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1、第2課時組合的綜合應(yīng)用,【題型示范】類型一 簡單的組合問題【典例1】(1)某人決定投資3種股票和4種債券，經(jīng)紀(jì)人向他推薦了6種股票和5種債券，則此人不同的投資方式有_種.,(2)在一次數(shù)學(xué)競賽中，某學(xué)校有12人通過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？任意選5人；甲、乙、丙三人必須參加；甲、乙、丙三人不能參加；甲、乙、丙三人只能有1人參加；甲、乙、丙三人至少1人參加；甲、乙、丙三人至多2人參加.,【解題探究】1.題(1)中投資需要分幾步？每步選法如何用組合數(shù)表示？2.題(2)中的“至多”“至少”的含義是什么？,【探究提示】1.投資需要分兩步，第一步投資股票

2、有 種，第二步投資債券有 種.2.甲、乙、丙三人至少1人參加指的是有1人，有2人，有3人三種情況；甲、乙、丙三人至多2人參加指的是有2人，有1人和沒有人參加三種情況.,【自主解答】(1)需分兩步：第一步，根據(jù)經(jīng)紀(jì)人的推薦在6種股票中選3種，共有 種選法；第二步，根據(jù)經(jīng)紀(jì)人的推薦在5種債券中選4種，共有 種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，此人有 =100種不同的投資方式.答案：100,(2)有 =792種不同的選法；甲、乙、丙三人必須參加，只需從另外的9人中選2人，共有 =36種不同的選法；甲、乙、丙三人不能參加，只需從另外的9人中選5人，共有 =126種不同的選法；甲、乙、丙三人只能有1人參加，分

3、兩步，先從甲、乙、丙中選1人，有 =3種選法，再從另外的9人中選4人，有 種選法.共有 =378種不同的選法；,方法一(直接法)：可分為三類：第一類：甲、乙、丙中有1人參加，共有 =378種；第二類：甲、乙、丙中有2人參加，共有 =252種；第三類：甲、乙、丙中有3人參加，共有 =36種.共有 =666種不同的選法.方法二(間接法)：12人中任意選5人，共有 種，甲、乙、丙三人都不能參加的有 種，所以，共有 種不同的選法；,方法一(直接法)：甲、乙、丙三人至多2人參加，可分為三類：第一類：甲、乙、丙都不參加，共有 種；第二類：甲、乙、丙中有1人參加，共有 種；第三類：甲、乙、丙中有2人參加，共

4、有 種.共有 =756種不同的選法.方法二(間接法)：12人中任意選5人，共有 種，甲、乙、丙三人全參加的有 種，所以，共有 種不同的選法.,【方法技巧】解簡單的組合應(yīng)用題的策略(1)解簡單的組合應(yīng)用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān)，只要元素相同即可.(2)要注意兩個基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用，在分類和分步時，一定注意有無重復(fù)或遺漏.,【變式訓(xùn)練】(2014南昌高二檢測)有八名志愿者，四名只懂英語，兩名只懂法語，兩名既懂英語又懂法語，現(xiàn)在從中選四人參與接待英國和法國代表團(tuán)，每個團(tuán)兩名，

5、共有_種不同的安排.(數(shù)字作答),【解析】結(jié)合Venn圖，選派方案有：既懂英語又懂法語的兩人不選： =6，都懂的兩人都選做英語翻譯： =1，兩人都選做法語翻譯： =6.兩人都選，其中1人做英語翻譯，1人做法語翻譯： =16.兩人中選1人做英語翻譯： =8.兩人中選1人做法語翻譯： =24.所以選派方案共有：6+1+6+16+8+24=61.,答案：61,【補(bǔ)償訓(xùn)練】從6位同學(xué)中選出4位參加一個座談會，要求張、王兩同學(xué)中至多有一個人參加，則不同選法的種數(shù)為( )A.9 B.14 C.12 D.15【解析】選A.方法一：(直接法)分兩類，第一類張、王兩同學(xué)都不參加，有 種選法；第二類張、王兩同學(xué)中

6、只有1人參加，有 種選法.故共有 9種選法.方法二：(間接法) 9種.,類型二 組合應(yīng)用題中的分組、分配問題【典例2】(1)(2012新課標(biāo)全國卷)將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實(shí)踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有( )A.12種 B.10種 C.9種 D.8種,(2)有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有_種.(3)6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法：分給甲、乙、丙三人，每人兩本；分為三份，每份兩本；分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；分給甲、乙、丙三人，一

7、人一本，一人兩本，一人三本,【解題探究】1.題(1)中將4名學(xué)生平均分成2個小組有多少種分法？2.解決題(2)可分為幾步？3.題(3)中哪種情況是平均分組，哪種不是平均分組，分組后還需要分配嗎？,【探究提示】1.有 =3種分法.2.可分為2步，第一步先選：從10 人中選出4人，第二步將4人分組后再安排承擔(dān)三項(xiàng)任務(wù).3.，都屬于平均分組問題，不屬于平均分組，其中，分組即可，不需要再分配，分組后還需要再分配.,【自主解答】(1)選A.將4名學(xué)生均分為2個小組，共有 =3種分法；將2個小組的同學(xué)分給兩名教師帶有 =2種分法，最后將兩個小組的人員分配到甲、乙兩地有 =2種分法.故不同的安排方案共有32

8、2=12(種).,(2)先考慮分組，即10人中選4人分為三組，其中兩組各一人，另一組二人，共有 (種)分法.再考慮排列，甲任務(wù)需2人承擔(dān)，因此2人的哪個組只能承擔(dān)甲任務(wù)，而一個人的兩組既可以承擔(dān)乙任務(wù)又可以承擔(dān)丙任務(wù)，所以共有 =2 520(種)不同的選法.答案：2 520,(3)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得有 =90種；分給甲、乙、丙三人，每人兩本有 種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有 種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得： ，所以 因此分為三份，每份兩本一共有15種方法.這是“不均勻分組”問題，一共有 種方法.在的基礎(chǔ)上再

9、進(jìn)行全排列，所以一共有 =360種方法.,【延伸探究】若題(3)條件不變，則分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種不同的選法？【解題指南】“至少一本”包括三種類型：“2，2，2型”“1，2，3型”“1，1，4型”.,【解析】可以分為三類情況：(1)“2，2，2型”，即中的分配情況，有 =90種方法.(2)“1，2，3型”，即中的分配情況，有 =360種方法.(3)“1，1，4型”，有 =90種方法.所以一共有90+360+90540種方法.,【方法技巧】分組、分配問題的求解策略(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種.完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等；部分均勻分組，應(yīng)注意不要

10、重復(fù)，若有n組均勻，最后必須除以n！；完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.(2)分配問題屬于“排列”問題.分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配.,【變式訓(xùn)練】(2014浙江高考)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有_種(用數(shù)字作答).【解析】不同的獲獎情況分兩種，一是有一人獲兩張獎券，一人獲一張，共有 =36種，二是有三人各獲得一張，共有 =24種，因此不同的獲獎情況有60種.答案：60,【補(bǔ)償訓(xùn)練】將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排兩名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有( )A.252種 B.112

11、種 C.20種 D.56種【解析】選B.按分配到甲宿舍的人數(shù)分類，則不同的分配方案共有 112種.,類型三 與幾何有關(guān)的組合問題【典例3】(1)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個數(shù)為_.(2)平面內(nèi)有12個點(diǎn)，其中有4個點(diǎn)共線，此外再無任何3點(diǎn)共線.以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可構(gòu)成多少個不同的三角形？,【解題探究】1.題(1)的正方體的頂點(diǎn)中，滿足什么條件的四個點(diǎn)不能構(gòu)成四面體？2.題(2)中的三角形如何分類？【探究提示】1.正方體的頂點(diǎn)中，共面的四個頂點(diǎn)不能構(gòu)成四面體.2.以從共線的4個點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類的標(biāo)準(zhǔn).,【自主解答】(1)正方體的8個頂點(diǎn)可構(gòu)成 個四點(diǎn)組，其中共面的四點(diǎn)組有正方體的6個表面

12、和正方體相對棱分別所在6個平面的四個頂點(diǎn)，故可以確定的四面體有 1258個.答案：58,(2)方法一：以從共線的4個點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類的標(biāo)準(zhǔn).第一類：共線的4個點(diǎn)中有2個點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有 48個不同的三角形；第二類：共線的4個點(diǎn)中有1個點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有 112個不同的三角形；第三類：共線的4個點(diǎn)中沒有點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有 56個不同的三角形.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的三角形共有48+112+56216個.,方法二(間接法)：從12個點(diǎn)中任意取3個點(diǎn)，有 220種取法，而在共線的4個點(diǎn)中任意取3個均不能構(gòu)成三角形，即不能構(gòu)成三角形的情況有 4種.故這12個點(diǎn)構(gòu)成三角形的個數(shù)為

13、 216個.,【方法技巧】解答幾何組合問題的策略(1)幾何組合問題，主要考查組合的知識和空間想象能力，題目多以立體幾何中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為背景的排列、組合.這類問題情境新穎，多個知識點(diǎn)交匯在一起，綜合性強(qiáng). (2)解答幾何組合問題的思考方法與一般的組合問題基本一樣，只要把圖形的限制條件視為組合問題的限制條件即可.(3)計(jì)算時可用直接法，也可用間接法，要注意在限制條件較多的情況下，需要分類計(jì)算符合題意的組合數(shù).,【變式訓(xùn)練】過三棱柱任意兩個頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有( )A.18對 B.24對 C.30對 D.36對,【解析】選D.方法一：一條底面棱有5條直線與其異面.例如，與AB

14、異面的直線分別是B1C，A1C，B1C1，A1C1，CC1.側(cè)面中與底面相交的棱有4條與其異面的直線.例如，與BB1異面的直線分別是AC，AC1，A1C1，A1C.側(cè)面中的對角線有5條與其異面的直線.例如，與AB1異面的直線分別是BC，BC1，CC1，A1C，A1C1，而每條直線都數(shù)兩遍.故共有 =36(對).,方法二：一個四面體中有3對異面直線，在三棱柱的六個頂點(diǎn)中任取4個，可構(gòu)成四面體的個數(shù)為 -3=12(個)，故共有異面直線123=36(對).,【補(bǔ)償訓(xùn)練】正六邊形的頂點(diǎn)和中心共7個點(diǎn)，可組成_個三角形.【解析】不共線的三個點(diǎn)可組成一個三角形，7個點(diǎn)中共線的是過中心的3條對角線，即共有3

15、種情況，故組成三角形的個數(shù)為 332.答案：32,【拓展類型】相同元素的分配問題【備選例題】(1)要從7個學(xué)校中選出10人參加數(shù)學(xué)競賽，每校至少1人，這10個名額的分配方法有( )A.36種 B.48種 C.84種 D.96種(2)6個相同的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子，求下列方法的種數(shù).每個盒子都不空；恰有一個空盒子；恰有兩個空盒子.,【解析】(1)選C.因?yàn)槊~之間沒有差別，可將10個名額用符號“”表示，排成一排，然后用6塊擋板插入“”之間，將其分成7部分，那么擋板的一種插法即對應(yīng)著名額的一種分配方法，所以不同的名額分法為 84(種).(2)先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球

16、外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，有 =10(種).,恰有一個空盒子，插板分兩步進(jìn)行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有 種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000|00|，有 種插法， 故共有 =40(種).,恰有兩個空盒子，插板分兩步進(jìn)行.先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板，有 種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒.其一：這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子，如|00|0000|，有 種插法.其二：將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|0000|，有 種插法.故共有 =30(種).,【方法技巧】相同元素分配問題的建模思想(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的方法對應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法.隔板法專門解決相同元素的分配問題.(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(nm)，有