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1、二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總知識(shí)點(diǎn)一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開(kāi)放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0） 分析：二次根式應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“”；第二，被開(kāi)方數(shù)是正數(shù)或0知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍1、 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開(kāi)方數(shù)大于或等于零即可。2、 二次根式無(wú)意義的條件：因負(fù)數(shù)沒(méi)有算

2、術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時(shí)，沒(méi)有意義。 例2當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例3當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？知識(shí)點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類(lèi)似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。例4(1)已知y=+5，求的值(2)若+=0，求a2004+b2004的值知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（）的性質(zhì)

3、（）文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過(guò)來(lái)應(yīng)用：若，則，如：，. 例1 計(jì)算 1（）2 2（3）2 3（）2 4（）2例2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。注：1、化簡(jiǎn)時(shí)，一定要弄明白被開(kāi)方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成

4、，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)。 例1 化簡(jiǎn) （1） （2） （3） （4）例2 填空：當(dāng)a0時(shí)，=_；當(dāng)aa，則a是什么數(shù)？例3當(dāng)x2，化簡(jiǎn)-知識(shí)點(diǎn)六：與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無(wú)意義，而.知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的乘除1、 乘法（a0，b0） 反過(guò)來(lái)：=（a0，b0）2、除法=（a0，b0） 反過(guò)來(lái)，=（a0，b0） （思考：b的取值與a相同嗎？為什么？不相同，因?yàn)閎在分

5、母，所以不能為0） 例1計(jì)算 （1）4 （2） （3） （4） 例2 化簡(jiǎn)（1） （2） （3） （4） 例3判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正： （1） （2）=4=4=4=8 例4計(jì)算：（1） （2） （3） （4） 例5化簡(jiǎn)： （1） （2） （3） （4）例6已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值3、最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)滿(mǎn)足的條件：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母或分母中不含二次根式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式（熟記20以?xún)?nèi)數(shù)的平方；因數(shù)或因式間是乘積的關(guān)系，當(dāng)被開(kāi)方數(shù)是整式時(shí)要先判斷是否能夠分解因式，然后再觀察各個(gè)因式的指數(shù)是否是2（或2的倍數(shù)），若是則說(shuō)明含有能開(kāi)方的因式，則不滿(mǎn)足

6、條件，就不是最簡(jiǎn)二次根式）例1把下列二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式(1) ; (2) ; (3) 4、化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)二次根式的方法：(1) 把被開(kāi)方數(shù)(或根號(hào)下的代數(shù)式)化成積的形式，即分解因式；(2) 化去根號(hào)內(nèi)的分母（或分母中的根號(hào)），即分母有理化；(3) 將根號(hào)內(nèi)能開(kāi)得盡方的因數(shù)(或因式)開(kāi)出來(lái)（此步需要特別注意的是：開(kāi)到根號(hào)外的時(shí)候要帶絕對(duì)值，注意符號(hào)問(wèn)題）5.有理化因式：一般常見(jiàn)的互為有理化因式有如下幾類(lèi)： 與； 與；與； 與 說(shuō)明：利用有理化因式的特點(diǎn)可以將分母有理化13、同類(lèi)二次根式：被開(kāi)方數(shù)相同的（最簡(jiǎn)）二次根式叫同類(lèi)二次根式。 判斷是否是同類(lèi)二次根式時(shí)務(wù)必將各個(gè)根式都化為最簡(jiǎn)二次根式。如

7、與知識(shí)點(diǎn)八：二次根式的加減1、二次根式的加減法：先把各個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式（即同類(lèi)二次根式）進(jìn)行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來(lái)。 例1計(jì)算（1）+ （2）+ 分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12 例2計(jì)算 （1）3-9+3（2）（+）+（-）例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值2、二次根式的混合運(yùn)算：先計(jì)算括號(hào)內(nèi)，再乘方（開(kāi)方），再乘除，再加減3、二次根式的比較：（1）若，則有；（2）若，則有 （3）將兩個(gè)根式都平方，比較平方后的大小，對(duì)應(yīng)平方前的大小例4比較3與4的大小