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1、函數(shù)及其圖像知識(shí)點(diǎn)歸納一變量與函數(shù)1 函數(shù)的定義：一般的，在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，對(duì)于x的每一個(gè)數(shù)值y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，我們說(shuō)x叫做自變量，y叫做因變量，y叫做x的函數(shù)。2自變量的取值范圍：一是使自變量所在的代數(shù)式有意義；二是使函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中有實(shí)際意義。二平面直角坐標(biāo)系：1各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（1）點(diǎn)p（x,y）在第一象限x0,y0. p（+,+）（2）點(diǎn)p（x,y）在第二象限x0,y0. p（-,+）（3）點(diǎn)p（x,y）在第三象限x0,y0 p（-,-）（4）點(diǎn)p（x,y）在第四象限x0,y0. p（+,-）2 坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（1）點(diǎn)p（x,y）在x軸上x(chóng)為任

2、意實(shí)數(shù)，y=0 ,p（x,0）（2）點(diǎn)p（x,y）在y軸上x(chóng)=0,y為任意實(shí)數(shù) p（0,y）3 關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：（1）點(diǎn)p（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,-y）.（2）點(diǎn)p（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x,y）.（3）點(diǎn)p（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x,-y）6點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：（1）點(diǎn)p（x,y）到x軸的距離為 y.（2）點(diǎn)p（x,y）到y(tǒng)軸的距離為x.（3）點(diǎn)p（x,y）到原點(diǎn)的距離為三函數(shù)的圖像判斷點(diǎn)px,y是否在函數(shù)圖像上的方法，將這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) x,y代入函數(shù)關(guān)系式，如果滿足函數(shù)關(guān)系式，那么這個(gè)點(diǎn)就在函數(shù)的圖像上，如果不滿足函數(shù)

3、關(guān)系式，那么，這個(gè)點(diǎn)就不在函數(shù)的圖像上。四一次函數(shù)（一） 一次函數(shù)的定義1定義:含有自變量的式子為一次整式，即形如式子ykx+b(其中k和b為常數(shù)，k0)叫做一次函數(shù)。正比例函數(shù)：在一次函數(shù)y=kx+b中如果b=0即變?yōu)閥=kx(其中k0)，這樣的函數(shù)叫做正比例函數(shù)。2注意：（1）一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b的結(jié)構(gòu)特征： k0 x的次數(shù)是1 常數(shù)b為任意實(shí)數(shù)（3）正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx的結(jié)構(gòu)特征 k0 x的次數(shù)是1 常數(shù)b=03說(shuō)明：在y=kx+b中若k=0則y=bb為常數(shù)這樣的函數(shù)叫做常數(shù)函數(shù)，它不是一次函數(shù)。4正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系：正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包含正比例函數(shù)。

4、一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)b=0時(shí)為正比例函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)b0時(shí)一般的一次函數(shù)（二） 一次函數(shù)的圖像1一次函數(shù)圖像的形狀：一次函數(shù)y=kx+b的圖像是一條直線，通常稱為直線y=kx+b正比例函數(shù)y=kx的圖像也是一條直線，稱為直線y=kx2一次函數(shù)圖像的主要特點(diǎn):一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，b的直線，正比例函數(shù)y=kx+b的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0，0的直線注意：點(diǎn)0，b是直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)。 當(dāng)b0時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)在y軸的正半軸上， 當(dāng)b0時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上， 當(dāng)b=0時(shí)，此時(shí)交點(diǎn)在原點(diǎn)，這時(shí)的一次函數(shù)就是正比例函數(shù)。3一次函數(shù)圖像的畫(huà)法： 根據(jù)兩點(diǎn)能畫(huà)一條直線并且

5、只能畫(huà)一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫(huà)一次函數(shù)的圖像時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，在連成直線即可。兩點(diǎn)為0，b與-,04直線y=kx+b與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（1） 令x=0,則y=b所以直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0，b（2） 令y=0,則kx+b=0所以x=-所以直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為-,0注意：此時(shí)直線y=kx+b與x軸，y軸圍成的三角形面積S=-b5兩直線在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置關(guān)系:（1）兩直線的解析式中當(dāng)k相同時(shí)，其位置關(guān)系是平行，其中一條直線可以看作是另一條平移得到的，平移規(guī)律是“左減右加，上加下減”（2）兩直線的解析式中當(dāng)b相同時(shí)，其位置關(guān)系是相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為0，b.（三）一次

6、函數(shù)的性質(zhì)1正比例函數(shù)的性質(zhì)（1）當(dāng)k0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大，直線y=kx從左到右上升。（2）當(dāng)k0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小，直線y=kx從左到右下降。2一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)（1）當(dāng)k0時(shí)，直線y=kx+b從左到右上升，此時(shí)y隨x的增大而增大。（2）當(dāng)k0時(shí)，直線y=kx+b從左到右下降，此時(shí)y隨x的增大而減小。（3）當(dāng)b0時(shí)，直線y=kx+b與y軸正半軸相交。（4）當(dāng)b0時(shí)，直線y=kx+b與y軸負(fù)半軸相交。3直線y=kx+b的位置與k、b的符號(hào)之間的關(guān)系有六種情況：當(dāng)k0，b0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不經(jīng)過(guò)第四象限；當(dāng)k0，b0時(shí)，直

7、線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第二象限；當(dāng)k0， b0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限；當(dāng)k0，b0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限；當(dāng)k0，b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三象限；當(dāng)k0，b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第二、四象限。（四）正比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式的確定1確定一個(gè)正比例函數(shù)就是要確定正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kxk0中的常數(shù)k;確定一個(gè)一次函數(shù)需要確定一次函數(shù)解析式一般形式y(tǒng)=kx+bk0中的常數(shù)k和b,解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法。2用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟：（1）設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式；（2）把已知條件自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值代入解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或

8、方程組；（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)；（4）將求得的待定系數(shù)的值代回所設(shè)的解析式。注意：通常正比例函數(shù)解析式設(shè)y=kx，只有一個(gè)待定系數(shù)k，一般只需一對(duì)x與y的對(duì)應(yīng)值即可；一次函數(shù)解析式設(shè)y=kx+b，其中有兩個(gè)待定系數(shù)k和b，因而需要兩對(duì)x與y的對(duì)應(yīng)值，才能求出k和b的值。五反比例函數(shù)（一）反比例函數(shù)定義1一般的，函數(shù)y=k是常數(shù)，k0叫做反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成y=kx-1的形式，其中k叫做比例系數(shù)。2反比例函數(shù)解析式的主要特征：（1）等號(hào)左邊是函數(shù)y,右邊是一個(gè)分式，分子是不為零的常數(shù)k,分母中含有自變量x,且x的指數(shù)是1，若寫(xiě)成y=kx-1的形式，則x的指數(shù)是-1

9、。（2）比例系數(shù)“k0”是反比例函數(shù)定義的重要組成部分。（3）自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)。（二）反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，它的圖像與x軸和y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。（三）反比例函數(shù)的性質(zhì)1當(dāng)k0時(shí)，圖像在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左到右下降，也就是在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小。2當(dāng)k0時(shí)，圖像在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左到右上升，也就是在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大。（四）反比例函數(shù)解析式的確定確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)y=中只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)x與y的

10、對(duì)應(yīng)值或圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。（五）反比例函數(shù)y=k0中的比例系數(shù)k的幾何意義 1過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線PM、PN,所得矩形PMON面積為|k|。2連結(jié)PO,則SPOM=S矩形=|k|。六 函數(shù)的應(yīng)用1利用圖像比較兩個(gè)函數(shù)值的大小 在同一直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)函數(shù)圖像，如果其中一個(gè)函數(shù)的圖像在另一個(gè)函數(shù)圖像的上方，則該函數(shù)值就比另一個(gè)函數(shù)值大，若在下方，則該函數(shù)值就比另一個(gè)函數(shù)值小，而其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是分界點(diǎn)。2兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)與二元一次方程組的關(guān)系 如果兩個(gè)一次函數(shù)的圖像相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)必定同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式，故交點(diǎn)坐標(biāo)是有兩個(gè)函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解。3一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系（1）一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于0，反映在函數(shù)解析式就是函數(shù)值等于0，則其橫坐標(biāo)也就是自變量的值為方程kx+b=0的解。（2）一次函數(shù)y=kx+b在x軸上方的圖像，任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都大于0，反映在函數(shù)解析式就是函數(shù)值y0，則對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，也就是自變量的值即為不等式kx+b0的解集。（3）一次函數(shù)y=kx+b在x軸下方的圖像，任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于0，反映在函數(shù)解析式就是函數(shù)值y0，則對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，也就是自變量的值即為不等式kx+b0的解集。