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1、高中數(shù)學(xué)必修高中數(shù)學(xué)必修 1 1 知識點總結(jié)知識點總結(jié) 第一章第一章 集合與函數(shù)概念集合與函數(shù)概念 一、集合有關(guān)概念一、集合有關(guān)概念 1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。 2、集合的中元素的三個特性： 1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性 說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。 (2)任何一個給定的集合中， 任何兩個元素都是不同的對象， 相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。 (3)集合中的元素是平等的， 沒有先后順序， 因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否

2、一樣，不需考查排列順序是否一樣。 (4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。 3、集合的表示： 如我校的籃球隊員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列舉法與描述法。 非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N 正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集 Z 有理數(shù)集 Q 實數(shù)集 R 關(guān)于“屬于”的概念 集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就說 a屬于集合 A 記作 aA ，相反，a 不屬于集合 A 記作 aA 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。 描述法： 將集合中的

3、元素的公共屬性描述出來， 寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 數(shù)學(xué)式子描述法： 例： 不等式 x-32 的解集是x?R| x-32或x| x-32 4、集合的分類： （1） 有限集 含有有限個元素的集合 （2） 無限集 含有無限個元素的集合 （3） 空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5 二、集合間的基本關(guān)系二、集合間的基本關(guān)系 1.“包含”關(guān)系子集 注意： 有兩種可能（1）A 是 B 的一部分， ； （2）A 與 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,記作 A B

4、 或 B A 2 “相等”關(guān)系(55，且 55，則 5=5) 實例：設(shè) A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同” 結(jié)論：對于兩個集合 A 與 B，如果集合 A 的任何一個元素都是集合 B 的元素，同時,集合 B 的任何一個元素都是集合 A 的元素，我們就說集合 A 等于集合 B，即：A=B 任何一個集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 B A 那就說集合 A 是集合 B 的真子集， 記作 A B(或 B A) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同時 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為 規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真

5、子集。 三、集合的運算三、集合的運算 1交集的定義：一般地，由所有屬于 A 且屬于 B 的元素所組成的集合,叫做 A,B 的交集 記作 AB(讀作”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB 2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合 A 或?qū)儆诩?B 的元素所組成的集合，叫做 A,B 的并集。記作：AB(讀作”A 并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB 3、交集與并集的性質(zhì)：AA = A, A= , AB = BA，AA = A, A= A ,AB = BA. 4、全集與補集 （1）補集：設(shè) S 是一個集合，A 是 S 的一個子集（即 ） ，由 S 中所有不屬于 A 的元素組成的集合，叫做

6、 S 中子集 A 的補集（或余集） （2）全集：如果集合 S 含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用 U 來表示。 四、函數(shù)的有關(guān)概念四、函數(shù)的有關(guān)概念 1函數(shù)的概念：設(shè) A、B 是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系 f，使對于集合 A 中的任意一個數(shù) x，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么就稱 f：AB 為從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域 注意：如果只給出解析式 y

7、=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式 定義域補充 能使函數(shù)式有意義的實數(shù) x 的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于 1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零 (6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義. (又注意：求出不等式組的解集

8、即為函數(shù)的定義域。) 構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域 注意： （1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)） （2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同；定義域一致 (兩點必須同時具備) (見課本21 頁相關(guān)例 2) 值域補充 (1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域. (2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它

9、是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。 3. 函數(shù)圖象知識歸納 (1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(x) , (xA)中的 x 為橫坐標，函數(shù)值 y 為縱坐標的點 P(x，y)的集合 C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象 集合 C 上每一點的坐標(x， y)均滿足函數(shù)關(guān)系 y=f(x)， 反過來， 以滿足 y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對 x、 y 為坐標的點(x， y)， 均在 C 上 . 即記為 C= P(x,y) | y= f(x) , xA ,圖象 C 一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與 Y 軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。 (2) 畫

10、法 A、 描點法： 根據(jù)函數(shù)解析式和定義域， 求出 x,y 的一些對應(yīng)值并列表， 以(x,y)為坐標在坐標系內(nèi)描出相應(yīng)的點 P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來. B、圖象變換法（請參考必修 4 三角函數(shù)） 常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換 (3)作用： 1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。 4了解區(qū)間的概念 （1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間； （2）無窮區(qū)間； （3）區(qū)間的數(shù)軸表示 5什么叫做映射 一般地，設(shè) A、B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則 f，使對于集合 A 中的

11、任意一個元素 x，在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應(yīng)， 那么就稱對應(yīng) f：A B 為從集合 A 到集合 B 的一個映射。記作“f：A B” 給定一個集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 對應(yīng)，那么，我們把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，集合 A、B 及對應(yīng)法則 f 是確定的；對應(yīng)法則有“方向性” ，即強調(diào)從集合 A 到集合 B 的對應(yīng)，它與從 B 到 A 的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的； 對于映射 f： AB 來說， 則應(yīng)滿足：（）集合 A 中的每一個元素，在集合 B 中都有象，并

12、且象是唯一的； （）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中對應(yīng)的象可以是同一個； （）不要求集合B 中的每一個元素在集合 A 中都有原象。 常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點： 1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)； 2 解析法： 必須注明函數(shù)的定義域； 3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4 列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征 解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值. 補充一：分段函數(shù) （參見課本 P24-25） 在定義域的不同部分上有不

13、同的解析表達式的函數(shù)。 在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達式。 分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況 （1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)； （2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集 補充二：復(fù)合函數(shù) 如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則 y=fg(x)=F(x)，(xA) 稱為 f、g 的復(fù)合函數(shù)。 例如: y=2sinx y=2cos(2x+1) 7函數(shù)單調(diào)性 （1） 增函數(shù) 設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域為 I， 如果對于定義域

14、I 內(nèi)的某個區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個自變量 a，b，當 ab 時，都有 f(a)f(b)，那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù)。區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間（睇清楚課本單調(diào)區(qū)間的概念） 如果對于區(qū)間 D 上的任意兩個自變量的值 a， b， 當 ab 時， 都有 f(a)f(b)，那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間 D 稱為 y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間. 注意： 1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)， 是函數(shù)的局部性質(zhì)； 2 必須是對于區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個自變量 a，b；當 ab 時，總有 f(a)f(b) 。 （2） 圖象的特點 如果函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)

15、間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減 函數(shù)的圖象從左到右是下降的. (3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法 (A) 定義法：任取 a，bD，且 a1，且nN* 當n是奇數(shù)時， 正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)， 負數(shù)的n次方根是一個負數(shù) 此時，a的n次方根用符號na表示式子na叫做根式（radical） ，這里n叫做根指數(shù)（radical exponent） ，a叫做被開方數(shù)（radicand） 當n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)此時，正數(shù)a的正的n次方根用符號na表示，負的n次方根用符號na表示

16、正的n次方根與負的n次方根可以合并成na（a0） 由此可得：負數(shù)沒有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，記作00 n。 注意：當n是奇數(shù)時，aann，當n是偶數(shù)時，)0()0(|aaaaaann 2分數(shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： ) 1, 0(*nNnmaaanmnm，) 1, 0(11*nNnmaaaanmnmnm 0 的正分數(shù)指數(shù)冪等于 0，0 的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義 指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪 3實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) （1）rasrraa), 0(Rsra； （2）rssraa

17、)(), 0(Rsra； （3）srraaab)(), 0(Rsra （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)) 1, 0(aaayx且叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function） ，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域為 R 注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和 1 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) a1 0a1 0a1 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011 圖象特征 函數(shù)性質(zhì) 1a 1a0 1a 1a0 函數(shù)圖象都在 y 軸右側(cè)

18、函數(shù)的定義域為（0，） 圖象關(guān)于原點和 y 軸不對稱 非奇非偶函數(shù) 向 y 軸正負方向無限延伸 函數(shù)的值域為 R 函數(shù)圖象都過定點 （1， 0） 01loga 自 左 向右看， 圖 象 逐漸上升 自 左 向右看， 圖 象 逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù) 第 一 象限 的 圖象 縱 坐標 都 大于 0 第 一 象限 的 圖象 縱 坐標 都 大于 0 0log, 1xxa 0log, 10 xxa 第 二 象限 的 圖象 縱 坐標 都 小第 二 象限 的 圖象 縱 坐標 都 小0log, 10 xxa 0log, 1xxa 于 0 于 0 三、冪函數(shù)三、冪函數(shù) 1、冪函數(shù)定義：一般地，形如xy )(Ra

19、的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù) 2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納 （1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過點（1，1） ； （2）0時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間), 0 上是增函數(shù)特別地，當1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當10時，冪函數(shù)的圖象上凸； （3）0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間), 0( 上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當x 從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于時， 圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸 第三章第三章 函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用 一、方程的根與函數(shù)的零點一、方程的根與函數(shù)的零點 1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù))(Dxxfy，把使0)(xf成立的實數(shù)x 叫做函數(shù))(Dxx

20、fy的零點。 2、函數(shù)零點的意義：函數(shù))(xfy 的零點就是方程0)(xf實數(shù)根，亦即函數(shù))(xfy 的圖象與x軸交點的橫坐標。即： 方程0)(xf有實數(shù)根函數(shù))(xfy 的圖象與x軸有交點函數(shù))(xfy 有零點 3、函數(shù)零點的求法： 求函數(shù))(xfy 的零點： 1 （代數(shù)法）求方程0)(xf的實數(shù)根； 2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù))(xfy 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點 4、二次函數(shù)的零點： 二次函數(shù))0(2acbxaxy ），方程02cbxax有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點 ），方程02cbxax有兩相等實根（二重根）

21、 ，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點 ），方程02cbxax無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點 高中數(shù)學(xué)必修二知識點高中數(shù)學(xué)必修二知識點 一、直線與方程 （1）直線的傾斜角 定義：x 軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與 x 軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0180 （2）直線的斜率 定義：傾斜角不是90 的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k 表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。 當時， ； 當時， ； 當時，不存在。 過兩點的直線的斜率公式： 注意下面四點：

22、(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90 ； (2)k 與 P1、 P2的順序無關(guān)； (3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得； (4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。 （3）直線方程 點斜式：直線斜率 k，且過點 注意：當直線的斜率為0 時，k=0，直線的方程是 y=y1。 當直線的斜率為90 時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示但因 l 上每一點的橫坐標都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。 斜截式： ，直線斜率為 k，直線在 y 軸上的截距為 b 兩點式： （）直線兩點， 截矩式： 其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸

23、的截距分別為。 一般式： （A，B 不全為0） 注意：各式的適用范圍 特殊的方程如： 平行于 x 軸的直線： （b 為常數(shù)） ； 平行于 y 軸的直線： （a 為常數(shù)） ； （5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線 （一）平行直線系 平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系： （C 為常數(shù)） （二）垂直直線系 垂直于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系： （C 為常數(shù)） （三）過定點的直線系 （）斜率為 k 的直線系： ，直線過定點； （）過兩條直線，的交點的直線系方程為 （為參數(shù)） ，其中直線不在直線系中。 （6）兩直線平行與垂直 當，時， ； 注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注

24、意斜率的存在與否。 （7）兩條直線的交點 相交 交點坐標即方程組的一組解。 方程組無解 ； 方程組有無數(shù)解與重合 （8）兩點間距離公式：設(shè)是平面直角坐標系中的兩個點， 則 （9）點到直線距離公式：一點到直線的距離 （10）兩平行直線距離公式 在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。 二、圓的方程 1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。 2、圓的方程 （1）標準方程，圓心，半徑為 r； （2）一般方程 當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為 當時，表示一個點； 當時，方程不表示任何圖形。 （3）求圓方程的方法： 一般都采用待定系數(shù)法：先

25、設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程， 需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F(xiàn)； 另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。 3、直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況： （1）設(shè)直線，圓，圓心到 l 的距離為，則有； ； （2）過圓外一點的切線：k 不存在，驗證是否成立k 存在，設(shè)點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解 k，得到方程【一定兩解】 (3)過圓上一點的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(

26、y-b)= r2 4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差） ，與圓心距（d）之間的大小比較來確定。 設(shè)圓， 兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差） ，與圓心距（d）之間的大小比較來確定。 當時兩圓外離，此時有公切線四條； 當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條； 當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線； 當時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線； 當時，兩圓內(nèi)含； 當時，為同心圓。 注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線 圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點 三、立體幾何初步 1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征 （1）棱

27、柱： 幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。 （2）棱錐 幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。 （3）棱臺： 幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點 （4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成 幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個矩形。 （5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成 幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；

28、側(cè)面展開圖是一個扇形。 （6）圓臺：定義：以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成 幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個弓形。 （7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體 幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。 2、空間幾何體的三視圖 定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影） ；側(cè)視圖（從左向右） 、 俯視圖（從上向下） 注：正視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體的高度和寬度。 3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法 斜二測畫法特點：原來與 x 軸平行的線

29、段仍然與 x 平行且長度不變； 原來與 y 軸平行的線段仍然與 y 平行，長度為原來的一半。 4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積 （1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。 （2）特殊幾何體表面積公式（c 為底面周長，h 為高，為斜高，l 為母線） （3）柱體、錐體、臺體的體積公式 （4）球體的表面積和體積公式：V= ； S= 4、空間點、直線、平面的位置關(guān)系 公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點都在這個平面內(nèi)。 應(yīng)用： 判斷直線是否在平面內(nèi) 用符號語言表示公理1： 公理2：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線 符號：平面 和 相

30、交，交線是 a，記作 a。 符號語言： 公理2的作用： 它是判定兩個平面相交的方法。 它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系：交線必過公共點。 它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù)。 公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。 推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。 公理3及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù) 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過平面外一點與平面

31、內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角：作平行，令兩線相交，所得銳角或直角，即所成角。兩條異面直線所成角的范圍是（0 ，90 ，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。 求異面直線所成角步驟： A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角 （7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。 （8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點 三種位置關(guān)系的符號表示：a aA a （9）平面與平面之間的位置關(guān)

32、系：平行沒有公共點； 相交有一條公共直線。b 5、空間中的平行問題 （1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì) 線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。 線線平行線面平行 線面平行的性質(zhì)定理： 如果一條直線和一個平面平行， 經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交， 那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行 （2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì) 兩個平面平行的判定定理 （1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 （線面平行面面平行） ， （2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。 （線線平行面面平行） ， （3）垂

33、直于同一條直線的兩個平面平行， 兩個平面平行的性質(zhì)定理 （1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。 （面面平行線面平行） （2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。 （面面平行線線平行） 7、空間中的垂直問題 （1）線線、面面、線面垂直的定義 兩條異面直線的垂直： 如果兩條異面直線所成的角是直角， 就說這兩條異面直線互相垂直。 線面垂直： 如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直， 就說這條直線和這個平面垂直。 平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角） ，就說這兩個平面垂直。 （2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理： 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直， 那么這條直線垂直這個平面。 性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直