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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)單調(diào)性和奇偶性專題1 知識點(diǎn)精講：一、單調(diào)性1.函數(shù)的單調(diào)性定義：一、函數(shù)單調(diào)性的定義及性質(zhì) （1）定義對于給定區(qū)間上的函數(shù)，如果對任意，當(dāng)，都有，那么就稱在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)，都有，那么就稱在區(qū)間上是減函數(shù)與之相等價(jià)的定義：，或都有則說在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。其幾何意義為：增（減）函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于（或小于）0。（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)），就說在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。如函數(shù)是增函數(shù)則稱區(qū)間為增區(qū)間，如函數(shù)為減函數(shù)則稱區(qū)間為減區(qū)間。單調(diào)性反映函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函

2、數(shù)在區(qū)間上都是增函數(shù)，但它在區(qū)間上不一定是增函數(shù)。（3）判斷單調(diào)函數(shù)的方法：定義法，其步驟為：在該區(qū)間上任取，作差、化積、定號；互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性；奇函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，而偶函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上卻有相反的單調(diào)性；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的根據(jù)：設(shè)都是單調(diào)函數(shù)，則在上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性是與單調(diào)性相同則是增函數(shù)，單調(diào)性相反則是減函數(shù)。幾個(gè)與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的結(jié)論：（）增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；（）增函數(shù)減函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)=減函數(shù)。如果在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（或減函數(shù)），那么.在區(qū)間的任意一個(gè)子區(qū)間上也是增函數(shù)（或減函數(shù)）。（4）常見一些

3、函數(shù)的單調(diào)性：一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在和上都是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在和上都是增函數(shù)二次函數(shù)，當(dāng)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，和在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，當(dāng)，和在其定義域內(nèi)為減函數(shù)。二、奇偶性對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有或，則稱為奇函數(shù). 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有或，則稱為偶函數(shù). 偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。通常采用圖像或定義判斷函數(shù)的奇偶性. 具有奇偶性的函數(shù)，其定義域原點(diǎn)關(guān)于對稱（也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）2 經(jīng)典例題剖析：（不帶答案版）單調(diào)性:例1

4、（1）函數(shù)f(x)|x2|x的單調(diào)減區(qū)間是_.（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間_；變式：（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為 （2）設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)x2f(x1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是_例2：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的范圍_；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的范圍_。變式：（1）已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_（2）函數(shù)y=loga（2ax）在0，1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_.例3設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x1對稱，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)3x1，則, 之間的大小關(guān)系是_.例4定義新運(yùn)算：當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)a<b時(shí)，abb2，則函

5、數(shù)f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_.例5： （1）用定義證明在上是減函數(shù)。變式：用定義證明函數(shù) 在上的單調(diào)性。例6：已知函數(shù)，常數(shù)）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍變式：已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的范圍。例7： 設(shè)函數(shù)，判斷在其定義域上的單調(diào)性。 例8：求（且）的單調(diào)區(qū)間。例9：設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，求 的最小值奇偶性例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） （2）（3） （4） （5）變式：判斷函數(shù)的奇偶性 例2：已知是偶函數(shù)，時(shí)，求時(shí)的解析式.變式：已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求、.例3：若是偶函數(shù)，且在上增函數(shù)，又，求的解集。例4：（1）定義在上的奇函數(shù)是減函數(shù)，解關(guān)于的不等

6、式：。（2）定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且成立，求的取值范圍。變式：（1）定義在上的偶函數(shù)，上為增函數(shù)，且成立，求的取值范圍。（2）定義在上的奇函數(shù)是減函數(shù)，且成立，求的取值范圍。例5：已知函數(shù)對任意都有，并且當(dāng)時(shí)，。（1）求證：在上是增函數(shù)；（2）若,求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍。變式：（1）設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)。試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給予證明。（2）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)0，且在(，0)上單調(diào)遞增，如果x1x2<0且x1x2<0，則f(x1)f(x2)的取值范圍是_.例6：已知函數(shù)f（x）=x+m（p0）是奇函數(shù)，當(dāng)x

7、1，2時(shí)，求f（x）的最大值和最小值.變式：設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)。（1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）求函數(shù)的最小值3 經(jīng)典例題剖析：（部分帶答案版）單調(diào)性:例1（1）函數(shù)f(x)|x2|x的單調(diào)減區(qū)間是_.解 由于f(x)|x2|x結(jié)合圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是1,2（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間_；【分析】對函數(shù)，是由向右平移1個(gè)單位得到，由反比例函數(shù)性質(zhì)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，特別注意：單調(diào)區(qū)間不能寫成，可舉反例說明；【解】上單調(diào)遞增；變式：（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為 （2）設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)x2f(x1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是_【解析】由題意知g(x)函數(shù)圖象如圖所示，其遞減區(qū)間是0,1)例2：（1）

8、函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的范圍_；【分析】關(guān)于二次函數(shù)的單調(diào)性，注意看兩個(gè)方面，即開口方向和對稱軸，注意結(jié)合二次函數(shù)的圖像解題.問題（1）中給定了函數(shù)在上單調(diào)遞減，而圖象開口向上，因此對稱軸應(yīng)在的右邊，從而；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的范圍_。【分析】函數(shù)，由圖象可知函數(shù)在的范圍內(nèi)，當(dāng)遞減，當(dāng)遞增，由題意在上單調(diào)遞增得。變式：（1）已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【解析】 函數(shù)f(x)x22ax3的圖象開口向上，對稱軸為直線xa，畫出草圖如圖所示由圖象可知，函數(shù)在(，a和a，)上都具有單調(diào)性，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，只需a1

9、或a2，從而a(，12，)（2）函數(shù)y=loga（2ax）在0，1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_.【解析】題中隱含a0，2ax在0，1上是減函數(shù).y=logau應(yīng)為增函數(shù)，且u=2ax在0，1上應(yīng)恒大于零.1a2.例3設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x1對稱，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)3x1，則, 之間的大小關(guān)系是_.【解析】由題設(shè)知，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，而x1為對稱軸，例4定義新運(yùn)算：當(dāng)ab時(shí)，aba；當(dāng)a<b時(shí)，abb2，則函數(shù)f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_.【解析】 f(x)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，所以最大值6。

10、例5：用定義證明在上是減函數(shù)?！咀C明】 設(shè),，且，則由于，則，即，所以在上是減函數(shù)。變式：用定義證明函數(shù) 在上的單調(diào)性?！咀C明】設(shè)、，且，則，又，所以，當(dāng)、時(shí)，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)、時(shí)，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。綜上函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)。注 由于與0的大小關(guān)系不是明確的，因此要分段討論。討論的方法是令，則，解得。例6：已知函數(shù)，常數(shù)）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍【解析】設(shè)，則 ， 要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立 ，還要，即恒成立 又，所以的取值范圍是 變式：已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的范圍。【答案】以上例題都是用定義法判定函數(shù)單調(diào)性，基本方法是作差-化積-定號。這種方法

11、思路比較清晰，但通常過程比較繁瑣，有時(shí)也可以利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)來判斷其他函數(shù)的單調(diào)性。例7： 設(shè)函數(shù)，判斷在其定義域上的單調(diào)性。 【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?先判斷在內(nèi)的單調(diào)性，由題可把轉(zhuǎn)化為，又故，雖x的增大而減小，所以在上為減函數(shù)；同理可判斷在內(nèi)也是減函數(shù)。故函數(shù)在和內(nèi)是減函數(shù)（本題在內(nèi)也是減函數(shù)）。變式：已知，若，試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。函數(shù)性質(zhì)法只能借助于我們熟悉的單調(diào)函數(shù)去判斷一些函數(shù)的單調(diào)性，因此首先把函數(shù)等價(jià)地轉(zhuǎn)化成我們熟悉的單調(diào)函數(shù)的四則混合運(yùn)算的形式，然后利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)去判斷，但有些函數(shù)不能化成簡單單調(diào)函數(shù)四則混合運(yùn)算形式就不能采用這種方法。例8：求（且）的單調(diào)區(qū)間。【

12、解析】由題可得函數(shù)是由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)符合而成。由題知函數(shù)的定義域是。內(nèi)函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)。若，外函數(shù)為增函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)在上是增函數(shù)；函數(shù)在上是減函數(shù)。若，外函數(shù)為減函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)在上是減函數(shù)；函數(shù)在上是增函數(shù)。小結(jié)：判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：合理地分解成兩個(gè)基本初等函數(shù)；分別解出兩個(gè)基本初等函數(shù)的定義域；分別確定單調(diào)區(qū)間；若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相同，則為增函數(shù)，若為一增一減，則為減函數(shù)（同增異減）；求出相應(yīng)區(qū)間的交集，即是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。一分二求三定四交 同增異減確定區(qū)間例9：設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，求 的最小值【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，若，

13、則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最小值為；若，函數(shù)在上的最小值為，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)，若，則函數(shù)在上的最小值為，且；若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上的最小值綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，當(dāng)，函數(shù)的最小值是奇偶性例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） （2）（3） （4） （5）變式：判斷函數(shù)的奇偶性 例2：已知是偶函數(shù)，時(shí)，求時(shí)的解析式.變式：已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求、.例3：若是偶函數(shù)，且在上增函數(shù)，又，求的解集?！窘馕觥俊＠?：（1）定義在上的奇函數(shù)是減函數(shù)，解關(guān)于的不等式：。【解析】不等式可化簡為由于函數(shù)是奇函數(shù)因此則有, 解得 或， 即 不等式f (1a)f (1a2)<0的解集是a| -1<a<0（2）定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且成立，求的取值范圍?！敬鸢浮孔兪剑海?）定義在上的偶函數(shù)，上為增函數(shù)，且成立，求的取值范圍。