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1、學生編號學生姓名 授課教師輔導學科九年級數(shù)學教材版本上教課題名稱相似三角形課時進度總第（ ）課時授課時間7月28日教學目標掌握相似三角形的概念、性質及判定方法，能夠靈活應用相似三角形的性質和判定方法方法解決實際問題。重點難點重點：相似三角形的概念、判定定理和相似三角形的性質難點：如何根據(jù)問題的結論，在較復雜的圖形中找到所要證明的相似三角形同步教學內容及授課步驟知識點歸納：1、三角形相似的判定方法（1）定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似。（3）判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一

2、個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似。（4）判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。（5）判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似。（6）判定直角三角形相似的方法：以上各種判定均適用。如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。#

3、直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。 如圖，RtABC中，BAC=90，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下： （1）（AD）2=BDDC， （2）（AB）2=BDBC ， （3）（AC）2=CDBC 。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。典型例題：例1 如圖，已知等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分別交AD，AC于E、 F，求證：BE2EFEG證明：如圖，連結EC，ABAC，ADBC，ABCACB，AD垂直平分BCBEEC，12，ABC-1ACB-2，即

4、34，又CGAB，G3，4G又CEGCEF，CEFGEC，=EC2EG EF，故EB2=EFEG【解題技巧點撥】本題必須綜合運用等腰三角形的三線合一的性質，線段的垂直平分線的性質和相似三角形的基本圖形來得到證明而其中利用線段的垂直平分線的性質得到BE=EC，把原來處在同一條直線上的三條線段BE，EF，EC轉換到相似三角形的基本圖形中是證明本題的關鍵。例2 已知：如圖，AD是RtABC斜BC上的高，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于F，求證：=證法一：如圖，在RtABC中，BACRt，ADBC，3C，又E是RtADC的斜邊AC上的中點，ED=ACEC，2C，又12，13，DFBAFD，DF

5、BAFD， （1）又AD是RtABC的斜邊BC上的高，RtABDRtCAD，= （2）由（1）（2）兩式得=，故=證法二：過點A作AGEF交CB延長線于點G，則= （1）E是AC的中點，EDAC，D是GC的中點，又ADGC，AD是線段GC的垂直平分線，AGAC （2）由（1）（2）兩式得：=，證畢?！窘忸}技巧點撥】本題證法中，通過連續(xù)兩次證明三角形相似，得到相應的比例式，然后通過中間比“”過渡，使問題得證，證法二中是運用平行線分線段成比例定理的推論，三角形的中位線的判定，線段的垂直平分線的判定與性質使問題得證一、如何證明三角形相似例1、如圖：點G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交B

6、C、BD于點E、F，則AGD 。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36，BD是角平分線，求證：ABCBCD例3：已知，如圖，D為ABC內一點連結ED、AD，以BC為邊在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求證：DBEABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點，連結AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結論。二、如何應用相似三角形證明比例式和乘積式例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：已知：如圖，在ABC中，BAC=900，M是BC的中點，DMBC于點E，交BA的延長線于點D。

7、求證：（1）MA2=MDME；（2）例7：如圖ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且。求證：AEF=FBD例9、在平行四邊形ABCD內，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線， 求證：SQAB，RPBC例10、已知A、C、E和B、F、D分別是O的兩邊上的點，且ABED，BCFE，求證：AFCD例11、直角三角形ABC中，ACB=90，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)GAC交AB于G，求證：FC=FG例12、RtA

8、BC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF課后作業(yè)學生姓名所屬年級九年級輔導學科數(shù)學任課教師作業(yè)時限90分鐘布置時間月 日 一、填空題1.已知：在ABC中，P是AB上一點，連結 CP，當滿足條件ACP= 或APC=或 AC2= 時，ACPABC2.兩個相似三角形周長之比為49，面積之和為291，則面積分別是 。3.如圖，DEFG是RtABC的內接正方形，若CF8，DG4，則BE 。4如圖，直角梯形 ABCD中，ADBC，ADCD，ACAB，已知AD4，BC9，則 AC。5ABC中，AB15，AC9，點D是AC上的點，且AD=3，E在AB上

9、，ADE與ABC相似，則AE的長等于。6.如圖，在正方形網(wǎng)格上畫有梯形ABCD，則BDC的度數(shù)為。7.ABC中，ABAC，A36，BC1，BD平分ABC交于D，則BD ，AD ，設ABx,則關于x的方程是 .8如圖，已知D是等邊ABC的BC邊上一點，把ABC向下折疊，折痕為MN，使點A落在點D處，若BDDC23，則AMMN= 。二、選擇題9.如圖，在正ABC中，D、E分別在AC、AB上，且=，AE=BE，則有（）AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD10如圖，在ABC中，D為AC邊上一點，DBCA，BC=，AC3，則CD的長為（ ）A.1B.C.2D.11如圖，ABCD中，G

10、是 BC延長線上一點，AG與 BD交于點E，與DC交于點F，則圖中相似三角形共有（ ）A3對 B4對 C5對 D6對12 P是RtABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（ ）A1條 B.2條 C3條 D4條13如圖，在直角梯形 ABCD中，AB7，AD2，BC=3，若在 AB上取一點P，使以P、A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似，這樣的P點有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個三、解答下列各題14.如圖，長方形ABCD中，AB=5，BC10，點P從A點出發(fā)，沿AB作勻速運動，1分鐘可以到達B點，點Q從B點出

11、發(fā)，沿BC作勻速直線運動，1分鐘可到C點，現(xiàn)在點P點Q同時分別從A點、B點出發(fā)，經(jīng)過多少時間，線段PQ恰與線段BD垂直？15已知：如圖，正方形DEFG內接于RtABC，EF在斜邊BC上，EHAB于H求證：（1）ADGHED；（2）EF2BEFC（答案）例1分析：關鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應結合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角G外,由BCAD可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（對頂角），由ABDG可得4=G，所以EGCEAB。例2分析：證明相似三角形應先找相等的角，顯然C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于

12、計算也是一種常用的方法。證明：A=36，ABC是等腰三角形，ABC=C=72又BD平分ABC，則DBC=36在ABC和BCD中，C為公共角，A=DBC=36ABCBCD例3分析： 由已知條件ABD=CBE，DBC公用。所以DBE=ABC，要證的DBE和ABC，有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊對應成比例。從已知條件中可看到CBEABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD=即：=DBE和ABC中，CBE=ABD, DBC公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE=AB

13、C且=DBEABC例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1） 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中1=2，則ADEABC稱為“相交線型”的相似三角形。(3)如圖：1=2，B=D，則ADEABC，稱為“旋轉型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF與ECA解：設AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在EAF與ECA中，AEF為公共角，且所以EAFECA例5 分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行線性質進行證明：證明：過D點作DKAB，交BC于K，DKAB，DF：FE=