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1、第四章 一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用,一、函數(shù)的最值 二、實際問題的最值 三、經(jīng)濟學(xué)中的優(yōu)化問題,第七節(jié) 優(yōu)化問題,第七節(jié) 優(yōu)化問題,在實際問題中經(jīng)常遇到需要解決在一定條件下的“產(chǎn)值最高”、“成本最低”、“效益最大”、“耗時最小”等問題，這類問題在數(shù)學(xué)上?？梢詺w結(jié)為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值或最小值問題，這里統(tǒng)稱為優(yōu)化問題. 在本節(jié)主要討論函數(shù)的最值問題求解，實際問題最值的求解，以及經(jīng)濟學(xué)中典型的優(yōu)化問題。,一、函數(shù)的最值,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理可知，如果f (x)在a ,b上連續(xù), 則f (x)在a ,b上必定能 取得最大值與最小值. 由圖形可以看出,由此可以看到：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值只

2、能在極值點和端點處取得.,在區(qū)間a, b上,在區(qū)間a, c上,(2)求出f (x)在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)不存在的點及其函數(shù)值.,(1)求出f (x)在(a,b)內(nèi)的駐點及其對應(yīng)的函數(shù)值.,(4)比較駐點值、導(dǎo)數(shù)不存在點值及端點值大小.,求a ,b上連續(xù)函數(shù)最值的步驟：,(3)求出f (x)在區(qū)間端點處函數(shù)值 f (a)和 f (b).,其中最大的值即為最大值，最小的值即為最小值，相應(yīng)的點為最大值點和最小值點.,例,比較各值可得函數(shù)的最值為,二、實際問題的最值,在求解實際問題最值時常遇到下述兩種情況： （1）對于可導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)部(不是端點處)如果可以根據(jù)實際問題的性質(zhì)斷定存在最大值（最小值），

3、且區(qū)間的內(nèi)部有惟一駐點，則可斷定在該駐點取得相應(yīng)的最大值（最小值） （2）若連續(xù)函數(shù)在定義區(qū)間 內(nèi)只有一個可能極大值(極小值) 點，則可斷定在該點取得相應(yīng)的 最大值（最小值）,（3）最值的判別： 如果目標(biāo)函數(shù)可導(dǎo), 其駐點唯一, 且實際意義表明函數(shù)的最大(小)值存在, 那么所求駐點就是函數(shù)的最大(小)值點.,求實際問題最值的步驟,（2）求出目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的駐點.,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的極大（?。┲迭c，則此極值點即為其最大（?。┲迭c.,（1）由實際意義建立目標(biāo)函數(shù)；,例 欲圍一個面積為150平方米的矩形場地，所用材料的造價其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.問場地的長、寬為多少

4、米時, 才能使所用材料費最少？,所使用材料的費用為 f (x),因矩形場地面積為x y =150,則,由于駐點唯一, 由實際意義可知, 問題的最小值存在, 因此當(dāng)正面長為10米, 側(cè)面長為15米時, 所用材料費最少.,所用材料費為,例 敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？,解,敵我相距函數(shù),得唯一駐點,例(拐角問題) 拐角問題是日常生活中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象.如樓道與河道的拐角.設(shè)有一“T”形樓道（如圖）,現(xiàn)欲將L米長的鋼管由A樓道水平扛至B樓道,若樓道寬分別為a米與b米,問要

5、想讓管子從A樓道通過拐角至B樓道,對管子的最大長度為何？并說明當(dāng)樓道寬度分為2米和3米時,8米長的管能否水平通過拐角？,分析 欲使鋼管水平地從A樓道經(jīng)過拐角到達B樓道，必須使管子能通過拐角的最窄處，只有當(dāng)管子的長度不超過 的最小值時管子才能水平通過拐角。,解 假設(shè)管子直徑很小，將管子近似看成線段.,由,由實際意義知最值存在，所以當(dāng) 時, L達到最小值,故鋼管的長度不超過 時可通過拐角.,驗證當(dāng) 米， 米時，,這說明鋼管的長度大于L的最小值，所以8米長的鋼管不能水平扛過拐角。,思考：如考慮樓道的高度，則管子可以有一傾角，這對能通過拐角的最大管長有何影響？,例（血管分支問題） 在生物學(xué)中,對于血管

6、分支問題,要研究血管分支處分支血管的半徑及血管間夾角對血液流動阻力的影響.現(xiàn)假設(shè)主動脈A從心臟引出,現(xiàn)在P和Q之間的某個地方設(shè)置一輔助動脈,以便心臟把營養(yǎng)送給在R處的一個器官, 問接頭點S應(yīng)在何方,方能使得 血液沿著通路流動時,阻力R最 小（如圖）？,根據(jù)粘性流體在管道中流動時所受的阻力定律知, 血液流動時所受阻力 ，這里L(fēng)為血管長度，r為血管半徑，R為阻力，k為比例常數(shù)。,解 設(shè)主動脈與輔助動脈夾角為，,當(dāng)血液沿著PSR通路流動時所受阻力為,下面求 最小值,因為,所以,令,得,即,所以當(dāng) 時,通路上血液流動阻力最小,此時S點距P點相距 .,三、經(jīng)濟學(xué)中優(yōu)化問題,經(jīng)濟學(xué)中許多問題與優(yōu)化問題相關(guān)，如銷售產(chǎn)品的最大利潤，產(chǎn)品的收益最大，生產(chǎn)投入的平均成本最低，商品的庫存費用最小等等.,例 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品 q 單位的總成本（單位:元）為,若每單位產(chǎn)品的價格為120元，求使利潤最大的產(chǎn)量.,解 生產(chǎn)q個單位產(chǎn)品時，總收益為 則總利潤函數(shù)為,所以,所以，當(dāng)q=22時，利潤最大，最大利潤為436/3元.,例 已知產(chǎn)品的需求函數(shù) ，求總收益最大時的需求量和產(chǎn)品的價格.,解 總收益函數(shù)為,故總收益最大時的價格為 ，這時的需求量為,