《高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.1平面向量基本定理知識(shí)巧解學(xué)案.doc-匯文網(wǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.1平面向量基本定理知識(shí)巧解學(xué)案.doc-匯文網(wǎng)（5頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、2.3.1 平面向量基本定理皰工巧解牛知識(shí)巧學(xué)一、平面向量的基本定理 平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a=1e1+2e2. 其中不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.誤區(qū)警示 (1)定理中的e1、e2是兩個(gè)不共線向量；(2)a是平面內(nèi)任一向量，且實(shí)數(shù)對(duì)1、2是唯一的；(3)平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線向量都可以作為一組基底.二、向量的夾角1.已知兩個(gè)非零向量a和b，在平面上任取一點(diǎn)O，作=a，=b，則AOB=(0180)叫做a與b的夾角.學(xué)法一得 (1)當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a與b的夾角是

2、指從同一點(diǎn)出發(fā)的向量a與b所成的角，(0,180).(2)當(dāng)向量a與b共線時(shí)，若同向，則=0；若反向，則=180.綜合可知：向量a與b的夾角0,180.2.a與b的夾角是90，我們說a與b垂直，記作ab.典題熱題知識(shí)點(diǎn)一 平面向量的基本定理例1 如圖2-3-3，ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且=a，=b，用a、b表示、和.圖2-3-3思路分析：若在平面中選中一組基底，則該平面中的任一向量都可以與之建立聯(lián)系.以該基底為紐帶，可溝通不同向量之間的聯(lián)系.解：在ABCD中，=+=a+b，=-=a-b，=(a+b)=a-b，=(a-b)=a-b，=a+b，=-=a+b.方法歸納 由平面向量基本定理可知

3、，一個(gè)平面內(nèi)所有向量都可表示為選定基底的線性組合，在用向量法證明幾何問題時(shí)，可先把已知和結(jié)論表示成向量形式，再通過向量的運(yùn)算，有時(shí)就能夠很容易地證明幾何命題.例2 如圖2-3-4，OADB是以向量=a，=b為邊的平行四邊形.又BM=BC，CN=CD，試用a、b表示、.圖2-3-4解：=-=a-b，=a-b,=+=b+a-b=a+b.又=a+b，得=a+b.=-=a-b.例3 已知梯形ABCD，ABCD，M、N是DA、BC的中點(diǎn)，設(shè)=e1、=e2，以e1、e2為基底表示、.思路分析：本題考查平面向量的基本定理，關(guān)鍵是找到、與、之間的關(guān)系.解：(1)，存在唯一的實(shí)數(shù)k，使=k，即=ke2(0k1)

4、.圖23-5(2)由圖2-3-5,可知=-=e1-e2，而=+=e1-e2+ke2=e1+(k-1)e2(0k1).(3)=(+)=(e2+ke2)=(k+1)e2(0k1).知識(shí)點(diǎn)二 判定動(dòng)點(diǎn)P在定直線AB上例4 設(shè)、OP是三個(gè)有共同起點(diǎn)的不共線向量，求證：它們的終點(diǎn)A、B、P共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)m、n使m+n=1且=+.證明：(1)由三點(diǎn)共線m、n滿足的條件. 若A、B、P三點(diǎn)共線，則與共線，由向量共線的條件知存在實(shí)數(shù)使=，即-=(-)，=(1-)+.令m=1-，n=，則=m+n且m+n=1.(2)由m、n滿足m+n=1A、B、P三點(diǎn)共線.若=m+n且m+n=1，則=m+(1-m) ，則

5、-=m(-)，即=m.與共線.A、B、P三點(diǎn)共線.由(1)(2)可知，原命題是成立的.思考一下，若m=n=時(shí)，如何表示?P點(diǎn)在什么位置?方法歸納 由上題證明可知：對(duì)直線AB上任意一點(diǎn)P，一定存在唯一的實(shí)數(shù)t滿足向量等式=(1-t)+t (*)，反之，對(duì)每一個(gè)數(shù)值t，在直線AB上都有唯一的一個(gè)點(diǎn)P與之對(duì)應(yīng)；向量式(*)叫做直線AB的向量參數(shù)方程式，其中實(shí)數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).此結(jié)論為我們提供了判定動(dòng)點(diǎn)P在定直線AB上的一種方法.當(dāng)t=時(shí)，=(+)，此時(shí)P為線段AB的中點(diǎn)，這個(gè)公式就是線段AB的中點(diǎn)的向量表達(dá)式.知識(shí)點(diǎn)三 向量的夾角例5 試指出圖2-3-6中向量的夾角.圖2-3-6答案：(1)

6、AOB=為兩向量的夾角；(2)與的夾角為0，兩向量同向共線；(3)與的夾角為180，兩向量異向共線；(4)兩向量的夾角為.知識(shí)點(diǎn)四 利用向量證明三點(diǎn)共線例6 設(shè)兩非零向量e1和e2不共線.(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1，-e2)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ke1+e2和e1+ke2共線.思路分析：要證明A、B、D三點(diǎn)共線，需證存在，使=(e1+e2)即可.而若ke1+e2與e1+ke2共線，則一定存在，使ke1+e2=(e1+ke2).解：(1)=e1+e2，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5，、共線.又因兩向量有公共點(diǎn)B，A

7、、B、D三點(diǎn)共線.(2)ke1+e2與e1+ke2共線，存在使ke1+e2=(e1+ke2)，則(k-)e1=(k-1)e2.由于e1與e2不共線，只能有則k=1.方法歸納 證明三點(diǎn)共線，可結(jié)合題目條件，把e1與e2看作一組基底，從三點(diǎn)中任選兩點(diǎn)組成的向量，用e1與e2表示出來，依據(jù)向量共線的條件判定向量共線，又因?yàn)檫@兩個(gè)向量有共同點(diǎn)，所以可證三點(diǎn)共線.問題探究方案設(shè)計(jì)探究問題 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示，這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具.探究過程: 如圖2-3-7，設(shè)直線l的傾斜角為(90).在l上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)，不

8、妨設(shè)向量的方向是向上的，那么向量的坐標(biāo)是(x2-x1,y2-y1).過原點(diǎn)作向量=，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x2-x1,y2-y1)，而且直線的傾斜角也是，根據(jù)正切函數(shù)的定義,得tan=.圖2-3-7探究結(jié)論:k=tan=就是數(shù)學(xué)2中已經(jīng)得到的斜率公式，上述推導(dǎo)過程比數(shù)學(xué)2中的推導(dǎo)過程簡(jiǎn)捷的多，由此可見向量作為工具是非常有用的.交流討論探究問題 我們本節(jié)學(xué)習(xí)了基底的定義，你認(rèn)為人民幣中的元、角、分可以作為基底嗎？探究思路:學(xué)生甲：基，是事物發(fā)展的根本或起點(diǎn)，被看作一個(gè)單位的對(duì)象一般叫做基；底，即事情的起源.基底是可以表達(dá)全部事物中任一事物的數(shù)量最少的單位對(duì)象的集合.在我們的生活中，人民幣的計(jì)數(shù)單位有元、角、分，表示任意幣值的基底是“元”，如10萬元，2億元等.學(xué)生乙：這些不能用“角”作為基底來表示嗎？學(xué)生甲：當(dāng)然也可以是“角”，更可以是“分”,但由于元、角、分之間存在著換算關(guān)系“1元=10角=100分”，因此不能將“元、角、分”作為基底.學(xué)生乙：那么現(xiàn)實(shí)中不是有7元6角5分的說法嗎？這個(gè)是不是以“元、角、分”作為基底的？學(xué)生甲：事實(shí)上，我們同樣可以用元來表示這一說法，如7.65元.探究結(jié)論:由此我們可以看出作為基底的一個(gè)重要原則便是數(shù)量最少，但又能表示全部!