,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分10分)已知平面區(qū)域，計算二重積分?！敬鸢浮俊窘馕觥?16）（本題滿分10分）設函數滿足方程，

13、其中。(）證明：反常積分收斂；（)若，求的值.【答案】（)；(）【解析】（）特征方程為，由可知，特征方程有兩個不同的實根，即且，因此二階常系數齊次線性方程的解為：，故可得因此收斂。（）由，可得：,解得代入可得（17）（本題滿分10分）設函數滿足，且，是從點到點的光滑曲線，計算曲線積分，并求的最小值.【答案】3【解析】根據可得：又故可知，因此所以， 設，則有因此，因此積分與路徑無關故因為,所以，令可得而，因此,因此當有最小值為.（18）（本題滿分10分）設有界區(qū)域由平面與三個坐標平面圍成,為整個表面的外側，計算曲面積分?！敬鸢浮俊窘馕觥?，令由高斯公式可知:（19）（本題滿分10分）已知函數可導，

14、且。設數列滿足,證明：（）級數絕對收斂；(）存在，且.【答案】利用絕對收斂定義證明即可?！窘馕觥?）證：,因此有顯然收斂，因此絕對收斂.（）記，因此得，因為級數收斂，因此存在,因此存在，不妨設，,由可得,兩邊取極限可得,即若，這與矛盾,若，與矛盾，因此可得，即。（20）(本題滿分11分)設矩陣.當為何值時，方程無解、有唯一解、有無窮多解？在有解時，求解此方程.【答案】時，無解；時，有無窮多解，；且時,有唯一解，【解析】增廣矩陣為因此當即且時,有唯一解；設,代入,解得當代入設，因此可得，這兩個式子是矛盾的，因此方程組無解;當代入，此時方程組有無窮多解,將代入可得，解得，不妨設為自由未知量，則可得

15、（21)（本題滿分11分)已知矩陣（)求；（)設3階矩陣滿足。記，將分別表示成的線性組合.【答案】（)（）【解析】（）利用相似對角化，由得到特征值為,當時，代入中，求解方程組的解就是特征向量,即同理得到其他的兩個特征向量分別為：對應的特征向量為，對應的特征向量為,設,則有，因此可得，根據矩陣可以求得其逆矩陣為因此有（），因此可得、，所以因此有（22）（本題滿分11分）設二維隨機變量在區(qū)域上服從均勻分布，令（）寫出的概率密度；(）問與是否相互獨立？并說明理解；（）求的分布函數?！敬鸢浮浚ǎǎ┡c不獨立，因為（）的分布函數為:【解析】（）區(qū)域的面積為，因此服從均勻分布,因此有（）與不獨立因此,故不

16、獨立.(）因此可得(23）（本題滿分11分）設總體的概率密度為，其中為未知參數,為總體的簡單隨機抽樣,令。（）求的概率密度；()確定，使得為的無偏估計.【答案】（）的概率密度：（）【解析】（）根據題意，獨立同分布，因此可得當時，；當時,;當時,，因此可得概率密度函數為:(）,根據題意，如果為的無偏估計，則有，因此可得。2017年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。(1）若函數在連續(xù)，則（)。A. B. C。 D. 【答案】A【解析】由連續(xù)的定義可得，而,，因

17、此可得，故選擇A。（2)設函數可導,且，則（)。A。 B. C。 D。 【答案】C【解析】令,則有，故單調遞增，則，即，即，故選擇C。（3）函數在點處沿向量的方向導數為(）.A。12B。6C.4D。2【答案】D【解析】,因此代入可得,則有。（4）甲乙兩人賽跑,計時開始時，甲在乙前方10（單位：m)處,圖中,實線表示甲的速度曲線（單位：m/s)，虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數值依次為10，20，3,計時開始后乙追上甲的時刻記為（單位：s）,則（）。A。 B. C. D. 【答案】C【解析】從0到時刻，甲乙的位移分別為與，由定積分的幾何意義可知，因此可知.(5）設為n維單位列向量，E為

18、n維單位矩陣,則（）。A。 不可逆B. 不可逆C。 不可逆D。 不可逆【答案】A【解析】因為的特征值為0(n-1重）和1，所以的特征值為1（n1重)和0,故不可逆。（6）已知矩陣，則（）。A.A與C相似，B與C相似B. A與C相似，B與C不相似C。 A與C不相似，B與C相似D. A與C不相似，B與C不相似【答案】B【解析】A和B的特征值為2,2,1,但是A有三個線性無關的特征向量，而B只有兩個，所依A可對角化，B不可,因此選擇B.（7）設A，B為隨機事件，若,且的充分必要條件是（）。A. B。 C. D。 【答案】A【解析】由得，即，因此選擇A。（8)設來自總體的簡單隨機樣本，記,則下列結論中

19、不正確的是(）.A。 服從分布B. 服從分布C. 服從分布D. 服從分布【答案】B【解析】，故,，因此,故，故B錯誤,由可得,，則有，因此。二、填空題：914小題，每小題4分，共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上。（9)已知函數，則=_?！敬鸢浮?【解析】，因此，代入可得。(10）微分方程的通解為=_?！敬鸢浮?【解析】由，所以，因此，因此通解為：。（11）若曲線積分在區(qū)域內與路徑無關,則=_?！敬鸢浮?【解析】設,因此可得：，根據，因此可得。（12）冪級數在區(qū)間內的和函數=_.【答案】【解析】。（13）設矩陣，為線性無關的3維向量，則向量組的秩為_?！敬鸢浮?【解析】因為，而，因此，所以向

20、量組的秩2.（14)設隨機變量X的分布函數為，其中為標準正態(tài)分布函數，則=_.【答案】2【解析】因此可得。三、解答題： 1523小題，共94分，請將解答寫在答題紙指定位置上。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設函數具有2階連續(xù)偏導數，求.【答案】，【解析】因為,所以，因此因此得：（16）（本題滿分10分）求【答案】【解析】由定積分的定義可知，,然后計算定積分,（17)（本題滿分10分)已知函數由方程確定，求的極值。【答案】極大值為,極小值為?！窘馕觥繉﹃P于求導得：，令得，因此，當時，當時，。對關于再次求導得：，將代入可得當時，時,代入可得，當時，時，代入可得，因

21、此有函數的極大值為，極小值為.(18）(本題滿分10分）設函數在區(qū)間上具有2階導數，且，,證明：（）方程在區(qū)間內至少存在一個實根；(）方程在區(qū)間內至少存在兩個不同實根?！敬鸢浮?）證：因為，由極限的局部保號性知，存在，使得，而，由零點存在定理可知,存在，使得。（)構造函數，因此,因為，所以，由拉格朗日中值定理知，存在，使得,所以，因此根據零點定理可知存在，使得,所以,所以原方程至少有兩個不同實根。【解析】略（19）（本題滿分10分）設薄片型物體時圓錐面被柱面割下的有限部分，其上任一點的弧度為，記圓錐與柱面的交線為,（)求在平面上的投影曲線的方程；(）求的質量?！敬鸢浮?)；（)64?！窘馕觥?

22、）的方程為,投影到平面上為（），因此有。（20）(本題滿分11分）三階行列式有3個不同的特征值，且，（）證明；(）如果，求方程組的通解?！敬鸢浮浚ǎ┞裕?)。【解析】（)證：因為有三個不同的特征值，所以不是零矩陣，因此，若，那么特征根0是二重根，這與假設矛盾，因此，又根據，所以，因此。()因為，所以的基礎解系中只有一個解向量，又，即，因此基礎解系的一個解向量為。因為，故的特解為，因此的通解為.（21）(本題滿分11分)設在正交變換下的標準型為，求的值及一個正交矩陣?！敬鸢浮?正交矩陣【解析】二次型對應的矩陣為,因為標準型為,所以,從而，即,代入得，解得；當時，化簡得，對應的特征向量為；當時，,

23、化簡得，對應的特征向量為；當時，化簡得,對應的特征向量為；從而正交矩陣。（22）（本題滿分11分）設隨機變量和相互獨立，且的概率分布為，的概率密度為（）求；（）求的概率密度?！敬鸢浮浚ǎǎ窘馕觥?）由數字特征的計算公式可知：,則（）先求的分布函數，由分布函數的定義可知：。由于為離散型隨機變量，則由全概率公式可知（其中為的分布函數：）（23）（本題滿分11分)某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質量做次測量，該物體的質量是已知的，設次測量結果相互獨立，且均服從正態(tài)分布，該工程師記錄的是次測量的絕對誤差，利用估計(）求的概率密度；（）利用一階矩求的矩估計量；（）求的最大似然估計量.

24、【答案】（)(）（）【解析】（)因為,所以,對應的概率密度為，設的分布函數為,對應的概率密度為；當時，;當時，;則的概率密度為；()因為,所以，從而的矩估計量為；（）由題可知對應的似然函數為，取對數得:,所以,令，得,所以的最大似然估計量為?；仡欉^去篇（2000-2014)2000年全國碩士研究生入學統一考試數學(一）試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分。把答案填在題中橫線上）(1)=_。（2)曲面在點的法線方程為_.(3)微分方程的通解為_.(4)已知方程組無解,則= _。(5)設兩個相互獨立的事件和都不發(fā)生的概率為,發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等,則=_。二、選擇題

25、（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）(1）設、是恒大于零的可導函數,且,則當時,有（A)（B)(C）(D）(2)設為在第一卦限中的部分，則有（A）(B）（C）(D)(3）設級數收斂，則必收斂的級數為(A） (B） （C）（D) （4）設維列向量組線性無關,則維列向量組線性無關的充分必要條件為(A)向量組可由向量組線性表示 (B）向量組可由向量組線性表示(C）向量組與向量組等價 （D)矩陣與矩陣等價（5)設二維隨機變量服從二維正態(tài)分布,則隨機變量與 不相關的充分必要條件為(A）(B)（C）（D)三、(本題滿分6分

26、）求四、（本題滿分5分）設，其中具有二階連續(xù)偏導數具有二階連續(xù)導數,求五、(本題滿分6分)計算曲線積分，其中是以點為中心為半徑的圓周取逆時針方向.六、（本題滿分7分)設對于半空間內任意的光滑有向封閉曲面都有其中函數在內具有連續(xù)的一階導數，且求.七、(本題滿分6分）求冪級數的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點處的收斂性。八、（本題滿分7分)設有一半徑為的球體是此球的表面上的一個定點，球體上任一點的密度與該點到距離的平方成正比（比例常數），求球體的重心位置.九、（本題滿分6分）設函數在上連續(xù),且試證：在內至少存在兩個不同的點使十、(本題滿分6分)設矩陣的伴隨矩陣且，其中為4階單位矩陣，求矩陣。十一、(本題滿分8分)某適應性生產線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數統計,然后將熟練工支援其他生產部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊。新、老非熟練工經過培訓及實踐至年終考核有成為熟練工。設第年1月份統計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為和記成向量(1)求與的關系式并寫成矩陣形式：（2)驗證是的兩個線性無關的特征向量，并求出相應的特征值。（3)當時，求十二、（本題滿分8分)某流水線上每個產品不合格的概率為,各產品合格與否相對獨立，當出現1