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1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義 1. 函數(shù)的平均變化率：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：。 2. 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若無(wú)限趨近于0時(shí)，比值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱(chēng)函數(shù)在處可導(dǎo)，并稱(chēng)該常數(shù)A為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作。函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。 3. 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本步驟：（1）求函數(shù)的增量；（2）求平均變化率：；（3）取極限，當(dāng)無(wú)限趨近與0時(shí)，無(wú)限趨近與一個(gè)常數(shù)A，則. 4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，具體求法分兩步： （1）求出在x0處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率； （2）在

2、已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線(xiàn)斜率的條件下，求得切線(xiàn)方程為。 當(dāng)點(diǎn)不在上時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的的切線(xiàn)方程，可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)坐標(biāo)得到切線(xiàn)方程，再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入確定切點(diǎn)。特別地，如果曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行與y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線(xiàn)定義，可得切線(xiàn)方程為。 5. 導(dǎo)數(shù)的物理意義：質(zhì)點(diǎn)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的位移S是時(shí)間t的函數(shù)，則表示瞬時(shí)速度，表示瞬時(shí)加速度。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1. 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）(k, b為常數(shù))；（2）(C為常數(shù))；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（為常數(shù)）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）。 2. 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)： （1）；（2）（C為常數(shù)）；

3、（3）；（4）。 3. 簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 若，則，即。三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1. 求函數(shù)的單調(diào)性： 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)， （1）如果恒，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)； （2）如果恒，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)； （3）如果恒，則函數(shù)在區(qū)間上為常數(shù)函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：求函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；解不等式，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；解不等式，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。反過(guò)來(lái), 也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題（如確定參數(shù)的取值范圍）：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，(1)如果函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),則(其中使的值不構(gòu)成區(qū)間)；(2) 如果函數(shù)在區(qū)間上

4、為減函數(shù),則(其中使的值不構(gòu)成區(qū)間)；(3) 如果函數(shù)在區(qū)間上為常數(shù)函數(shù),則恒成立。 2. 求函數(shù)的極值： 設(shè)函數(shù)在及其附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有（或），則稱(chēng)是函數(shù)的極小值（或極大值）?？蓪?dǎo)函數(shù)的極值，可通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的全部實(shí)根，順次將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，并列表：x變化時(shí)，和值的變化情況：x正負(fù)0正負(fù)0正負(fù)單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性 （4）檢查的符號(hào)并由表格判斷極值。 3. 求函數(shù)的最大值與最小值： 如果函數(shù)在定義域I內(nèi)存在，使得對(duì)任意的，總有，則稱(chēng)為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義

5、域內(nèi)的最值是唯一的。求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的步驟： （1）求在區(qū)間上的極值； （2）將第一步中求得的極值與比較，得到在區(qū)間上的最大值與最小值。 4. 解決不等式的有關(guān)問(wèn)題：（1）不等式恒成立問(wèn)題（絕對(duì)不等式問(wèn)題）可考慮值域。的值域是時(shí)， 不等式恒成立的充要條件是，即；不等式恒成立的充要條件是，即。的值域是時(shí)，不等式恒成立的充要條件是；不等式恒成立的充要條件是。 （2）證明不等式可轉(zhuǎn)化為證明，或利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為證明。 5. 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用： 實(shí)際生活求解最大（?。┲祮?wèn)題，通常都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值. 在利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意，極值點(diǎn)唯一的單峰函數(shù)，極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，在解題時(shí)要加以說(shuō)明。