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1、人教版九年級數(shù)學(xué)下二次函數(shù)最全的中考知識點(diǎn)總結(jié) 相關(guān)概念及定義 二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù) 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng) 二次函數(shù)各種形式之間的變換 二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中. 二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；. 二次函數(shù)解析式的表示方法 一般式：（，為常數(shù)，）； 頂點(diǎn)式：（，為常數(shù)，）； 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式

2、都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化. 二次函數(shù)圖象的畫法 五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）. 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn). 二次函數(shù)的性質(zhì)的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小

3、值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值 二次函數(shù)的性質(zhì)的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值 二次函數(shù)的性質(zhì)：的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值 二次函數(shù)的性質(zhì)的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值 拋物線的三要素：開口方向、對

4、稱軸、頂點(diǎn). 的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同. 對稱軸：平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線. 頂點(diǎn)坐標(biāo)： 頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同. 拋物線中，與函數(shù)圖像的關(guān)系 二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小 一次項(xiàng)系數(shù) 在二

5、次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當(dāng)時(shí)，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，即拋物線的對稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，即拋物線對稱軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置總結(jié)： 常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物

6、線就是唯一確定的 求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法 公式法：，頂點(diǎn)是，對稱軸是直線. 配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對稱軸是直線. 運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式. 頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式. 交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：. 直線與拋物線的交點(diǎn) 軸與拋物線得交點(diǎn)

7、為(0, ). 與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). 拋物線與軸的交點(diǎn):二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離. 平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組 的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無

8、解時(shí)與沒有交點(diǎn). 拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故 二次函數(shù)圖象的對稱:二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對稱 關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于頂點(diǎn)對稱 關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是 關(guān)于點(diǎn)對稱 關(guān)于點(diǎn)對稱后，得到的解析式是 總結(jié)：根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變

9、化，因此永遠(yuǎn)不變求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式 二次函數(shù)圖象的平移 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減” 根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種基本思路。 三點(diǎn)式。1，已知拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過A（，0），B（，0），C（0，-

10、3）三點(diǎn)，求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=a(x-1)+4 ， 經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），求拋物線的解析式。 頂點(diǎn)式。1，已知拋物線y=x2-2ax+a2+b 頂點(diǎn)為A（2，1），求拋物線的解析式。2，已知拋物線 y=4(x+a)2-2a 的頂點(diǎn)為（3，1），求拋物線的解析式。 交點(diǎn)式。1，已知拋物線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為（3，0）,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知拋物線線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)（4，0），（1，0）求拋物線y=a(x-2a)(x-b)的解析式。 定點(diǎn)式。1，在直角坐標(biāo)系中，不論a 取何值，拋物線經(jīng)過x 軸上一定點(diǎn)Q，直線經(jīng)過點(diǎn)Q,求拋物線的解析式。2

11、，拋物線y= x2 +(2m-1)x-2m與x軸的一定交點(diǎn)經(jīng)過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。3，拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2上的定點(diǎn)A，求拋物線的解析式。 平移式。1， 把拋物線y= -2x2 向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到拋物線y=a( x-h)2 +k,求此拋物線解析式。2， 拋物線向上平移,使拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,2),求拋物線的解析式. 距離式。1，拋物線y=ax2+4ax+1(a0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=m x2+3mx-4m(m0)與 x軸交于A、B兩點(diǎn)，與 軸交于C點(diǎn)，且AB=BC,求此

12、拋物線的解析式。 對稱軸式。1、拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離等于拋物線頂點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的2倍，求拋物線的解析式。2、 已知拋物線y=-x2+ax+4, 交x軸于A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊）兩點(diǎn)，交 y軸于點(diǎn)C,且OB-OA=OC，求此拋物線的解析式。 對稱式。1， 平行四邊形ABCD對角線AC在x軸上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 軸于E，將三角形ABC沿x 軸折疊，點(diǎn)B到B1的位置，求經(jīng)過A,B,E三點(diǎn)的拋物線的解析式。2， 求與拋物線y=x2+4x+3關(guān)于y軸（或x軸）對稱的拋物線的解析式。 切點(diǎn)式。1，已知直線y=ax-a2(a0) 與拋物線y=mx2 有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。2， 直線y=x+a 與拋物線y=ax2 +k 的唯一公共點(diǎn)A（2，1）,求拋物線的解析式。 判別式式。1、已知關(guān)于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求拋物線y=-x2+(m+1)x+3解析式。2、 已知拋物線y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的頂點(diǎn)在x軸上,求拋物線的解析式。3、已知拋物線y=(m+1)x2+(m+2)x+1與x軸有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。