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1、第七章 三角形【知識要點】一認識三角形1關于三角形的概念及其按角的分類定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。2三角形的分類：三角形按內角的大小分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。三角形按邊分為兩類：等腰三角形和不等邊三角形。2關于三角形三條邊的關系（判斷三條線段能否構成三角形的方法、比較線段的長短）根據公理“兩點之間，線段最短”可得：三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。3與三角形有關的線段：三角形的角平分線、中線和高三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與對邊相交形成的線段；三角形的中線：連接三角形的一個頂點與對邊中點的線段，三

2、角形任意一條中線將三角形分成面積相等的兩個部分；三角形的高：過三角形的一個頂點做對邊的垂線，這條垂線段叫做三角形的高。注意：三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線；任意一個三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高；任意一個三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內部。但三角形的高卻有不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內部；直角三角形有一條高在三角形的內部，另兩條高恰好是它兩條直角邊；鈍角三角形一條高在三角形的內部，另兩條高在三角形的外部。一個三角形中，三條中線交于一點，三條角平分線交于一點，三條高所在的直線交于一點。（三角形的三條高（或三條高所在的直線）交與一點，銳

3、角三角形高的交點在三角形的內部，直角三角形高的交點是直角頂點，鈍角三角形高（所在的直線）的交點在三角形的外部。）4三角形的內角與外角（1）三角形的內角和：180引申：直角三角形的兩個銳角互余；一個三角形中至多有一個直角或一個鈍角；一個三角中至少有兩個內角是銳角。（2）三角形的外角和：360（3） 三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；常用來求角度三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。常用來比較角的大小5. 多邊形的內角與外角多邊形的內角和與外角和（識記）正n邊形34568101215內角和1803605407201080144018002340外角和36036

4、0360360360360360360每一個內角6090108120135144150158每一個外角12090726045363022（1）多邊形的內角和：（n-2）180（2）多邊形的外角和：360引申：（1）從n邊形的一個頂點出發(fā)能作（n-3）條對角線；（2）多邊形有條對角線。（3）從n邊形的一個頂點出發(fā)能將n邊形分成（n-2）個三角形；6鑲嵌（1）同一種正三邊形、正四邊形、正六邊形可以進行平面鑲嵌；（2）正三角形與正四邊形、正三角形與正六邊形可以進行平面鑲嵌；（1）同一種任意三角形、任意四邊形可以進行鑲嵌。【典型例題】三角形的分類例題1：具備下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ B

5、 ）。A：A+B=C B：A=B= C C：A=90-B D：A-B=90例題2：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，則頂角的度數為( D )A60 B120 C60或150 D60或120如圖，1+2+3+4等于多少度；（280） 練習：1、如圖，下列說法錯誤的是( A )A、B ACD B、B+ACB =180AC、B+ACB B2、若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內角，則這個三角形是( C ).A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、無法確定三角形的內角和、外角和相關的計算與證明例題1：若三角形的三個外角的比為3：4：5，則這個三角形為（ B ）A銳角三角形 B直角

6、三角形 C等邊三角形 D鈍角三角形例題2：已知等腰三角形的一個外角為150，則它的底角為_.練習：1、如圖，若AEC=100，B=45，C=38，則DFE等于( A )A. 125 B. 115 C. 110 D. 105 _3題圖_150_50_3_2_1_2題圖_140_80_1_1題圖_F_E_A_C_B_D2、如圖，1=_.3、如圖，則1=_,2=_,3=_,4、已知等腰三角形的一個外角是120，則它是( C )A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰鈍角三角形5、如果三角形的一個外角和與它不相鄰的兩個內角的和為180，那么與這個外角相鄰的內角的度數為( C

7、)A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 6、已知三角形的三個外角的度數比為234，則它的最大內角的度數( D ).A. 90 B. 110 C. 100 D. 120 例7.如圖（1）所示，中，的平分線交于點，求證：.（1）（2） （3）變式1：如圖（2）所示，中，內角和外角的平分線交于點，求證：.變式2：如圖（3）所示，中，外角的平分線交于點，求證：.分析：本題已知的內角平分線和外角平分線，從而想到可利用三角形角平分線的性質，三角形的內角和定理以及外角與內角的關系證題。解答：如圖（1），在中，又的平分線交于點，變式1：是的一個外角，平分，平分，且是的外角，即變式2：在中， 在中，

8、平分，且三點共線，同理可證例5.已知：如圖，在中，分別是邊上的高，相交于，求的度數。分析：由已知可求，在中，故先求和。解答：設，則，解得為邊上的高，在中，同理在中，例題1：若一個多邊形的內角和與外角和相等，則這個多邊形是（A）A 三角形 B六邊形 C五邊形 D四邊形例題2：下列說法錯誤的是（ A ）A邊數越多，多邊形的外角和越大 B多邊形每增加一條邊，內角和就增加180C正多邊形的每一個外角隨著邊數的增加而減小 D六邊形的每一個內角都是120例題3：一個多邊形內角和與其中一個外角的總和為1360這個多邊形的邊數為 9 .例題4：一個多邊形的每一個外角都是24，則此多邊形的內角和（B）A2160

9、 B2340 C2700 D2880練習：1一個多邊形內角和是10800，則這個多邊形的邊數為 （ B ）A、 6 B、 7 C、 8 D、 92一個多邊形的內角和是外角和的2倍，它是（ C ）A、 四邊形 B、 五邊形 C、 六邊形 D、 八邊形3一個多邊形的邊數增加一倍，它的內角和增加( A )A. 180 B. 360 C. (n-2)180 D. n1804、若一個多邊形的內角和與外角和相加是1800，則此多邊形是( B )A、八邊形 B、十邊形 C、十二邊形 D、十四邊形5、正方形每個內角都是 _90_，每個外角都是 _90_。6、多邊形的每一個內角都等于150，則從此多邊形一個頂點

10、出發(fā)引出的對角線有 9 條。7、正六邊形共有_9_條對角線，內角和等于_720_，每一個內角等于_120_。8、內角和是1620的多邊形的邊數是 _11_。9、如果一個多邊形的每一外角都是24，那么它是_15_邊形。10、將一個三角形截去一個角后，所形成的一個新的多邊形的內角和_180或360_。11、一個多邊形的內角和與外角和之比是52，則這個多邊形的邊數為_8_。12、一個多邊形截去一個角后,所得的新多邊形的內角和為2520,則原多邊形有_15或16或17_條邊。13.已知一個十邊形中九個內角的和的度數是12900，那么這個十邊形的另一個內角為 150 度.考點六：鑲嵌例題1：裝飾大世界出

11、售下列形狀的地磚：正方形；長方形；正五邊形；正六邊形。若只選購其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚有（ B ） A. B. C. D. 例題2：邊長相等的下列兩種正多邊形的組合，不能作平面鑲嵌的是( B)A.正方形與正三角形B.正五邊形與正三角形 C.正六邊形與正三角形D.正八邊形與正方形練習：1. 下列正多邊中，能鋪滿地面的是（ B ）A、正方形 B、 正五邊形 C、 等邊三角形 D、 正六邊形2. 下列正多邊形的組合中，不能夠鋪滿地面的是( D ).A.正六邊形和正三角形 B.正三角形和正方形 C.正八邊形和正方形 D.正五邊形和正八邊形3. 用正三角形和正十二邊形鑲嵌，可能情況有( B

12、 )種.A、1 B、2 C、3 D、44. 某裝飾公司出售下列形狀的地磚：正方形；長方形；正五邊形；正六邊形.若只選購其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚共有( C )種.A、1 B、2 C、3 D、45. 小李家裝修地面，已有正三角形形狀的地磚，現打算購買另一種不同形狀的正多邊形地磚，與正三角形地磚在同一頂點處作平面鑲嵌，則小李不應購買的地磚形狀是( C )A、正方形 B、正六邊形 C、正八邊形 D、正十二邊形6. 用正三角形和正四邊形作平面鑲嵌，在一個頂點周圍，可以有_3_個正三角形和_2_個正四邊形。_ 第1個_ 第3個_ 第?2個7. 如圖，第n個圖案中有白色地磚_（4n+2）_塊.8.多邊形的內角和與某一個外角的度數總和為，求多邊形的邊數。分析：利用多邊形的內角和公式來求，另外此題隱含邊數為正整數這個條件。解答：設邊數為，這個外角為，則，依題意有：為正整數，（）必為180的倍數。又，