《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何 2.2 直線(xiàn)及其方程 2.2.4 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離學(xué)案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊(cè).doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何 2.2 直線(xiàn)及其方程 2.2.4 點(diǎn)到直線(xiàn)的距離學(xué)案（含解析）新人教B版選擇性必修第一冊(cè).doc-匯文網(wǎng)（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、2.2.4點(diǎn)到直線(xiàn)的距離必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離(1)公式：點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)l：AxByC0的距離d.(2)本質(zhì)：用代數(shù)方法求平面內(nèi)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離能不能直接用直線(xiàn)的斜截式方程求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離？提示：不能，必須先化成一般式，再代入公式求距離2兩條平行直線(xiàn)間的距離(1)定義：兩條平行直線(xiàn)間的距離是指夾在這兩條平行直線(xiàn)間的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)(2)公式：直線(xiàn)l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離d(3)本質(zhì)：用代數(shù)方法求平面內(nèi)兩條平行直線(xiàn)間的距離直線(xiàn)l1，l2的方程具備什么特征時(shí)，才能直接應(yīng)用公式求距離？提示：直線(xiàn)l1，l2的方程必須是一般式，且一次項(xiàng)系數(shù)A，B相同

2、1辨析記憶(對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“×”)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到與x軸平行的直線(xiàn)yb(b0)的距離dy0b.()(2)點(diǎn)P(x0，y0)到與y軸平行的直線(xiàn)xa(a0)的距離d|x0a|.()(3)兩直線(xiàn)2x2ym與xy2n的距離為.()提示：(1)×.點(diǎn)P(x0，y0)到與x軸平行的直線(xiàn)yb(b0)的距離應(yīng)為d|y0b|，因?yàn)閥0與b的大小不確定(2).點(diǎn)P(x0，y0)到與y軸平行的直線(xiàn)xa(a0)的距離d|x0a|，式子中加了絕對(duì)值，所以正確(3)×.求兩條平行線(xiàn)間的距離必須先把x與y的系數(shù)變?yōu)橄嗤问?原點(diǎn)到直線(xiàn)x2y50的距離為()A1 B C2 D【解析

3、】選D.d.3兩條平行線(xiàn)l1：3x4y70和l2：3x4y120的距離為()A3 B2 C1 D【解析】選C.d1.4(教材二次開(kāi)發(fā)：例題改編)若第二象限內(nèi)的點(diǎn)P(m，1)到直線(xiàn)xy10的距離為，則m的值為_(kāi).【解析】由，得m4或m0，又因?yàn)閙<0，所以m4.答案：4關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1點(diǎn)P(1，1)到直線(xiàn)l：3y2的距離是()A3 B C1 D2已知點(diǎn)M(1，4)到直線(xiàn)l：mxy10的距離為3，則實(shí)數(shù)m()A0 B C3 D0或3已知點(diǎn)P(1t，13t)到直線(xiàn)l：y2x1的距離為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(0，2) B(2，4)C(0，2)或(

4、2，4) D(1，1)4點(diǎn)P(x，y)在直線(xiàn)xy40上，則x2y2的最小值是()A8 B2 C D16【解析】1.選B.點(diǎn)P(1，1)到直線(xiàn)l的距離d.2選D.點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離d，所以3，解得m0或m.3選C.直線(xiàn)l：y2x1可化為2xy10，依題意得，整理得|t|1，所以t1或1.當(dāng)t1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，4)；當(dāng)t1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，2).4選A.x2y2()2，它表示原點(diǎn)到(x，y)距離的平方，x2y2的最小值即為原點(diǎn)到直線(xiàn)xy40的距離的平方，8. 應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題(1)直線(xiàn)方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式；(2)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

5、為0，公式仍然適用；(3)直線(xiàn)方程AxByC0中，A0或B0公式也成立，但由于直線(xiàn)是特殊直線(xiàn)(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.若點(diǎn)(4，a)到直線(xiàn)4x3y0的距離不大于3，則a的取值范圍是()A B3，4C(0，10) D(，0)10，)【解析】選A.由3，即|3a16|15， 2已知點(diǎn)A(3，4)，B(6，3)到直線(xiàn)l：axy10的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值等于()A BC或 D或【解析】選C.由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，化簡(jiǎn)得|3a3|6a4|，解得實(shí)數(shù)a或.3已知點(diǎn)P(a，b)是第二象限的點(diǎn)，那么它到直線(xiàn)xy0的距離是()A(ab) B(ba)Cba D【解析】選B.因?yàn)镻

6、(a，b)是第二象限的點(diǎn)，所以a<0，b>0.所以ab<0.所以點(diǎn)P到直線(xiàn)xy0的距離d(ba).類(lèi)型二兩條平行線(xiàn)間的距離(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(1)兩直線(xiàn)3xy30和6xmy10平行，則它們之間的距離為_(kāi).(2)已知直線(xiàn)l與兩直線(xiàn)l1：2xy30和l2：2xy10的距離相等，則l的方程為_(kāi).【思路導(dǎo)引】(1)首先利用對(duì)應(yīng)系數(shù)的比值相等求m，再計(jì)算距離；(2)設(shè)出直線(xiàn)l的方程，利用兩條平行線(xiàn)間距離公式求解【解析】(1)由題意，得，所以m2，將直線(xiàn)3xy30化為6x2y60，由兩平行線(xiàn)間距離公式，得.(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為2xyC0，由題意，得，解得C1，所以直線(xiàn)l的方程為2xy

7、10.答案：(1)(2)2xy10 1求兩條平行線(xiàn)間距離的方法求兩平行線(xiàn)間的距離，一般是直接利用兩平行線(xiàn)間的距離公式，當(dāng)直線(xiàn)l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2時(shí)，d；當(dāng)直線(xiàn)l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2時(shí)，d.但必須注意兩直線(xiàn)方程中x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等2由兩平行直線(xiàn)間的距離求直線(xiàn)方程的兩種思路(1)設(shè)出所求直線(xiàn)方程后，在其中一條直線(xiàn)上取一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解；(2)直接運(yùn)用兩平行直線(xiàn)間的距離公式求解1若兩平行直線(xiàn)x2ym0(m>0)與xny30之間的距離是，則mn()A0 B1 C1 D2【解析】選A.由直線(xiàn)x2ym0(m>0)與xny3

8、0平行可得n2即n2，又因?yàn)橹本€(xiàn)x2ym0(m>0)與x2y30的距離為，所以，解得m2或m8(舍去)，所以mn20.2到直線(xiàn)2xy10的距離等于的直線(xiàn)方程為()A2xy0B2xy20C2xy0或2xy20D2xy0或2xy20【解析】選D.因?yàn)樗笈c直線(xiàn)2xy10的距離為，所以可得所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行，設(shè)所求直線(xiàn)方程為2xyc0(c1)，所以d，解得c0或c2，故所求直線(xiàn)方程為2xy0或2xy20.類(lèi)型三距離的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)計(jì)算三角形面積【典例】已知點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，C(1，0)，則ABC的面積等于()A3 B4 C5 D6【思路導(dǎo)引】計(jì)算一條邊長(zhǎng)和這條邊

9、上的高，即第三個(gè)頂點(diǎn)到這條邊的距離【解析】選C.設(shè)AB邊上的高為h，則SABC|AB|·h，|AB|2，AB邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離AB邊所在的直線(xiàn)方程為，即xy40.點(diǎn)C到直線(xiàn)xy40的距離為，因此，SABC×2×5.求直線(xiàn)方程【典例】已知正方形的中心為直線(xiàn)2xy20，xy10的交點(diǎn)，正方形一邊所在的直線(xiàn)l的方程為x3y50，求正方形其他三邊所在直線(xiàn)的方程【思路導(dǎo)引】先求出正方形中心坐標(biāo)，利用正方形中心到四邊的距離相等及另外三邊與已知邊l平行或垂直求解【解析】設(shè)與直線(xiàn)l：x3y50平行的邊所在的直線(xiàn)方程為l1：x3yc0(c5).由得正方形的中心坐標(biāo)為

10、P(1，0)，由點(diǎn)P到兩直線(xiàn)l，l1的距離相等，得，解得c7或c5(舍)，所以l1：x3y70.又正方形另兩邊所在直線(xiàn)與l垂直，所以設(shè)另兩邊所在直線(xiàn)的方程分別為3xya0，3xyb0.因?yàn)檎叫沃行牡剿臈l邊的距離相等，所以，得a9或a3，所以另兩條邊所在的直線(xiàn)方程分別為3xy90，3xy30.所以另三邊所在的直線(xiàn)方程分別為3xy90，x3y70，3xy30.求過(guò)本例中正方形中心且與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)方程【解析】由例題知，正方形中心坐標(biāo)為P(1，0)，則與OP垂直的直線(xiàn)到原點(diǎn)的距離最大因?yàn)閗OP0，所以此時(shí)所求直線(xiàn)方程為x1. 距離公式綜合應(yīng)用的三種常用類(lèi)型(1)最值問(wèn)題：利用對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間

11、的距離問(wèn)題利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離利用距離公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)配方求最值(2)求參數(shù)問(wèn)題：利用距離公式建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組，通過(guò)解方程或方程組求值(3)求方程的問(wèn)題：立足確定直線(xiàn)的幾何要素點(diǎn)和方向，利用直線(xiàn)方程的各種形式，結(jié)合直線(xiàn)的位置關(guān)系(平行直線(xiàn)系、垂直直線(xiàn)系及過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)系)，巧設(shè)直線(xiàn)方程，在此基礎(chǔ)上借助三種距離公式求解1已知ABC中，A(1，1)，B(m，)(1<m<4)，C(4，2)，求m為何值時(shí)，ABC的面積S最大？【解析】因?yàn)锳(1，1)，C(4，2)，所以|AC|.又AC邊所在直線(xiàn)的方程為x3y20，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

12、公式，可得點(diǎn)B(m，)到直線(xiàn)AC的距離d.所以S|AC|·d|m32|.因?yàn)?<m<4，所以1<<2，<<.所以0<，所以S.所以當(dāng)0，即m時(shí)，S最大故當(dāng)m時(shí)，ABC的面積最大2如圖，已知直線(xiàn)l1：xy10，現(xiàn)將直線(xiàn)l1向上平移到直線(xiàn)l2的位置，若l2，l1和坐標(biāo)軸圍成的梯形的面積為4，求直線(xiàn)l2的方程【解析】設(shè)l2的方程為yxb(b>1)，則A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以|AD|，|BC|b.梯形的高h(yuǎn)就是A點(diǎn)到直線(xiàn)l2的距離，故h(b>1)，由梯形的面積公式得×4，所以b29，b±3.又b>1，所以b3.從而得直線(xiàn)l2的方程是xy30.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1直線(xiàn)6x8y20與6x8y30間的距離為()A1 B3 C D【解析】選C.由平行線(xiàn)間的距離公式可知，直線(xiàn)間的距離為d.2點(diǎn)P(a，0)到直線(xiàn)3x4y60的距離大于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()Aa>7 Ba<7或a>3Ca<3 Da>7或a<3【解析】選D.根據(jù)題意，得>3，解得a>7或a<3.3若直線(xiàn)l1：xay60與l2：x3y2a0平行，則l1與l2間的距離