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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上參數(shù)方程與極坐標(biāo)模塊常見題型全歸納目錄一、第一問破解方法：1參數(shù)方程化普通方程的方法 （1）代入消參法與和差消參法（2）恒等式消參法與平方消參法;2應(yīng)用極坐標(biāo)的基本定義進行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化（1）曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;（2）曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程;二、第二問破解方法：3坐標(biāo)系與參數(shù)方程的最值（取值范圍）問題的求解方法（1）應(yīng)用曲線的參數(shù)方程進行三角代換求最值（取值范圍）；（2）化歸為二次函數(shù)，運用二次函數(shù)的特性求最值（取值范圍）問題；（3）運用圓的幾何特性求最值（取值范圍）問題；4直線的標(biāo)準(zhǔn)式參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用（1）以定點為起點的

2、線段的四則運算求值問題；（2）參數(shù)形式的弦長公式的運用；5極坐標(biāo)方程中的幾何意義的應(yīng)用（1）以原點為起點的線段的四則運算求值問題；（2）應(yīng)用的幾何意義表示兩點間距離；6剝?nèi)?shù)方程與極坐標(biāo)的外殼，將圖形關(guān)系代數(shù)化“數(shù)形結(jié)合思想”的運用（1）考查圓特有的的弦長公式；（2）通過圖形關(guān)系分析代數(shù)關(guān)系；7求曲線的極坐標(biāo)方程（1）應(yīng)用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)求軌跡方程的基本思想求極坐標(biāo)方程；（2）運用利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的特殊關(guān)系求極坐標(biāo)方程.1 參數(shù)方程化普通方程的方法1.1 代入消參法與和差消參法【例1】直線（為參數(shù)）的普通方程為_.【解析】方法一：代入消參法由得，代入整理得.方法二：和差消參法將乘以與作差

3、可得. 【評注】代入消參法與和差消參法源于我們初中學(xué)過的解方程組的思想，其目的在于消去參數(shù).【變式1】潛在的參數(shù)范圍的影響曲線（為參數(shù)）的普通方程為_.【解析】由消參法可得，因為，故，所以曲線（為參數(shù)）的普通方程為.【變式2】曲線（為參數(shù)）的普通方程為_. 【解析】，所以，故曲線（為參數(shù)）的普通方程為【變式3】注意和消參的區(qū)別曲線（為參數(shù)）的普通方程為_. 【解析】，所以，故曲線（為參數(shù)）的普通方程為.【變式4】只有一個式子有參數(shù)直線（為參數(shù)，）的普通方程為_. 【解析】,所以，故直線（為參數(shù)，）的普通方程為.1.2 恒等式消參法與平方消參法【例2】參數(shù)方程（為參數(shù)）的普通方程為_.【解析】由

4、得因為，故參數(shù)方程（為參數(shù)）的普通方程為.【評注】本題采用這一恒等式消參，高中階段常用的恒等式還有： （1）；（2）；（3）.【變式1】給參數(shù)范圍的消參參數(shù)方程（為參數(shù)，）化為普通方程為_.【解析】由可知，故該參數(shù)方程的普通方程為【變式2】平方消參法參數(shù)方程（為參數(shù)）的普通方程為_.【解析】方法一：由得，同理，故該參數(shù)方程的普通方程為.方法二：由得又，故該參數(shù)方程的普通方程為.【變式3】注意隱藏的的范圍參數(shù)方程（為參數(shù)）的普通方程為_.【解析】因為，所以，又因為，故，所以參數(shù)方程（為參數(shù)）的普通方程為.【變式4】恒等式消參法與平方消參法對比參數(shù)方程（為參數(shù)）的普通方程為_.【解析】方法一：，由

5、得，因為，故該參數(shù)方程的普通方程為. 方法二：由平方得，兩式作差可得，又，故該參數(shù)方程的普通方程為.2 應(yīng)用極坐標(biāo)的基本定義進行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化2.1 曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程【例3】只有和的極坐標(biāo)方程將下列曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程（1）；【解析】因為，所以，又，故直角坐標(biāo)方程為. （2）. 【解析】因為，所以，又，故直角坐標(biāo)方程為.【評注】在進行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化時，下列公式必不可少：（1）； （2）； （3）； （4）. 【變式1】極坐標(biāo)方程中的和在“=”的同側(cè)將下列曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程（1）；【解析】由和得該曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）；【解析】因為

6、，所以，由和得該曲線的直角坐標(biāo)方程為.【變式2】極坐標(biāo)方程中的和在“=”的兩側(cè)將下列曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程（1）； 【解析】由得，又因為，所以該曲線的直角坐標(biāo)方程為. （2）；【解析】由得，又因為，所以該曲線的直角坐標(biāo)方程為.（3）. 【解析】由得，即，又因為，所以該曲線的直角坐標(biāo)方程為.2.2 曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程【例4】將下列曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程（1）；【解析】將，代入得，故所求極坐標(biāo)方程為. （2）；【解析】將,，代入得,故所求極坐標(biāo)方程為. 【評注】將曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程只需將,，代入直角坐標(biāo)方程適當(dāng)化簡即可. 【變式1】將下列曲線的直角坐

7、標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程 （1）； 【解析】可化為將,，代入上式得. （2）.【解析】將，代入得,即.3 坐標(biāo)系與參數(shù)方程的最值問題（取值范圍）的求解方法該題型是高考中的?？碱}型，在各類模擬試卷中也頻繁出現(xiàn)，求解此類最值問題關(guān)鍵在于巧妙的構(gòu)建不等關(guān)系，依據(jù)高中階段建立不等關(guān)系的常用方法(利用三角函數(shù)有界性求取值范圍，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，利用圓的幾何對稱性求最值)可分為三種類型求解.3.1 應(yīng)用曲線的參數(shù)方程進行三角代換求最值（取值范圍）【例5】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）.（I）求過橢圓的右焦點，且與直線 (為參數(shù)）平行的直線的普通方程；（II）求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值

8、.【解析】（I）由橢圓的參數(shù)方程為參數(shù)）化為普通方程為，故橢圓的右焦點為.直線 (為參數(shù)）化為普通方程為，因為直線過橢圓的右焦點，且與直線平行，所以由直線的點斜式方程得，故直線的方程為.（II）因為橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），不妨設(shè)，則橢圓的內(nèi)接矩形面積故橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值為.【評注】本題關(guān)鍵在于利用橢圓的參數(shù)方程將解析幾何的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題進行求解，其中利用橢圓的內(nèi)接矩形的對稱性巧妙轉(zhuǎn)化四個小矩形是本題的思維難點.本題第二問可推廣為：橢圓的內(nèi)接矩形的最大面積為.【變式1】恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值已知點是圓上的動點.（I）求的取值范圍；（II）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【

9、解析】（I）將化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得，其參數(shù)方程為（為參數(shù)），故，所以（）,因為，所以的取值范圍為.（II）恒成立等價于恒成立.，所以的最大值為，所以.【變式2】非特殊角求點已知曲線的參數(shù)方程為： （為參數(shù)）， 曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.（I）化曲線，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（II）若上的點對應(yīng)的參數(shù)為，為上的動點，求中點到直線（為參數(shù)）距離的最小值及此時點坐標(biāo). 【解析】（I）曲線的普通方程為，它表示以點為圓心，為半徑的圓；曲線的普通方程為，它表示焦點在軸上，長半軸長是，短半軸長是的橢圓. （II）時，中點，直線（為參數(shù)）化為普通方程為，故點到直線的距離 (其中，)，故

10、當(dāng)時，即（）時，取得最小值，此時，從而當(dāng)時，取得最小值，此時.【例6】已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點為原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（I）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（II）設(shè)曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線，設(shè)為曲線上任一點，求的最小值，并求相應(yīng)點的坐標(biāo).【解析】（I）因為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線的普通方程為.曲線的直角坐標(biāo)方程為.（II）由得代入到得曲線，于是由點在曲線上得，從而可設(shè)點，則，故時，即時，取得最小值1，此時（），則，或，.所以當(dāng)點的坐標(biāo)為或時，取得最小值1.【評注】坐標(biāo)變換一直深受高三一線出卷老師的喜愛，試想在控制好試

11、題難度的情況下增加題目的知識維度何樂而不為呢？求解此類問題時，只要我們能夠正確的理解坐標(biāo)變換的含義，問題自然會迎刃而解.【變式1】參數(shù)方程下的坐標(biāo)變換已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，得到曲線.（I）求曲線的普通方程；（II）已知點，曲線與軸負半軸交于點，點為曲線上任意一點， 求的最大值.【解析】（I）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），故曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的普通方程為.（II）曲線與軸負半軸交于點，故，因為點為曲線上任意一點，所以可設(shè)，又因為點，所以 ，其中.故當(dāng)時，取得最大值.3.2 化歸為二次函數(shù)，運用二次函數(shù)的特性求

12、最值【例7】（2015陜西高考卷）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓極坐標(biāo)方程為（I）寫出圓的直角坐標(biāo)方程；（II）為直線上一動點，當(dāng)?shù)綀A心的距離最小時，求的直角坐標(biāo)【解析】（I）將兩邊同乘以可得，又，可得圓的直角坐標(biāo)方程為，即 .（II）因為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），不妨設(shè)，又，則故當(dāng)時，取最小值，此時點的直角坐標(biāo)為.【評注】題目中說為直線上一動點，動點從何而得？本題告訴我們一個重要的解題經(jīng)驗需要動點坐標(biāo)時我們可以向曲線的參數(shù)方程“借”.【變式1】拋物線相關(guān)的最值問題在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點為極

13、點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，曲線的極坐標(biāo)方程為.（I）求曲線直角坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（II）求曲線上的點與曲線上的點的最小距離. 【解析】（I）由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）得，即，考慮到,故，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，.由曲線的極坐標(biāo)方程得曲線直角坐標(biāo)方程為.（II）不妨設(shè)曲線上一點，其中，則點到曲線的距離考慮到，所以當(dāng)時，.又易知曲線上的點與曲線上的點的最小距離等于曲線上的點與曲線的距離的最小值，故所求最小距離為.【評注】本題很容易忽視這一隱含條件，本題給了我們一個解題經(jīng)驗：與拋物線上的點相關(guān)的最值問題往往可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進行求解.【變式2】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，曲線的極坐標(biāo)方程為.（I）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（II）設(shè)為曲線上的點，為曲線上的點，求的最小值.【解析】（I）因為曲線的極坐標(biāo)方程為，所以，即，所以，化簡得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.（II）因為（為參數(shù)）所以曲線的普通方程為.因為為曲線上的點，為曲線上的點，所以的最小值等于到直線距離的最小值.設(shè)，則到直線的距離，所以的最小值為.【變式3】由三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值已知某圓的極坐標(biāo)方程是.（I）求圓的普通方程和參數(shù)方程；（II）已知圓上一動點，求的最大值和最小值.【解析】（I）由圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程可得，即.化為參數(shù)方程得（為參數(shù)）.