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1、第九章 曲線(xiàn)積分與曲面積分 第六節(jié) 高斯公式和斯托克斯公式,一、高 斯 公 式,證明,根據(jù)三重積分的計(jì)算法,根據(jù)曲面積分的計(jì)算法,同理,-高斯公式,和并以上三式得：,Gauss公式的實(shí)質(zhì),表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.,由兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系知,高斯公式的應(yīng)用,解,(利用柱面坐標(biāo)得),使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意:,解,空間曲面在 面上的投影域?yàn)?曲面不是封閉曲面, 為利用高斯公式,故所求積分為,例3.,設(shè) 為曲面,取上側(cè), 求,解:,作取下側(cè)的輔助面,用柱坐標(biāo),用極坐標(biāo),解:,作取下側(cè)的輔助面,于是,二、斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,是有向曲面

2、 的 正向邊界曲線(xiàn),右手法則,證明,如圖,思路,曲面積分,二重積分,曲線(xiàn)積分,1,2,1,根椐格林公式,平面有向曲線(xiàn),2,空間有向曲線(xiàn),同理可證,故有結(jié)論成立.,另一種形式,便于記憶形式,Stokes公式的實(shí)質(zhì):,表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線(xiàn)上的曲線(xiàn)積分之間的關(guān)系.,斯托克斯(stokes)公式的應(yīng)用,解,按斯托克斯公式, 有,例6 利用斯托克斯公式計(jì)算積分,其中 L 為 y2+ z2 = 1 , x = y 所交的橢圓正向.,解,記以 L 為邊界的橢圓面為 S , 其方向按右手法則,確定，于是有,空間曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件,定理22.5,設(shè) 是空間單連通區(qū)域, 函數(shù) P, Q, R,在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個(gè)條件相互等價(jià):,(1) 對(duì) 內(nèi)任一按段光滑閉曲線(xiàn) L, 有,(2) 對(duì) 內(nèi)任一按段光滑曲線(xiàn) L,與路徑無(wú)關(guān),(4) 在 內(nèi)處處有,(3) 在 內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使,與路徑無(wú)關(guān), 并求函數(shù),解 令, 積分與路徑無(wú)關(guān),因此,例7 驗(yàn)證曲線(xiàn)積分,內(nèi)容小結(jié),1. 高斯公式,2. 斯托克斯公式,