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1、第11講 巧數(shù)圖形數(shù)出某種圖形的個數(shù)是一類有趣的圖形問題。由于圖形千變?nèi)f化，錯綜復雜，所以要想準確地數(shù)出其中包含的某種圖形的個數(shù)，還真需要動點腦筋。要想有條理、不重復、不遺漏地數(shù)出所要圖形的個數(shù)，最常用的方法就是分類數(shù)。例1數(shù)出下圖中共有多少條線段。分析與解：我們可以按照線段的左端點的位置分為A，B，C三類。如下圖所示，以A為左端點的線段有3條，以B為左端點的線段有2條，以C為左端點的線段有1條。所以共有3216(條)。我們也可以按照一條線段是由幾條小線段構(gòu)成的來分類。如下圖所示，AB，BC，CD是最基本的小線段，由一條線段構(gòu)成的線段有3條，由兩條小線段構(gòu)成的線段有2條，由三條小線段構(gòu)成的線段

2、有1條。所以，共有3216(條)。由例1看出，數(shù)圖形的分類方法可以不同，關(guān)鍵是分類要科學，所分的類型要包含所有的情況，并且相互不重疊，這樣才能做到不重復、不遺漏。例2 下列各圖形中，三角形的個數(shù)各是多少？分析與解：因為底邊上的任何一條線段都對應(yīng)一個三角形(以頂點及這條線段的兩個端點為頂點的三角形)，所以各圖中最大的三角形的底邊所包含的線段的條數(shù)就是三角形的總個數(shù)。由前面數(shù)線段的方法知，圖(1)中有三角形123(個)。圖(2)中有三角形123=6(個)。圖(3)中有三角形123410(個)。圖(4)中有三角形1234515(個)。圖(5)中有三角形123456=21(個)。例3下列圖形中各有多少

3、個三角形？分析與解：(1)只需分別求出以AB，ED為底邊的三角形中各有多少個三角形。以AB為底邊的三角形ABC中，有三角形1236(個)。以ED為底邊的三角形CDE中，有三角形1236(個)。所以共有三角形66=12(個)。這是以底邊為標準來分類計算的方法。它的好處是可以借助“求底邊線段數(shù)”而得出三角形的個數(shù)。我們也可以以小塊個數(shù)作為分類的標準來計算：圖中共有6個小塊。由1個小塊組成的三角形有3個；由2個小塊組成的三角形有5個；由3個小塊組成的三角形有1個；由4個小塊組成的三角形有2個；由6個小塊組成的三角形有1個。所以，共有三角形3512112(個)。(2)如果以底邊來分類計算，各種情況較復

4、雜，因此我們采用以“小塊個數(shù)”為分類標準來計算：由1個小塊組成的三角形有4個；由2個小塊組成的三角形有6個；由3個小塊組成的三角形有2個；由4個小塊組成的三角形有2個；由6個小塊組成的三角形有1個。所以，共有三角形4622115(個)。例4右圖中有多少個三角形？解：假設(shè)每一個最小三角形的邊長為1。按邊的長度來分類計算三角形的個數(shù)。邊長為1的三角形，從上到下一層一層地數(shù)，有1357=16(個)；邊長為2的三角形(注意，有一個尖朝下的三角形)有1231=7(個)；邊長為3的三角形有123(個)；邊長為4的三角形有1個。所以，共有三角形1673127(個)。例5數(shù)出下頁左上圖中銳角的個數(shù)。分析與解：

5、在圖中加一條虛線，如下頁右上圖。容易發(fā)現(xiàn)，所要數(shù)的每個角都對應(yīng)一個三角形(這個角與它所截的虛線段構(gòu)成的三角形)，這就回到例2，從而回到例1的問題，即所求銳角的個數(shù)，就等于從O點引出的6條射線將虛線截得的線段的條數(shù)。虛線上線段的條數(shù)有1+2+3+4+5=15(條)。所以圖中共有15個銳角。例6在下圖中，包含“*”號的長方形和正方形共有多少個？解：按包含的小塊分類計數(shù)。包含1小塊的有1個；包含2小塊的有4個；包含3小塊的有4個；包含4小塊的有7個；包含5小塊的有2個；包含6小塊的有6個；包含8小塊的有4個；包含9小塊的有3個；包含10小塊的有2個；包含12小塊的有4個；包含15小塊的有2個。所以共

6、有14472643242=39(個)。練習111.下列圖形中各有多少條線段？2.下列圖形中各有多少個三角形？3.下列圖形中，各有多少個小于180的角？4.下列圖形中各有多少個三角形？5.下列圖形中各有多少個長方形？6.下列圖形中，包含“*”號的三角形或長方形各有多少？7.下列圖形中，不含“*”號的三角形或長方形各有幾個？答案與提示練習111.(1)28；(2)210。2.(1)36；(2)8。3.(1)10；(2)15。4.(1)9個；(2)16個；(3)21個。5.(1)60個；(2)66個。6.(1)12個；(2)32個。7.(1)21個；(2)62個。提示：47題均采用按所含小塊的個數(shù)分類(見下表)，表中空缺的為0。