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1、二次根式的知識點匯總知識點一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0） 分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0知識點二：取值范圍1、 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2、 二次根式無意義的條件：因負數(shù)沒有算

2、術平方根，所以當a0時，沒有意義。 例2當x是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？例3當x是多少時，+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？知識點三：二次根式（）的非負性（）表示a的算術平方根，也就是說，（）是一個非負數(shù)，即0（）。注：因為二次根式（）表示a的算術平方根，而正數(shù)的算術平方根是正數(shù)，0的算術平方根是0，所以非負數(shù)（）的算術平方根是非負數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負數(shù)的算術平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。例4(1)已知y=+5，求的值(2)若+=0，求a2004+b2004的值知識點四：二次根式（）的性質(zhì)

3、（）文字語言敘述為：一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于這個非負數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，. 例1 計算 1（）2 2（3）2 3（）2 4（）2例2在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3知識點五：二次根式的性質(zhì)文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成

4、，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。 例1 化簡 （1） （2） （3） （4）例2 填空：當a0時，=_；當aa，則a是什么數(shù)？例3當x2，化簡-知識點六：與的異同點1、不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負實數(shù)。但與都是非負數(shù)，即，。因而它的運算的結(jié)果是有差別的，而2、相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時，=；時，無意義，而.知識點七：二次根式的乘除1、 乘法（a0，b0） 反過來：=（a0，b0）2、除法=（a0，b0） 反過來，=（a0，b0） （思考：b的取值與a相同嗎？為什么？不相同，因為b在分

5、母，所以不能為0） 例1計算 （1）4 （2） （3） （4） 例2 化簡（1） （2） （3） （4） 例3判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正： （1） （2）=4=4=4=8 例4計算：（1） （2） （3） （4） 例5化簡： （1） （2） （3） （4）例6已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值3、最簡二次根式應滿足的條件：（1）被開方數(shù)不含分母或分母中不含二次根式；（2）被開方數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式（熟記20以內(nèi)數(shù)的平方；因數(shù)或因式間是乘積的關系，當被開方數(shù)是整式時要先判斷是否能夠分解因式，然后再觀察各個因式的指數(shù)是否是2（或2的倍數(shù)），若是則說明含有能開方的因式，則不滿足

6、條件，就不是最簡二次根式）例1把下列二次根式化為最簡二次根式(1) ; (2) ; (3) 4、化簡最簡二次根式的方法：(1) 把被開方數(shù)(或根號下的代數(shù)式)化成積的形式，即分解因式；(2) 化去根號內(nèi)的分母（或分母中的根號），即分母有理化；(3) 將根號內(nèi)能開得盡方的因數(shù)(或因式)開出來（此步需要特別注意的是：開到根號外的時候要帶絕對值，注意符號問題）5.有理化因式：一般常見的互為有理化因式有如下幾類： 與； 與；與； 與 說明：利用有理化因式的特點可以將分母有理化13、同類二次根式：被開方數(shù)相同的（最簡）二次根式叫同類二次根式。 判斷是否是同類二次根式時務必將各個根式都化為最簡二次根式。如

7、與知識點八：二次根式的加減1、二次根式的加減法：先把各個二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。 例1計算（1）+ （2）+ 分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12 例2計算 （1）3-9+3（2）（+）+（-）例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值2、二次根式的混合運算：先計算括號內(nèi)，再乘方（開方），再乘除，再加減3、二次根式的比較：（1）若，則有；（2）若，則有 （3）將兩個根式都平方，比較平方后的大小，對應平方前的大小例4比較3與4的大小