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1、北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識(shí)點(diǎn)匯總九年級(下冊)第一章 直角三角形邊的關(guān)系一. 正切：定義：在RtABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即;tanA是一個(gè)完整的符號，它表示A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“”；tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中A的對邊與鄰邊的比；tanA不表示“tan”乘以“A”；初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，A是銳角的正切；tanA的值越大，梯子越陡，A越大； A越大，梯子越陡，tanA的值越大。二. 正弦：定義：在RtABC中，銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA，即;三. 余弦：定義：在RtABC中，銳角A的鄰邊與斜邊的比

2、叫做A的余弦，記作cosA，即;余切：定義：在RtABC中，銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記作cotA，即;一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。030 45 60 90 sin01cos10tan01cot10（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個(gè)銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若A為銳角，則； ； 當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1)當(dāng)圖1角度在090間變化時(shí)，正弦值、正切

3、值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：tgctg=1。在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和二個(gè)銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。在ABC中，C為直角，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有 (1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關(guān)系：AB=90； (3)邊與角之間的關(guān)系：(4)面積公式:(hc為C邊上的高); (5)直角三角形的內(nèi)切圓半徑 (6)直角三角形的外接圓半徑解直角三角形的幾種基本

4、類型列表如下：圖2hi=h:llABC解直角三角形的幾種基本類型列表如下：圖3圖4 如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC的方位角分別為45、135、225。指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫做方向角。如圖4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30，南偏東45(東南方向)、南偏西為60，北偏西60。第二章 二次函數(shù)二次函數(shù)的概念：形如的函數(shù)，叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。 是二次函數(shù)的特例，此時(shí)常數(shù)b=c=0.在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，一定

5、要尋找兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍。二次函數(shù)yax2的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物線與x軸的交點(diǎn)等方面來描述。函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；拋物線的頂點(diǎn)在(0，0)，對稱軸是y軸(或稱直線x0)。當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，并且向下方無限伸展。函數(shù)的增減性：A、當(dāng)a0時(shí) B、當(dāng)a0時(shí)當(dāng)a越大，拋物線開口越??；當(dāng)a越小，拋物線的開口越大。最大值或最小值：當(dāng)a0，且x0時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a0，且x0

6、時(shí)函數(shù)有最大值，最大值是0二次函數(shù)的圖象是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對稱的拋物線二次函數(shù)的圖象是以為對稱軸，頂點(diǎn)在（，）的拋物線。（開口方向和大小由a來決定）|a|的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越快；|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠(yuǎn)離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越慢。二次函數(shù)的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線的開口程度大小，c決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的高低。二次函數(shù)的圖象與yax2的圖象的關(guān)系： 的圖象可以由yax2的圖象平移得到，其步驟如下： 將配方成的形式；（其中h=，k=）；把拋物線向右（h0）或向左

7、（h0）或向下（k0，則當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大。若a0，則當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小。最值：若a0，則當(dāng)x=時(shí)，；若a0 拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)； =0 拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)； 0 拋物線與x軸有0個(gè)交點(diǎn)（無交點(diǎn)）；當(dāng)0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，則這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離：化簡后即為： - 這就是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之間的距離公式。第三章 圓一. 車輪為什么做成圓形1. 圓的定義： 描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn)O叫做圓心；線段OA叫做半徑；以點(diǎn)O為圓心的圓，記作O，讀作“圓O” 集合性定義：圓是平

8、面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長）。2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征： 如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則 點(diǎn)在圓上 d=r;點(diǎn)在圓內(nèi) dr;點(diǎn)在圓外 dr.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。二. 圓的對稱性: 1. 與圓相關(guān)的概念：弦和直徑： 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。 直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑?；?、半圓、優(yōu)弧

9、、劣?。夯。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表示，以CD為端點(diǎn)的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.2. 圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱

10、軸。3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備： 過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣弧。 上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論: 在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.三. 圓周角和圓心角的關(guān)系:1. 1的弧的概念: 把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成3

11、60份時(shí),每一份的角都是1的圓心角,相應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1弧.2. 圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫成AOB= ,這是錯(cuò)誤的.3. 圓周角的定義: 頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.4. 圓周角定理: 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論1: 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相等；推論2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑；四. 確定圓的條件:1. 理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件: 圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑

12、決定圓的大小. 經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上.2. 經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況:(1) 經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn),能且僅能作一個(gè)圓.定理: 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: (1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.五. 直線與圓的位置關(guān)系1. 直線和圓相交、相切相離的定義:(1)相交: 直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相交,這時(shí)直線叫做圓的割線.(2)相切: 直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相切,這時(shí)直線叫做圓的切線,惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).(3)相離: 直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離.2. 直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征: