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1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上勾股定理全章復習與鞏固(學習目標)1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應用勾股定理及逆定理解決有關的實際問題.(知識網(wǎng)絡)(要點梳理)要點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：） 2.勾股定理的應用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；（3）求作長度為的線段.要點二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論

2、和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為；（2）驗證與是否具有相等關系，若，則ABC是以C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形. 3.勾股數(shù) 滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾

3、股數(shù)，當t為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應斜邊相差1.3.假設三個數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.(典型例題)類型一、勾股定理及逆定理的應用1、如圖所示，直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD，AB，BC，E是AB上一點，且AE，求點E到CD的距離EF(思路點撥)

4、連接DE、CE將EF轉化為DCE一邊CD上的高，根據(jù)題目所給的條件，容易求出CDE的面積，所以利用面積法只需求出CD的長度，即可求出EF的長度，過點D作DHBC于H，在RtDCH中利用勾股定理即可求出DC(答案與解析)解：過點D作DHBC于H，連接DE、CE，則ADBH，ABDH， CHBCBH DHAB，在RtCDH中， CD25， 又 ， ， EF10(總結升華)（1）多邊形的面積可通過輔助線轉化為多個三角形的面積，利用面積法求三角形一邊上的高是一種常用的簡易方法（2）利用勾股定理求邊長、面積時要注意邊長、面積之間的轉換 舉一反三：(變式)如圖所示，在ABC中，D是BC邊上的點，已知AB1

5、3，AD12，AC15，BD5，求DC的長(答案)解：在ABD中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知ADB90在RtADC中，類型二、勾股定理與其他知識結合應用2、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC400米，BD200米，CD800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？(思路點撥)作點A關于直線CD的對稱點G，連接GB，交CD于點E，利用“兩點之間線段最短”可知應在E處飲水，再根據(jù)對稱性知GB的長為所走的最短路程，然后構造直角三角形，利用勾股定理可解決(答案與解析)解：作點A關于直線CD的對稱點G，連接GB交CD于點E

6、，由“兩點之間線段最短”可以知道在E點處飲水，所走路程最短說明如下：在直線CD上任意取一異于點E的點I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE 點G、A關于直線CD對稱， AIGI，AEGE由“兩點之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GIBIGBAEBE，于是得證最短路程為GB的長，自點B作CD的垂線，自點G作BD的垂線交于點H，在直角三角形GHB中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 GB1000，即最短路程為1000米(總結升華)這是一道有關極值的典型題目解決這類題目，一方面要考慮“兩點之間線段最短”；另一方面，證明最值，常常另選

7、一個量，通過與求證的那個“最大”“最小”的量進行比較來證明，如本題中的I點本題體現(xiàn)了勾股定理在實際生活中的應用舉一反三：(變式)如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點E，AE3，EB1，在AC上有一點P，使EPBP最短求EPBP的最小值(答案)解：根據(jù)正方形的對稱性可知：BPDP，連接DE，交AC于P，EDEPDPEPBP， 即最短距離EPBP也就是ED AE3，EB1， ABAEEB4， AD4，根據(jù)勾股定理得： ED0， ED5， 最短距離EPBP53、等腰直角ABC中，ACB90，E、F為AB上兩點(E左F右)，且ECF45，如圖所示：問AE、EF、BF之間有何關系?并說明理由(思路點

8、撥)：由于ACB90，ECF45，所以ACEBCF45，若將ACE和BCF合在一起則為一特殊角45，于是想到將ACE旋轉到BCF的右外側合并，或將BCF繞C點旋轉到ACE的左外側合并，旋轉后的BF邊與AE邊組成一個直角，聯(lián)想勾股定理而可得到AE、EF、BF之間的關系(答案與解析)解：(1)，理由如下： 將BCF繞點C旋轉得ACF，使BCF的BC與AC邊重合， 即ACFBCF， 在ABC中，ACB90，ACBC， CAFB45， EAF90 ECF45， ACEBCF45 ACFBCF， ECF45 在ECF和ECF中： ECFECF(SAS)， EFEF 在RtAEF中， (總結升華)若一個角

9、的內(nèi)部含有同頂點的半角，(如平角內(nèi)含直角，90角內(nèi)含45角，120角內(nèi)含60角)，則常常利用旋轉法將剩下的部分拼接在一起組成又一個半角，然后利用角平分線、全等三角形等知識解決問題4、已知：如圖，ABC中，CAB120，AB4，AC2，ADBC，D是垂足，求AD的長(答案與解析)解：作CEAB于E，則CAE18012060，在RtACE中，CEA90，AC2，ACE30由勾股定理可得BEABAE415在RtACE中，BC由三角形面積公式：. (總結升華)勾股定理要在直角三角形中才能應用，沒有直角三角形要構造直角三角形.類型三、本章中的數(shù)學思想方法1.轉化的思想方法：我們在求三角形的邊或角，或進行

10、推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形問題來解決5、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE12，CF5求線段EF的長.(答案與解析)解：連接AD因為BAC90，ABAC又因為 AD為ABC的中線，所以 ADDCDBADBC且BADC45因為EDAADF90又因為CDFADF90所以EDACDF所以AEDCFD（ASA）所以 AEFC5同理：AFBE12在RtAEF中，由勾股定理得：，所以EF13.(總結升華)此題考查了等腰直角三角形的性質及勾股定理等知識.通過此題，我們可以知道：當已知的線段和所

11、求的線段不在同一三角形中時，應通過適當?shù)霓D化把它們放在同一直角三角形中求解.舉一反三：(變式)已知凸四邊形ABCD中，ABC30，ADC60，ADDC，求證： (答案)解：將ABD繞點D順時針旋轉60由于DCAD，故點A轉至點C點B轉至點E，連結BE BDDE，BDE60 BDE為等邊三角形，BEBD易證DABDCE，A2，CEAB 四邊形ADCB中ADC60，ABC30 A13606030270 121A270 3360(12)90 2.方程的思想方法6、如圖所示，已知ABC中，C90，A60，求、的值. (答案與解析)解：在RtABC中，A60，B90A30，則 ，由勾股定理，得.因為 ，

12、所以，.(總結升華)在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半.舉一反三：(變式)直角三角形周長為12，斜邊長為5，求直角三角形的面積.(答案)解：設此直角三角形兩直角邊長分別是，根據(jù)題意得：由（1）得：，即 (3)(3)(2)，得：直角三角形的面積是126（）(鞏固練習)一.選擇題1. 在中，若，則ABC是（ ）A. 銳角三角形 B. 鈍角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形2. 如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則ABC的度數(shù)為（ ）A90 B60 C45 D303在下列說法中是錯誤的（ ） A在ABC中，CA一B，則ABC為直角三角形 B在ABC中，若

13、A：B：C5：2：3，則ABC為直角三角形 C在ABC中，若，則ABC為直角三角形 D在ABC中，若a：b：c2：2：4，則ABC為直角三角形4若等腰三角形兩邊長分別為4和6，則底邊上的高等于( )A. B.或 C. D.或5. 若三角形的三邊長分別等于，則此三角形的面積為（ ）A. B. C. D.6如圖，RtABC中，C90，CDAB于點D，AB13，CD6，則ACBC等于( )A.5 B. C. D.7. 已知三角形的三邊長為，由下列條件能構成直角三角形的是（ ） A. B. C. D.8. 如圖，已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2，BCDC5，點P在BC上移動，則當PAPD取最小值時，APD中邊AP上的高為（ ）A. B. C.D.3二.填空題9. 如圖，平面上A、B兩點處有甲、乙兩只螞蟻，它們都發(fā)現(xiàn)C處有食物，已知點C在A的東南方向，在B的西南方向.甲、乙兩只螞蟻同時從A、B兩地出發(fā)爬向C處，速