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1、高中數(shù)學(xué) 必修1知識點(diǎn) 第一章 集合與函數(shù)概念1.1 集合 一、集合的含義與表示 1、集合的概念 集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.2、常用數(shù)集及其記法表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實(shí)數(shù)集.3、集合與元素間的關(guān)系對象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.4、集合的表示法 1）自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?2）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.3）描述法：|具有的性質(zhì)，其中為集合的代表元素.4）圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.5、集合的分類1）含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.2）含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.3）不含有任何元

2、素的集合叫做空集().二、集合間的基本關(guān)系1、子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則 或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不屬于A（1）（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA2、已知集合有個(gè)元素，則它有個(gè)子集，它有個(gè)真子集，它有個(gè)非空子集，它有非空真子集.三、 集合的基本運(yùn)算1、交集、并集、補(bǔ)集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集且（1）（2）（3） 并集或（1）（2）（3） 補(bǔ)集1 2 【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法1.含絕對值的不等

3、式的解法不等式解集或把看成一個(gè)整體，化成，型不等式來求解2.一元二次不等式的解法判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根（其中無實(shí)根的解集或的解集 1.2 函數(shù)及其表示一、函數(shù)的概念1.函數(shù)的概念1)設(shè)、是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中任何一個(gè)數(shù)，在集合 中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合，以及到的對應(yīng)法則）叫做集合到的一個(gè)函數(shù)，記作2)函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則3)只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)2.區(qū)間的概念及表示法1)設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做；滿足的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿足，或的實(shí)數(shù)的集合叫

4、做半開半閉區(qū)間，分別記做，；滿足的實(shí)數(shù)的集合分別記做注意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須3.求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：1)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)2)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)3)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合4)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于15)中，6)零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零7)若是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集8)對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域?yàn)?其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出9)對于

5、含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論10)由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義4.求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲狄虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法： 1)觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值2)配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值3)判別式法：若函數(shù)可以化成一個(gè)系數(shù)含有的關(guān)于的二

6、次方程則在時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值4)不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值5)換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題6)反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值7)數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值8)函數(shù)的單調(diào)性法二、函數(shù)的表示法1.函數(shù)的表示方法：常用的有解析法、列表法、圖象法三種 1）解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系2）列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系3）圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系2.

7、映射的概念1）設(shè)、是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中任何一個(gè)元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合，以及到的對應(yīng)法則）叫做集合到的映射，記作2）給定一個(gè)集合到集合的映射，且如果元素和元素對應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)一、單調(diào)性與最大（小）值1、函數(shù)的單調(diào)性1）定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1 x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)

8、區(qū)間圖 象上升為增）（4）利用復(fù)合函數(shù)如果對于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象下降為減）（4）利用復(fù)合函數(shù)2）在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)3）對于復(fù)合函數(shù)，令，若為增，為增，則 為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減2、函數(shù)的圖象與性質(zhì)分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)3、最大（小）值定義 1）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域

9、為，如果存在實(shí)數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有； （2）存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作2）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作二、奇偶性1、函數(shù)的奇偶性1）定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱）如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于

10、原點(diǎn)對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于y軸對稱）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)2、函數(shù)的圖象1）作圖:(1)利用描點(diǎn)法作圖.確定函數(shù)的定義域； 化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）; 畫出函數(shù)的圖象(2)利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象平移變換伸縮變換 對稱

11、變換 2）識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系3）用圖 函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法第二章 基本初等函數(shù)()2.1 指數(shù)函數(shù)一、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1、根式的概念1）如果，且，那么叫做的次方根當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，的 次方根用符號表示；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示；0的次方根是0；負(fù)數(shù)沒有次方根2）式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

12、為任意實(shí)數(shù)；當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，3)根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念1)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于02)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)3、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低2.2 對數(shù)函數(shù)一、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算1、對數(shù)的定義 1）若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，

13、其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)2）負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：2、幾個(gè)重要的對數(shù)恒等式： ，3、常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即（其中）4、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 如果，那么1）加法： 2）減法：3）數(shù)乘： 4）5） 6）換底公式：二、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高2、反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，從式子中解出，得式子如果對于在中的任何一個(gè)值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫成3、反函數(shù)的求法1）確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；2）從原函數(shù)式中反解出；3）將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域4、反函數(shù)的性質(zhì) 1）原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱2）函數(shù)的定義域、值域分別