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1、五年級下冊數(shù)學(xué)第三單元知識點(diǎn)易錯點(diǎn)匯總一、長方體和正方體的認(rèn)識【知識點(diǎn)1】 要素立體圖形棱面頂點(diǎn)數(shù)量特征數(shù)量特征數(shù)量特征長方體12互相平行的棱長度相等6相對的面完全相同8同一個頂點(diǎn)引出的三條棱分別叫做長、寬、高特殊長方體12垂直于正方形面的棱長度相等6兩個面是正方形，其余四個面是完全相同的長方形8正方體12所有的棱長度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一個長方體至少可以有兩個面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不會存在3個、4個、5個面是正方形！【知識點(diǎn)2】棱長和公式：長方體棱長和=（長+寬+高）4 長+寬+高=棱長和4 長方體棱長和=下面周長2+高4 長方體棱長和=右面周長2+長4 長

2、方體棱長和=前面周長2+寬4 正方體棱長和=棱長12 棱長=棱長和12棱長和的變形：例如：有一個禮盒需要用彩帶捆扎，捆扎效果如圖，打結(jié)部分需要10厘米彩帶，一共需要多長的彩帶？3020cm20cm 分析：本題雖然并未直接提出求棱長和，但由于彩帶的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解決問題時首先確定每部分彩帶與那條棱平行，從而間接去求棱長和。 前面和后面的彩帶長度=高的長度；左面和右面的彩帶長度=高的長度； 上面和下面的彩帶長度=長的長度。 需要彩帶的長度=高4+長2+打結(jié)部分長度 204+302+10=150cm【知識點(diǎn)3】確定長方體中每個面的形狀以及長、寬、高分別是多少。長方體一共有（ ）個面

3、，（ ）面完全相同，如：前面和（ ）完全相同，（ ）和（ ）完全相同，（ ）和（ ）完全相同。根據(jù)習(xí)慣我們一般認(rèn)為在一個平面中水平方向的為長，垂直方向的為高。根據(jù)這一習(xí)慣我們我們只需找到需要的面并根據(jù)習(xí)慣確定長和寬即可。【知識點(diǎn)4】折疊可以組合成正方體:經(jīng)過折疊可以組合成長方體：練習(xí)：下列三個圖形中，能拼成正方體的是（ ） 【知識點(diǎn)5】長方體或正方體的切割組合對棱長的影響（1）切割將長方體橫向切割成兩個長方體后，棱長將比原來一個長方體時增加4條長和4條寬；（棱長增加的最長）將長方體豎向切割成兩個長方體后，棱長將比原來一個長方體時增加4條寬和4條高；（棱長增加的最短）將正方體沿?zé)o論沿那個方向切割

4、成兩個長方體后，棱長將比原來增加4條棱。（2） 組合將兩個完全相同的長方體沿上下面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條長和4條寬；（棱長減少的最多）將兩個完全相同的長方體沿前后面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條長和4條高；將兩個完全相同的長方體沿左右面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條寬和4條高；（棱長減少的最少）將兩個完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長比原來兩個正方體時減少8條棱；一次類推將三個完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長比原來三個正方體時減少16條棱，四個組合減少24條棱，五個組合減少32條（公式：8（N1）例如：將五個完全相同的正方體組合成一個長方體后，棱長和為14

5、0厘米，原來每個正方體的棱長和是多少？分析：五個正方體棱長共有125=60條； 將五個完全相同正方體組合后棱長比原來減少32條，還剩60-32=28條； 即這28條棱的長度和即為新長方體的棱長和，所以正方體一條棱的長度為：14028=5cm； 所以一個正方體的棱長和為：512=60cm?！局R點(diǎn)6】小正方體拼大正方體的規(guī)律由于正方體，每條棱的長度相等，所以要用小的正方體拼出大的正方體每條棱上擺放的小正方的個數(shù)應(yīng)該是相等的，因此要拼出最小的正方體至少需要222=23=8個（也就是說每條棱上放2個小正方體），接著再往大了拼正方體，就是每條棱上放3個小正方體即333=33=27個，依次類推接下來是4

6、44=43=64個；555=53=125個 從中我們可以發(fā)現(xiàn)要用小的正方體拼出大的正方體所需要的小正方體的個數(shù)應(yīng)該是一個數(shù)的立方。這就要求我們能夠熟記一些數(shù)的立方：23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729 103=1000 小正方體拼大長方體的規(guī)律規(guī)律同正方體，首先觀察大長方體各棱長分別是小正方體棱長的幾倍，如，長方體長是小正方體棱長的a倍，寬是小正方體棱長的b倍，高是小正方體棱長的c倍，則，大長方體就是由abc個小正方體組成的。二、 長方體和正方體的表面積【知識點(diǎn)1】 長方體表面積=（長寬+長高+寬高）2 =（ab+ac+bc）2

7、 =（前面面積+上面面積+右面面積）2正方體表面積=棱長棱長6=aa6=6a2 =任意一個面的面積6前面面積=后面面積；左面面積=右面面積；上面面積=下面面積 兩個棱長和相等的長方體或一個長方體和一個正方體，表面積不一定相等！表面積相等的兩個長方體或一個長方體和一個正方體，棱長和也不一定相等！ 【知識點(diǎn)3】棱長變化對表面積的影響： 正方體正方體的棱長擴(kuò)大2倍，其棱長和也擴(kuò)大2倍，表面積擴(kuò)大4倍，體積擴(kuò)大8倍；正方體的棱長擴(kuò)大3倍，其棱長和也擴(kuò)大3倍，表面積擴(kuò)大9倍，體積擴(kuò)大27倍；正方體的棱長擴(kuò)大n倍，其棱長和也擴(kuò)大n倍，表面積擴(kuò)大n2倍，體積擴(kuò)大n3倍。 長方體長方體的長寬高同時擴(kuò)大2倍，其

8、棱長和也擴(kuò)大2倍，表面積擴(kuò)大4倍，體積擴(kuò)大8倍；長方體的長寬高同時擴(kuò)大3倍，其棱長和也擴(kuò)大3倍，表面積擴(kuò)大9倍，體積擴(kuò)大27倍；長方體的長寬高同時擴(kuò)大n倍，其棱長和也擴(kuò)大n倍，表面積擴(kuò)大n2倍，體積擴(kuò)大n3倍。長方體的長擴(kuò)大a倍，寬擴(kuò)大b倍，高擴(kuò)大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化也無規(guī)律，體積擴(kuò)大abc倍。長方體的長擴(kuò)大a倍，寬擴(kuò)大b倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴(kuò)大ab倍 。長方體的寬擴(kuò)大b倍，高擴(kuò)大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴(kuò)大bc倍 。長方體的長擴(kuò)大a倍，高擴(kuò)大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴(kuò)大ac倍 。【知識點(diǎn)4】n 立體圖形的切割：

9、（切割會使表面積增加，因此存在表面積增加最多或最少的問題） 長方體沿與原來長方體最大面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最多。沿與原來長方體最小面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最少。而且每切一刀增加兩個完全相同的面，切兩刀增加四個完全相同的面，依次類推。 正方體無論沿那個面平行的方向切，都將增加兩個正方形的面，增加的面積均為2a2不存在增加最多最少的問題。n 從一個長方體中切出一個最大的正方體問題應(yīng)該以長方體中最短的棱作為切出正方體的棱長，這樣的正方體將是能切出的最大正方體，否則切出的將不是正方體。例如：在一個長是4厘米，寬為3厘米，高為2厘米的長方體中切出一個最大的正方體，該正方體的

10、棱長和是多少？剩余部分的表面積是多少？ 分析：以最短的棱為正方體的棱長，即以高為2cm的棱為正方體的棱長，那么正方體的棱長和為：212=24cm。切去正方體后所剩部分的長為4-2=2cm，寬為3-2=1cm，高仍為2cm，因此所剩部分表面積為：（21+22+12）2=16cm2。n 立體圖形的組合（組合只會使表面積減少，因此存在減少最多或最少的問題） 長方體將原來長方體的最大面組合在一起，其表面積比原來減少的最多。將原來長方體的最小面組合在一起，其表面積比原來減少的最少。而且兩個組合將減少兩個完全相同的面，三個組合減少四個完全相同的面，依次類推。 正方體無論沿那個面組合，都將減少兩個正方形的面

11、，減少的面積均為2a2不存在增加最多最少的問題。【知識點(diǎn)5】小正方體拼成的大正方體表面涂漆問題大正方體長、寬、高上有幾個小正方體，則將長、寬、高上的正方體數(shù)相乘就是大正方體所含小正方體的總數(shù)；在頂點(diǎn)位置的小正方體露在外面的面有3個；在棱上（不包含頂點(diǎn)位置）的小正方體露在外面的面有2個；在面上（不包含棱上）的小正方體露在外面得面有1個；用總數(shù)3個面的2個面的1個面得=沒有露在外面的小正方體的個數(shù)?！局R點(diǎn)7】單位換算長度單位：mm、cm、dm、m 相鄰兩個單位進(jìn)率為10面積單位：mm2、cm2、dm2、m2 相鄰兩個單位進(jìn)率為100體積單位：mm3、cm3、dm3、m3 相鄰兩個單位進(jìn)率為100

12、0容積單位：ml、l 相鄰兩個單位進(jìn)率為1000特別的：1ml=cm3 1l=1dm3 1方=1m不是同一類型的單位，數(shù)據(jù)不能比較大小，同一類型的單位中右邊的單位比左邊的單位大。大單位化小單位乘以進(jìn)率，小單位化大單位除以進(jìn)率。高級單位進(jìn)率高級單位的數(shù)低級單位低級單位的數(shù)進(jìn)率三、長方體和正方體的體積【知識點(diǎn)1】容積與體積基本概念體積是指所占空間的大?。蝗莘e是指所容納物體的體積；一個物體的容積一般都比它的體積小。當(dāng)容器壁厚度忽略不計時體積=容積；否則體積容積。比如說，一個洗發(fā)液的瓶子里面所能裝下的洗發(fā)液的體積就是它的容積。（容器壁忽略不計）體積計算方法：長方體的體積=長寬高正方體的體積=棱長棱長棱

13、長長方體和正方體的體積=底面積高=右面面積長=前面面積寬體積相等的兩個長方體或者一個長方體與一個正方體，表面積不一定相等，棱長和也不一定相等。體積相等的兩個正方體，表面積一定相等，棱長和也一定相等。體積相等的情況下正方體的表面積比長方體的?。槐砻娣e相等的情況下正方體的體積比長方體的體積大。四、容積與體積的異同【知識點(diǎn)1】容積和體積的差異相同點(diǎn)不同點(diǎn)容積計算公式相同V=shV=abh從容器內(nèi)部測量容積指容器內(nèi)部體積計量單位通常為L、ml體積從容器外部測量體積指容器外部體積，或所容納物體的體積計量單位通常為m、dm、cm、mm【知識點(diǎn)2】也就是說容積體積容積和體積的大小關(guān)系一般情況下視為容積等于體積，其前提條件是容器壁厚度忽略不計。在考慮容器壁厚度的情況下，容積是比體積小的。