11.11.已知函數(shù)已知函數(shù)f f(x x)的定義域為的定義域為N N，且對任意正整數(shù)，且對任意正整數(shù)x x，都有都有f f(x x)f f(x x1)1)f f(x x1)1)若若f f(0)(0)20042004，求，求f f(2004)(2004)解：因為解：因為f f(x x)f f(x x1)1)f f(x x1)1)所以所以f f(x x1)1)f f(x x)f f(x x2)2)兩式相加得兩式相加得0 0f f(x x1)1)f(xf(x2)2)即：即：f f(x x3)3)f f(x x)f f(x x6)6)f f(x x)12設(shè)函數(shù)f(x)對任一實數(shù)x滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求證：f(x)在-30，30上至少有13個零點且f(x)是以10為周期的函數(shù)。解f(x)關(guān)于x=2和x=7對稱。f(4)f(2+2)f(22)f(0)0,f(10)f(7+3)f(73)f(4)0，于是（0，10上至少有兩個零點。f(x10)f(73x)f(73x)f(4x)f(22x)f(22x)f(x)，f(x)以10為周期。f(30)=f(30310)=f(0)=0綜上，f(x)在30，30上至少有13個零點 13函數(shù)f(x)=的圖象的對稱軸方程為x=2，則常數(shù)a=4 .莆田四中 許沐英這里主要研究運用函數(shù)的概念及函數(shù)的性質(zhì)這里主要研究運用函數(shù)的概念及函數(shù)的性質(zhì)解題解題,函數(shù)的性質(zhì)通常是指函數(shù)的定義域、函數(shù)的性質(zhì)通常是指函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等等，對稱性等等，在解決與函數(shù)有關(guān)的在解決與函數(shù)有關(guān)的(如方程、如方程、不等式等不等式等)問題時，巧妙利用函數(shù)及其圖象問題時，巧妙利用函數(shù)及其圖象的相關(guān)性質(zhì)，可以使得問題得到簡化，從而的相關(guān)性質(zhì)，可以使得問題得到簡化，從而達到解決問題的目的達到解決問題的目的.關(guān)于函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)于函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，這里不再贅述，請大家參閱高中數(shù)學(xué)教材這里不再贅述，請大家參閱高中數(shù)學(xué)教材復(fù)復(fù)習(xí)習(xí),這里以例題講解應(yīng)用這里以例題講解應(yīng)用一一.函數(shù)奇偶性的定義：函數(shù)奇偶性的定義：如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意的一個）的定義域內(nèi)任意的一個x，都有：，都有：（1）f（x）=f（x），則稱），則稱 y=f（x）為奇函數(shù)）為奇函數(shù)（2）f（x）=f（x），則稱），則稱 y=f（x）為偶函數(shù)）為偶函數(shù)例例1：若：若 f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時，時，f(x)=x(43x),求當(dāng)求當(dāng)x時時,f(x)的解析式的解析式【解法解法1 1】x x0 0時，時，f f(x x)=)=x x(4(43 3x x)，在其上取三點在其上取三點P P1 1（0 0，0 0）、）、則它們關(guān)于原點的對稱點分別是則它們關(guān)于原點的對稱點分別是Q Q1 1(0(0，0)0)，設(shè)設(shè)x x時，時，34)32()(2-+=xaxf Q Q2 2在其上，在其上，在其上，在其上，解之，得解之，得解之，得解之，得a a=3=3，x x時，時，時，時，034)3234(2=-+-a)43(34)32(3)(2+=-+=xxxxf例例1：若：若 f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)是奇函數(shù)，當(dāng)x x0 0時，時，時，時，f f(x x)=)=x x(4(43 3x x),),求當(dāng)求當(dāng)x x時時,f(x)的解析式的解析式【解法解法2】設(shè)設(shè)x0，則，則x0 f(x)=(x)(4+3x)f(x)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，f(x)=f(x)x0時，時，f(x)=f(x)=x(4+3x)例例例例2 2 已知函數(shù)已知函數(shù)已知函數(shù)已知函數(shù) f f(x x)對任意實數(shù)對任意實數(shù)對任意實數(shù)對任意實數(shù)a a，b b都有都有 ，且，且，且，且f f（0 0）0 0，則，則，則，則f f(x x)是是是是 （A A）奇函數(shù)非偶函數(shù)）奇函數(shù)非偶函數(shù)）奇函數(shù)非偶函數(shù)）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B B）偶函數(shù)非奇函數(shù)）偶函數(shù)非奇函數(shù)）偶函數(shù)非奇函數(shù)）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C C）是奇函數(shù)也是偶函數(shù)）是奇函數(shù)也是偶函數(shù)）是奇函數(shù)也是偶函數(shù)）是奇函數(shù)也是偶函數(shù)（D D）既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)）既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)）既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)）既非奇函數(shù)也非偶函數(shù) 例例例例3 3 函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)y y=f f(x x)在在在在 (-(-,0,0 上是減函數(shù)，而函數(shù)上是減函數(shù)，而函數(shù)上是減函數(shù)，而函數(shù)上是減函數(shù)，而函數(shù) y y=f f(x x+1)+1)是偶函數(shù)設(shè)是偶函數(shù)設(shè)是偶函數(shù)設(shè)是偶函數(shù)設(shè) ，b b=f f(3)(3)，c c=f f()那么那么那么那么a a，b b，c c的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是_._.【解解解解】,c c=f f()y y=f f(x x+1)+1)是偶函數(shù)是偶函數(shù)是偶函數(shù)是偶函數(shù) y y=f f(x x)的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于x x=1=1對稱，對稱，對稱，對稱，于是由于是由于是由于是由y y=f f(x x)在在在在(-(-,0,0上遞減知，上遞減知，上遞減知，上遞減知，f f(x x)在在在在2,+)2,+)上遞增上遞增上遞增上遞增 f f(2)=2)=f f(4)(4)而而而而 2 23 3 4 4 f f(3)(3)f f()f f(4)(4)，即，即，即，即b bc ca a 例例4.設(shè)設(shè)f(x)是是R上的奇函數(shù)，且上的奇函數(shù)，且f(x3)f(x)，當(dāng)，當(dāng)0 x 時，時，f(x)x，則，則f(2003)()A.1B.0C.1D.2003解：解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x)f(x)的周期為的周期為6f(2003)f(63351)f(1)f1用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:(1).設(shè)設(shè)x1x2,并是某個區(qū)間上任意二并是某個區(qū)間上任意二值值;(2).作差作差 f(x1)f(x2);(3).判判斷斷 f(x1)f(x2)的符的符號號:(4).作作結(jié)論結(jié)論.分解因式分解因式,得出因式得出因式x1x2.配成非負(fù)實數(shù)和配成非負(fù)實數(shù)和.方法小結(jié)方法小結(jié)二二.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 例例例例5 5 已已已已知知知知函函函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) ，判判判判斷斷斷斷該該該該函函函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)在在在在區(qū)間區(qū)間區(qū)間區(qū)間 上的單調(diào)性，并說明理由上的單調(diào)性，并說明理由上的單調(diào)性，并說明理由上的單調(diào)性，并說明理由【解法解法1】設(shè)設(shè) 11)(212112+-+-=xxxxxx22112111)()(xxxxxfxf+-+=-+-=111)(211212xxxxxx f(x1)f(x2)故函數(shù)故函數(shù) 是減函數(shù)是減函數(shù) 111112121122+xxxxxxxx1111212 +-xxxxxxxf-+=1)(【解法解法2】x0時，時，和和 都是增函數(shù)，都是增函數(shù)，也是增函數(shù)，也是增函數(shù)，從從而而 是是 上上的的減減函函數(shù)數(shù)xxxxy+=-+=111xx+1xxy+=11)+,0例例例例6 6 填空填空填空填空（1 1）函函函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù) 的的的的遞遞遞遞增增增增區(qū)區(qū)區(qū)區(qū)間間間間是是是是_（2 2）函數(shù)）函數(shù)）函數(shù)）函數(shù) 遞減區(qū)間是遞減區(qū)間是遞減區(qū)間是遞減區(qū)間是_ 在在在在y y軸軸軸軸左左左左側(cè)側(cè)側(cè)側(cè)，增增增增減減減減的的的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)折折折折點點點點是是是是x x=2 2，且且且且先先先先減減減減后增，故后增，故后增，故后增，故-2,0-2,0 是遞增區(qū)間；是遞增區(qū)間；是遞增區(qū)間；是遞增區(qū)間；在在在在y y軸右側(cè)，增減的轉(zhuǎn)折點是軸右側(cè)，增減的轉(zhuǎn)折點是軸右側(cè)，增減的轉(zhuǎn)折點是軸右側(cè)，增減的轉(zhuǎn)折點是x x=2=2，且先減后，且先減后，且先減后，且先減后增，故增，故增，故增，故2,+2,+)是遞增區(qū)間是遞增區(qū)間是遞增區(qū)間是遞增區(qū)間 654321-1-2-3-4-5-6-7-6-4-224例例7.已知已知(3xy)2001x20014xy0，求求4xy的值的值.解：構(gòu)造函數(shù)解：構(gòu)造函數(shù)f(x)x2001x，則，則 f(3xy)f(x)0注意到注意到f(x)是奇函數(shù)且為是奇函數(shù)且為R上的增函數(shù)，上的增函數(shù)，所以所以 3xyx 4xy0例例8解方程：解方程：ln(x)ln(2x)3x0解：構(gòu)造函數(shù)解：構(gòu)造函數(shù)f(x)ln(x)x則由已知得：則由已知得：f(x)f(2x)0不難知，不難知，f(x)為奇函數(shù)，且在為奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)上是增函數(shù)(證明略證明略)所以所以f(x)f(2x)f(2x)由函數(shù)的單調(diào)性，得由函數(shù)的單調(diào)性，得x2x所以原方程的解為所以原方程的解為x0思考思考1,2,31,2,3練習(xí)練習(xí)函數(shù)方程函數(shù)方程與迭代與迭代思考思考1答案答案思考思考3 3答案答案3答案答案4答案答案