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1、,2,1、區(qū)域,（1）鄰域,連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域,（2）區(qū)域,3,（3）聚點,（4）n維空間,4,2、多元函數(shù)概念,定義,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),5,3、多元函數(shù)的極限,6,說明：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似,4、極限的運算,7,5、多元函數(shù)的連續(xù)性,8,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,6、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),

2、9,7、偏導數(shù)概念,10,11,12,、高階偏導數(shù),純偏導,混合偏導,定義 二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).,13,、全微分概念,14,多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系,沿任意方向的方向?qū)?shù)存在,15,10、復合函數(shù)求導法則,以上公式中的導數(shù) 稱為全導數(shù).,16,17,11、全微分形式不變性,無論 是自變量 的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.,18,隱函數(shù)的求導公式,12、隱函數(shù)的求導法則,19,20,21,22,23,13、微分法在幾何上的應用,切線方程為,法平面方程為,(1)空間曲線的切線與法平面,24,()曲面的切平面與法線,切平面方程為,法線方程為,25,14、方

3、向?qū)?shù),記為,26,三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,定理如果函數(shù),在點,那末函數(shù)在該點沿任意方向L的方向?qū)?shù)都存在，且有,是可微分的，,27,梯度的概念,28,梯度與方向?qū)?shù)的關系,29,15、多元函數(shù)的極值,定義,30,多元函數(shù)取得極值的條件,定義一階偏導數(shù)同時為零的點，稱為多元函數(shù)的駐點.,31,32,33,條件極值：對自變量有附加條件的極值,34,典型例題,1、求極限,法一 原式,法二 令,則, 原式,法三 令,則,實際上若令,則 原式,所以極限不存在！,前面三法均不正確,時，下列算法是否正確?,原式,35,36,37,解,38,39,40,7、證明:,提示: 利用,在 (0,0) 連續(xù),知,在

4、點(0,0)處連續(xù)且偏導數(shù)存在 , 但不可微 .,由偏導數(shù)定義：,41,7、,證明： 在點(0,0)處連續(xù)且偏導數(shù)存在 , 但不可微 .,而,當,時, f 在點(0,0)不可微 !,42,8、,解,43,44,解,45,46,10、 設,其中 f 與F 分別,解法1. 方程兩邊對 x 求導,得,具有一階連續(xù)導數(shù)或偏導數(shù), 求,47,解法2., 求,方程兩邊求微分,得,化簡,消去 即可得,48,11.設,具有二階連續(xù)偏導數(shù), 且,求,解:,49,解,50,于是可得,51,解,13、,52,53,54,55,是極大值點,不是極值點,56,15、,解,分析:,57,得,58,59,16、在第一卦限內(nèi)作橢球面,的切平面,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小,求該切點的坐標.,解: 設,切點為,則切平面的法向量為,切平面方程為,即,在三坐標軸上的截距,60,例16.在第一卦限內(nèi)作橢球面,的切,平面,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小,求該切點的坐標 .,問題歸結(jié)為求,在條件,下的條件極值問題 .,設拉格朗日函數(shù),61,令,由實際意義可知,為所求切點 .,62,解,63,64,