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1、三線擺法測定剛體的轉(zhuǎn)動慣量一、實驗簡介轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。剛體的轉(zhuǎn)動慣量有著重要的物理意義，在科學實驗、工程技術(shù)、航天、電力、機械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個重要參量。對于幾何形狀簡單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計算出它相對于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。對于任意剛體的轉(zhuǎn)動慣量，通常是用實驗方法測定出來的。測定剛體轉(zhuǎn)動慣量的方法很多，通常的有三線擺、扭擺、復擺等。本實驗要求學生掌握用三線擺測定物體轉(zhuǎn)動慣量的方法,并驗證轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理。二、實驗原理圖1三線擺結(jié)構(gòu)示意圖 圖2下圓盤的扭轉(zhuǎn)振動1底座；2底座上的調(diào)平螺絲；3支桿；4懸架

2、和支桿連接的固定螺絲；5懸架；6上圓盤懸線的固緊螺絲；7上圓盤；8懸線；9下圓盤；10待測金屬環(huán)；當上、下圓盤水平時，將上圓盤繞豎直的中心軸線轉(zhuǎn)動一個小角度,借助懸線的張力使懸掛的大圓盤繞中心軸作扭轉(zhuǎn)擺動。同時，下圓盤的質(zhì)心將沿著轉(zhuǎn)動軸升降，如上圖中右圖所示。H是上、下圓盤中心的垂直距離；h是下圓盤在振動時上升的高度；是扭轉(zhuǎn)角。顯然，扭轉(zhuǎn)的過程也是圓盤勢能與動能的轉(zhuǎn)化過程。扭轉(zhuǎn)的周期與下圓盤（包括置于上面的剛體）的轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)。當下圓盤的扭轉(zhuǎn)角很小時，下圓盤的振動可以看作理想的簡諧振動。其勢能和動能分別為： （1） （2）式中是下圓盤的質(zhì)量，g為重力加速度，h為下圓盤在振動時上升的高度，為圓頻

3、率，為下圓盤質(zhì)心的速度，軸的轉(zhuǎn)動慣量。若忽略摩擦力的影響，則在重力場中機械能守恒：（3）因下圓盤的轉(zhuǎn)動能遠大于上下運動的平動能，于是近似有（4）又通過計算可得：（5）將（5）代入（4）并對t求導，可得：（6）該式為簡諧振動方程，可得方程的解為：（7）因振動周期，代入上式得： 故有： （8）由此可見，只要準確測出三線擺的有關(guān)參數(shù)、R、r、H和，就可以精確地求出下圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。如果要測定一個質(zhì)量為m的物體的轉(zhuǎn)動慣量，可先測定無負載時下圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，然后將物體放在下圓盤上，并注意，必須讓待測物的質(zhì)心恰好在儀器的轉(zhuǎn)動軸線上。測定整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動周期，則系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量可由下式求出：（9）式中為放了待測

4、物之后的上、下圓盤間距，一般可以認為。待測物的轉(zhuǎn)動慣量I為：（10）用這種方法，在滿足實驗要求的條件下，可以測定任何形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量。用三線擺可以驗證轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理。物體的轉(zhuǎn)動慣量取決于物體的質(zhì)量分布以及相對于轉(zhuǎn)軸的位置。因此，物體的轉(zhuǎn)動慣量隨轉(zhuǎn)軸不同而改變，轉(zhuǎn)軸可以通過物體內(nèi)部，也可以通過物體外部。根據(jù)平行軸定理，物體對于任意軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于通過此物體以質(zhì)心為軸的轉(zhuǎn)動慣量加上物體質(zhì)量m與兩軸間距離d平方的乘積，寫成：（11）通過改變待測物體質(zhì)心與三線擺中心轉(zhuǎn)軸的距離，測量與的關(guān)系便可驗證轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理。三、實驗內(nèi)容1. 了解三線擺原理以及有關(guān)三線擺實驗器材的知識2. 用三線擺

5、測量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量，并驗證平行軸定理（1） 測定儀器常數(shù)H、R、r 恰當選擇測量儀器和用具，減小測量不確定度。 自擬實驗步驟，確保三線擺上、下圓盤的水平，使儀器達到最佳測量狀態(tài)。（2） 測量下圓盤的轉(zhuǎn)動慣量三線擺上方的小圓盤，使其繞自身轉(zhuǎn)動一個角度，借助線的張力使下圓盤作扭擺運動，而避免產(chǎn)生左右晃動。 自己擬定測量下圓盤轉(zhuǎn)動慣量的方法。（3） 測量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量下圓盤上放上待測圓環(huán)，注意使圓環(huán)的質(zhì)心恰好在轉(zhuǎn)動軸上，測量圓環(huán)的質(zhì)量和內(nèi)、外直徑。 利用公式求出圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。（4） 驗證平行軸定理將質(zhì)量和形狀尺寸相同的兩金屬圓柱體對稱地放在下圓盤上。測量圓柱體質(zhì)心到中心轉(zhuǎn)軸的距離。計算圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量。四、實驗儀器三線擺，米尺，游標卡尺，電子停表等，整體圖如下：五、實驗數(shù)據(jù)六、思考題1. 調(diào)節(jié)三線擺的水平時，是先調(diào)節(jié)上圓盤水平還是先調(diào)節(jié)下圓盤水平？ 答：先調(diào)節(jié)上圓盤水平2. 三線擺的振幅受空氣的阻尼會逐漸變小，它的周期也會隨時間變化嗎？答：不會3. 如何測定任意形狀物體對特定軸的轉(zhuǎn)動慣量？答：可利用平行軸定理，先測定物體繞與特定軸平行的過物體質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量J，儀器可用三線擺。若特定軸與過質(zhì)心軸的距離為L，則物體繞特定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量J=J+mL2