*三、二重積分換元法三、二重積分換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分計(jì)算法 第九章 1/31一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí),由曲頂柱體體積計(jì)算可知,若D為 X 型區(qū)域 則若D為Y 型區(qū)域則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2/31當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)均非負(fù)在D上變號(hào)變號(hào)時(shí),所以上面討論累次積分法依然有效.因?yàn)闄C(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3/31說(shuō)明說(shuō)明:(1)若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序選擇積分序,必要時(shí)還能夠交換積分序交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4/31例例1.計(jì)算其中D 是直線 y1,x2,及yx 所圍閉區(qū)域.解法解法1.將D看作X型區(qū)域,則解法解法2.將D看作Y型區(qū)域,則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5/31例例2.計(jì)算其中D 是拋物線所圍成閉區(qū)域.解解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì) x 后對(duì) y 積分,及直線則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6/31例例3.計(jì)算其中D 是直線 所圍成閉區(qū)域.解解:由被積函數(shù)可知,所以取D 為X 型域:先對(duì) x 積分不行,說(shuō)明說(shuō)明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分次序.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7/31例例4.交換以下積分次序解解:積分域由兩部分組成:視為Y型區(qū)域,則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 8/31例例5.計(jì)算其中D 由所圍成.解解:令(如圖所表示)顯然,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 9/31對(duì)應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓 r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)小區(qū)域外,小區(qū)域面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線 =常數(shù),分劃區(qū)域D 為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 10/31即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11/31設(shè)則尤其尤其,對(duì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 12/31若 f 1 則可求得D 面積思索思索:以下各圖中域 D 分別與 x,y 軸相切于原點(diǎn),試答答:問 改變范圍是什么?(1)(2)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 13/31例例6.計(jì)算其中解解:在極坐標(biāo)系下原式原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無(wú)法用直角因?yàn)楣首鴺?biāo)計(jì)算.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 14/31注注:利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用反常積分公式實(shí)際上,當(dāng)D 為 R2 時(shí),利用例6結(jié)果,得故式成立.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 15/31例例7.求球體被圓柱面所截得(含在柱面內(nèi))立體體積.解解:設(shè)由對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 16/31定積分換元法*三、二重積分換元法三、二重積分換元法 滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理定理:變換:是一一對(duì)應(yīng),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 17/31證證:依據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可逆.用平行于坐標(biāo)軸 直線分割區(qū)域 任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為經(jīng)過變換T,在 xoy 面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 18/31同理得當(dāng)h,k 充分小時(shí),曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形,故其面積近似為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 19/31所以面積元素關(guān)系為從而得二重積分換元公式:比如比如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 20/31例例8.計(jì)算其中D 是 x 軸 y 軸和直線所圍成閉域.解解:令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 21/31例例9.計(jì)算由所圍成閉區(qū)域 D 面積 S.解解:令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22/31例例10.試計(jì)算橢球體解解:由對(duì)稱性令則D 原象為體積V.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 23/31內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)閯t 若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 24/31則(2)普通換元公式且則極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 25/31(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡可能多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 26/31思索與練習(xí)思索與練習(xí)1.設(shè)且求提醒提醒:交換積分次序后,x,y交換機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 27/312.交換積分次序提醒提醒:積分域如圖機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 28/31作業(yè)作業(yè)P95 1(2),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4);*19(1);*20(2)第三節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 29/31解：解：原式備用題備用題1.給定改變積分次序.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 30/312.計(jì)算其中D 為由圓所圍成及直線解：解：平面閉區(qū)域.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 31/31