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1、數(shù)學(xué)必修一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)知識(shí)歸納歸納 第一章第一章 集合與函數(shù)概念集合與函數(shù)概念 一、集合有關(guān)概念一、集合有關(guān)概念 1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。 2、集合的中元素的三個(gè)特性： 1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性 說明：(1)對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。 (2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。 (3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否

2、一樣。 (4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。 3、集合的表示： 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊(duì)員,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列舉法與描述法。 非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N 正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集 Z 有理數(shù)集 Q 實(shí)數(shù)集 R 關(guān)于“屬于”的概念 集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就說 a屬于集合 A 記作 aA ，相反，a 不屬于集合 A 記作 aA 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個(gè)大括號(hào)括上。 描述法： 將集合中的元素的公共屬性描述出來， 寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)

3、象是否屬于這個(gè)集合的方法。 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 數(shù)學(xué)式子描述法： 例： 不等式 x-32 的解集是x?R| x-32或x| x-32 二、集合間的基本關(guān)系二、集合間的基本關(guān)系 1.“包含”關(guān)系子集 注意： 有兩種可能（1）A 是 B 的一部分， ； （2）A 與 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,記作 A B 或 B A 2 “相等”關(guān)系(55，且 55，則 5=5) 結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)集合 A 與 B，如果集合 A 的任何一個(gè)元素都是集合 B 的元素，同時(shí),集合 B 的任何一個(gè)元素都是集合 A 的元素，我們就說集合 A 等于集合

4、 B，即：A=B 任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 B A 那就說集合 A 是集合 B 的真子集， 記作 A B(或 B A) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同時(shí) BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為 規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的運(yùn)算三、集合的運(yùn)算 1交集的定義：一般地，由所有屬于 A 且屬于 B 的元素所組成的集合,叫做 A,B 的交集記作 AB(讀作”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB 2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合 A 或?qū)儆诩?B 的元素所組成的集合，叫做 A,

5、B 的并集。記作：AB(讀作”A 并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB 3、交集與并集的性質(zhì)：AA = A, A= , AB = BA，AA = A, A= A ,AB = BA. 4、全集與補(bǔ)集 （1）補(bǔ)集：設(shè) S 是一個(gè)集合，A 是 S 的一個(gè)子集（即 ） ，由 S 中所有不屬于 A 的元素組成的集合，叫做 S 中子集 A 的補(bǔ)集（或余集） （2）全集：如果集合 S 含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用 U 來表示。 四、函數(shù)的有關(guān)概念四、函數(shù)的有關(guān)概念 1函數(shù)的概念：設(shè) A、B 是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使對(duì)于集合 A 中的任意

6、一個(gè)數(shù) x，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f：AB 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域 注意：如果只給出解析式 y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式 定義域補(bǔ)充 能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù) x 的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)

7、不小于零； (3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零； (4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于： (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零 (7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義. (又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。) 注意： （1）構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)） （2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。

8、相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備) 4了解區(qū)間的概念 （1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間； （2）無窮區(qū)間； （3）區(qū)間的數(shù)軸表示 5什么叫做映射 一般地，設(shè) A、B 是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則 f，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)元素 x，在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對(duì)應(yīng)， 那么就稱對(duì)應(yīng) f：A B 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)映射。記作“f：A B” 給定一個(gè)集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 說明：函數(shù)是

9、一種特殊的映射，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，集合 A、B 及對(duì)應(yīng)法則 f 是確定的；對(duì)應(yīng)法則有“方向性” ，即強(qiáng)調(diào)從集合 A 到集合 B 的對(duì)應(yīng)，它與從 B 到 A 的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的； 對(duì)于映射 f： AB 來說， 則應(yīng)滿足：（）集合 A 中的每一個(gè)元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； （）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)； （）不要求集合 B 中的每一個(gè)元素在集合 A 中都有原象。 7函數(shù)單調(diào)性 （1） 增函數(shù) 設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域?yàn)?I， 如果對(duì)于定義域 I 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 a，b，當(dāng) ab 時(shí)，都有 f(a)f(b)，那么就

10、說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù)。區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間（睇清楚課本單調(diào)區(qū)間的概念） 如果對(duì)于區(qū)間 D 上的任意兩個(gè)自變量的值 a， b， 當(dāng) ab 時(shí)， 都有 f(a)f(b)，那么就說 f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間. 注意： 1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)， 是函數(shù)的局部性質(zhì)； 2 必須是對(duì)于區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 a，b；當(dāng) ab 時(shí)，總有f(a)f(b) 。 （2） 圖象的特點(diǎn) 如果函數(shù) y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)

11、的圖象從左到右是上升的，減 函數(shù)的圖象從左到右是下降的. (3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法 (A) 定義法：任取 a，bD，且 a1，且nN* 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)此時(shí)，a的n次方根用符號(hào)na表示式子na叫做根式（radical） ，這里n叫做根指數(shù)（radical exponent） ，a叫做被開方數(shù)（radicand） 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)此時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)na表示， 負(fù)的n次方根用符號(hào)na表示 正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并成na（a0） 由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0 的任何次方根都是

12、 0，記作00 n。 注意：當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，aann，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，)0()0(|aaaaaann 2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： ) 1, 0(*nNnmaaanmnm，) 1, 0(11*nNnmaaaanmnmnm 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0，0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪 3實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) （1）rasrraa), 0(Rsra； （2）rssraa)(), 0(Rsra； （3）srraaab)(), 0(Rsra （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1、

13、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)) 1, 0(aaayx且叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function） ，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?R 注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和 1 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) a1 0a1 0a1 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011 圖象特征 函數(shù)性質(zhì) 1a 1a0 1a 1a0 函數(shù)圖象都在 y 軸右側(cè) 函數(shù)的定義域?yàn)椋?，） 圖象關(guān)于原點(diǎn)和 y 軸不對(duì)稱 非奇非偶函數(shù) 向 y 軸正負(fù)方向無限延伸 函

14、數(shù)的值域?yàn)?R 函數(shù)圖象都過定點(diǎn) （1， 0） 01loga 自 左 向右看， 圖 象 逐漸上升 自 左 向右看， 圖 象 逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù) 第 一 象限 的 圖象 縱 坐標(biāo) 都 大于 0 第 一 象限 的 圖象 縱 坐標(biāo) 都 大于 0 0log, 1xxa 0log, 10 xxa 第 二 象限 的 圖象 縱 坐標(biāo) 都 小于 0 第 二 象限 的 圖象 縱 坐標(biāo) 都 小于 0 0log, 10 xxa 0log, 1xxa 三、冪函數(shù)三、冪函數(shù) 1、冪函數(shù)定義：一般地，形如xy )(Ra的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù) 2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納 （1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象

15、都過點(diǎn)（1，1） ； （2）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間), 0 上是增函數(shù)特別地，當(dāng)1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)10時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸； （3）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間), 0( 上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)x 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時(shí)， 圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸 第三章第三章 函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用 一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù))(Dxxfy，把使0)(xf成立的實(shí)數(shù)x 叫做函數(shù))(Dxxfy的零點(diǎn)。 2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù))(xfy 的零點(diǎn)就是方程0)(xf實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù))(xf

16、y 的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即： 方程0)(xf有實(shí)數(shù)根函數(shù))(xfy 的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù))(xfy 有零點(diǎn) 3、函數(shù)零點(diǎn)的求法： 求函數(shù))(xfy 的零點(diǎn)： 1 （代數(shù)法）求方程0)(xf的實(shí)數(shù)根； 2 （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù))(xfy 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn) 4、二次函數(shù)的零點(diǎn)： 二次函數(shù))0(2acbxaxy ），方程02cbxax有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) ），方程02cbxax有兩相等實(shí)根（二重根） ，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn) ），方程02cbxax無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)