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1、高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)空間向量與立體幾何一、考點概要：1、空間向量及其運算 （1）空間向量的基本知識： 定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。 空間向量基本定理： 定理：如果三個向量不共面，那么對于空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。且把叫做空間的一個基底，都叫基向量。 正交基底：如果空間一個基底的三個基向量是兩兩相互垂直，那么這個基底叫正交基底。 單位正交基底：當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱為單位正交基底，通常用表示。 空間四點共面：設(shè)O、A、B、C是不

2、共面的四點，則對空間中任意一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使。 共線向量（平行向量）： 定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作。規(guī)定：零向量與任意向量共線； 共線向量定理：對空間任意兩個向量平行的充要條件是：存在實數(shù)，使。 共面向量：定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量；空間的任意兩個向量都是共面向量。 向量與平面平行：如果直線OA平行于平面或在內(nèi)，則說向量平行于平面，記作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。 共面向量定理：如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是：存在實數(shù)對x、y，使。 空間的三個

3、向量共面的條件：當(dāng)、都是非零向量時，共面向量定理實際上也是、所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。 共面向量定理的推論：空間一點P在平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使得，或?qū)τ诳臻g任意一定點O，有。 空間兩向量的夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，（兩個向量的起點一定要相同），則叫做向量與的夾角，記作，且。兩個向量的數(shù)量積： 定義：已知空間兩個非零向量、，則叫做向量、的數(shù)量積，記作，即：。 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。 注意：兩個向量的數(shù)量積也叫向量、的點積（或內(nèi)積），它的結(jié)果是一個實數(shù)，它等于

4、兩向量的模與其夾角的余弦值。 數(shù)量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影（其中為向量和的夾角）。 即：數(shù)量積等于向量的模與向量在方向上的投影的乘積。 基本性質(zhì)：運算律：（2）空間向量的線性運算： 定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下： 加法： 減法： 數(shù)乘向量： 運算律： 加法交換律： 加法結(jié)合律： 數(shù)乘分配律：二、復(fù)習(xí)點睛： 1、立體幾何初步是側(cè)重于定性研究，而空間向量則側(cè)重于定量研究?？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個十分有效的工具。 2、根據(jù)空間向量的基本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問題的向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，形成了用空

5、間坐標(biāo)研究空間圖形的坐標(biāo)法，它們的解答通常遵循“三步”：一化向量問題，二進行向量運算，三回到圖形問題。其實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想與等價轉(zhuǎn)化思想的運用。 3、實數(shù)的運算與向量的運算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律，但不滿足結(jié)合律，因此在進行數(shù)量積相關(guān)運算的過程中不可以隨意組合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然適用，數(shù)量積的運算在許多方面和多項式的運算如出一轍，尤其去括號就顯得更為突出，下面兩個公式較為常用，請務(wù)必記住并學(xué)會應(yīng)用：。2、空間向量的坐標(biāo)表示： （1）空間直角坐標(biāo)系： 空間直角坐標(biāo)系O-xyz，在空間選定一點O和一個單位正交基底，以點O為原點，分別以的方向為正方向建

6、立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，點O叫做原點，向量叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面。右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向；構(gòu)成元素：點（原點）、線（x、y、z軸）、面（xOy平面，yOz平面，zOx平面）； 空間直角坐標(biāo)系的畫法：作空間直角坐標(biāo)系O-xyz時，一般使xOy=135(或45),yOz=90，z軸垂直于y軸，z軸、y軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸（或z軸）的一半；（2）空間向量的坐標(biāo)表示：已知空間直角坐標(biāo)系和向量，且設(shè)為坐標(biāo)向量（

7、如圖），由空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作。 在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對于空間任一點A，對應(yīng)一個向量，若，則有序數(shù)組(x，y，z)叫做點在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)， y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)，寫點的坐標(biāo)時，三個坐標(biāo)間的順序不能變。 空間任一點的坐標(biāo)的確定：過P分別作三個與坐標(biāo)平面平行的平面（或垂面），分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點，x=OA，y=OB，z=OC，當(dāng)與的方向相同時，x0，當(dāng)與的方向相反時，x0，同理可確y、z（如圖）。規(guī)定：一切空間向量的起點都是坐標(biāo)系原點，于是，空間任意一

8、個向量與它的終點坐標(biāo)一一對應(yīng)。 一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。 設(shè)， 則： （3）空間向量的直角坐標(biāo)運算：空間兩點間距離：； 空間線段的中點M（x，y，z）的坐標(biāo)：； 球面方程：二、復(fù)習(xí)點睛： 4、過定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點且一般具有相同的長度單位。這三條軸分別叫做z軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸）；統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系，點O叫做坐標(biāo)原點。 5、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點: （1）點（原點）的坐標(biāo)：(0

9、,0,0)； （2）線（坐標(biāo)軸）上的點的坐標(biāo)：x軸上的坐標(biāo)為(x,0,0)，y軸上的坐標(biāo)為(0,y,0)，z軸上的坐標(biāo)為(0,0,z)； （3）面（xOy平面、yOz平面、zOx平面）內(nèi)的點的坐標(biāo)：平面上的坐標(biāo)為(x,y,0)、平面上的坐標(biāo)為(0,y,z)、平面上的坐標(biāo)為(x,0,z)6、要使向量與z軸垂直，只要z=0即可。事實上，要使向量與哪一個坐標(biāo)軸垂直，只要向量的相應(yīng)坐標(biāo)為0即可。 7、空間直角坐標(biāo)系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面； 8、只要將和代入，即可證明空間向量的運算法則與平面向量一樣； 9、由空間向量基本定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個向量生成任意不共面的三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底，此定理是空間向量分解的基礎(chǔ)。