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1、5.7 三角函數(shù)的應用,三角函數(shù),一,二,一、三角函數(shù)的應用1.簡諧運動,一,二,(2)填空在y=Asin(x+),x0,+)(A0,0)中,各參數(shù)的物理意義.,一,二,答案:B,一,二,2.三角函數(shù)能夠模擬現(xiàn)實中的許多周期現(xiàn)象,你能舉出一些這樣的例子嗎?提示:物理中的勻速圓周運動、簡諧振動、交變電流、海洋潮汐和水車問題等都是日常生活中的一些周期現(xiàn)象.3.填空三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型,可以用來研究很多問題,在刻畫周期規(guī)律、預測未來方面發(fā)揮重要作用.,一,二,二、應用三角函數(shù)模型解決問題的一般程序1.填空應用三角函數(shù)模型解決問題,首先要把實際問題抽象為數(shù)學問題,通過分析它

2、的變化趨勢,確定它的周期,從而建立起適當?shù)娜呛瘮?shù)模型,解決問題的一般程序如下:(1)審題,先審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學關系.(2)建模,分析題目周期性,選擇適當?shù)娜呛瘮?shù)模型.(3)求解,對所建立的三角函數(shù)模型進行分析研究得到數(shù)學結論.(4)還原,把數(shù)學結論還原為實際問題的解答.,一,二,2.做一做如圖是相對于平均海平面的某海灣的水面高度h(單位:米)在某天從024時的變化情況,則水面高度h關于時間t的函數(shù)關系式為.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,三角函數(shù)模型在日常生活中的應用例1心臟跳動時,血壓在增加或減少.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓,血壓計上的讀數(shù)就是收

3、縮壓和舒張壓,讀數(shù)120/80 mmHg為標準值.設某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)=115+25sin 160t,其中p(t)為血壓(單位:mmHg),t為時間(單位:min),試回答下列問題:(1)求函數(shù)p(t)的周期;(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù);(3)畫出函數(shù)p(t)的草圖;(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù).分析:函數(shù)解析式已知,可根據(jù)周期公式以及周期與頻率的關系解決(1)(2).用“五點作圖法”解決(3).由函數(shù)解析式或圖象得出函數(shù)的最大值以及最小值即得血壓在血壓計上的讀數(shù)從而得(4).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,反思感悟

4、 在日常生活中呈周期變化的現(xiàn)象,可利用三角函數(shù)模型y=Asin(x+)+b描述其變化規(guī)律,并結合各參數(shù)的實際意義解決相關問題.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,變式訓練1某地昆蟲種群數(shù)量在七月份113日的變化如圖所示,且滿足y=Asin(t+)+b(0,0).(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求函數(shù)解析式;(2)從7月1日開始,每隔多長時間種群數(shù)量就出現(xiàn)一個低谷或一個高峰?,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,三角函數(shù)模型在物理中的應用例2已知表示電流強度I與時間t的函數(shù)關系式I=Asin(t+)(A0,0).(1)若電流強度I與時間t的函數(shù)關系

5、圖象如圖所示,試根據(jù)圖象寫出I=Asin(t+)的解析式;(2)為了使秒的時間內(nèi)電流強度I能同時取得最大值A與最小值-A,則正整數(shù)的最小值是多少?,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,分析:對于(1),由于解析式的類型已經(jīng)確定,只需根據(jù)圖象確定參數(shù)A,的值即可.其中A可由最大值與最小值確定,可由周期確定,可通過特殊點的坐標,解方程求得.對于(2),可利用正弦型函數(shù)的圖象在一個周期中必有一個最大值點和一個最小值點來解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,反思感悟 三角函數(shù)在物理中的應用三角函數(shù)模型在物理中的應用主要體現(xiàn)在簡諧運動、交流

6、電電流、電壓等方面,其中對彈簧振子和單擺的運動等有關問題考查最多,尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,變式訓練2單擺從某點開始來回擺動,離開平衡位置的距離s(單位:cm)和時間t(單位:s)的函數(shù)關系式為(1)作出函數(shù)的圖象;(2)當單擺開始擺動(t=0)時,離開平衡位置的距離是多少?(3)當單擺擺動到最右邊時,離開平衡位置的距離是多少?(4)單擺來回擺動一次需多長時間?,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,數(shù)據(jù)擬合三角函數(shù)模型問題例3已知某海濱浴場海浪的高度y(單位:米)是時間t(0t24,單位:時)的函數(shù),記

7、作y=f(t).下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù).(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)y=f(t)的函數(shù)解析式;(2)依據(jù)規(guī)定,當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放,請依據(jù)(1)的結論,判斷一天內(nèi)上午8:00時至晚上20:00時之間,有多少時間可供沖浪愛好者進行運動?分析:作出散點圖判斷形狀構建模型求參數(shù),探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,解:(1)由表中數(shù)據(jù)描出各點,并把這些點用平滑的曲線連接起來(如圖),由圖知,可設f(t)=Acos t+b,并且周期T=12,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,(2)由題知,當y1時才可對沖浪愛好者開放,即12k-3t12k+3(kZ).0t24,故可

8、令中k分別為0,1,2,得0t3或9t15或21t24.在規(guī)定時間上午8:00至晚上20:00之間,有6個小時的時間可供沖浪愛好者運動,即上午9:00至下午15:00.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,反思感悟 處理數(shù)據(jù)擬合和預測問題的幾個步驟:(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù),繪出散點圖;(2)通過散點圖,作出“最貼近”的直線或曲線,即擬合直線或擬合曲線;(3)根據(jù)所學函數(shù)知識,求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關系式;(4)利用函數(shù)關系式,根據(jù)條件對所給問題進行預測和控制,以便為決策和管理提供依據(jù).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,延伸探究 本例(2)中,按照規(guī)定,該海濱浴場在每天上午

9、對沖浪愛好者開放之前,須首先對海濱浴場的各種設施進行全面詳細的安全檢查,且檢查工作必須在海浪高度低于 米時進行,試問:海濱浴場工作人員須在上午的哪個時段對設施進行安全檢查?,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,不能正確理解簡諧運動的過程致誤典例 彈簧振子以點O為平衡位置,在B,C間做簡諧運動,B,C相距20 cm,某時刻振子處在點B,經(jīng)0.5 s振子首次達到點C.求:(1)振動的振幅、周期和頻率;(2)振子在5 s內(nèi)通過的路程及這時位移的大小.錯解(1)因為B,C相距20 cm,所以振幅A=20 cm.因為從點B經(jīng)0.5 s振子首次達到點C,(2)5 s內(nèi)的路程=位移=5A=520=1

10、00 cm.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,錯解錯在什么地方?你能發(fā)現(xiàn)嗎?怎樣避免這類錯誤呢?提示:振子以O為平衡位置,在B,C間做簡諧運動,B,C相距20 cm,說明振子離開平衡位置的最大值和最小值點相距20 cm,即振幅的2倍等于20 cm;振子從點B經(jīng)0.5秒首次到達點C,再返回點B才是一個周期,因此,應有 =0.5 s;路程與位移有區(qū)別,路程只有大小,位移不僅有大小,還有方向.錯解中由于對周期的概念理解不清導致周期求錯,另外,混淆了路程與位移直接的區(qū)別導致結果錯誤.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,正解:(1)設振幅為A,則2A=20 cm,A=10 cm.設

11、周期為T,則 =0.5 s,T=1 s,f=1 Hz.(2)振子在1T內(nèi)通過的距離為4A,故在t=5 s=5T內(nèi)通過的路程s=54A=20A=2010 cm=200 cm=2 m.5 s末物體處在點B,所以它相對平衡位置的位移大小為10 cm.防范措施 對于簡諧振動,要結合物理中所學的知識加強對相關概念以及解析式y(tǒng)=Asin(x+)中參數(shù)意義的理解,弄清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系,以便正確求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,答案:C,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,2.如圖是一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各點的位置圖,經(jīng)過 周期后,乙的位置將移至()A.x軸上B.最低點C

12、.最高點D.不確定解析:相鄰的最大值與最小值之間間隔半個周期,故乙移至最高點.答案:C,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,3.如圖所示是一個簡諧運動的圖象,則下列判斷正確的是 ()A.該質(zhì)點的振動周期為0.7 sB.該質(zhì)點的振幅為-5 cmC.該質(zhì)點在0.1 s和0.5 s時的振動速度最大D.該質(zhì)點在0.3 s和0.7 s時的位移為零解析:由題中圖象及簡諧運動的有關知識知,T=0.8 s,A=5 cm.當t=0.1 s或0.5 s時,v為零.答案:D,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,答案:D,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,5.在波士頓,估計某一天的白晝時間的小時數(shù)D(t)的表達式是 ,其中t表示某天的序號,t=0表示1月1日,以此類推.(1)問哪一天白晝最長?哪一天最短? (2)估計在波士頓一年中有多少天的白晝超過10.5小時?,探究一,探究二,探究三,思維辨析,隨堂演練,