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1、一一、概率密度的概念與性質(zhì)概率密度的概念與性質(zhì)第二章三、內(nèi)容小結(jié)三、內(nèi)容小結(jié)二二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布第一節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量 及其分布密度(3)一、概率密度的概念與性質(zhì)一、概率密度的概念與性質(zhì)1.定義定義 對于隨機(jī)變量對于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)可積函數(shù)若存在非負(fù)可積函數(shù) p(x)(x R),使得使得X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)xyo則稱則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量,且稱且稱2.密度函數(shù)的性質(zhì)密度函數(shù)的性質(zhì)(1)(2)(非負(fù)性非負(fù)性)(規(guī)范性規(guī)范性)(3)(6)(4)設(shè)設(shè)X為為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量,證證(3)xyo還可得還可得(4)對于任意可能值對于任意

2、可能值c,連續(xù)型隨機(jī)變量取連續(xù)型隨機(jī)變量取 c 的的概率等于零概率等于零.即即證證(4)注注.12A=A=連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量 X=a 是不可能事件是不可能事件,則有則有若若 X=a 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量,連連續(xù)續(xù)型型離離散散型型例例1故有故有解解(1)因?yàn)橐驗(yàn)?X 是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量,二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布分布名稱分布名稱 記號記號 分布密度分布密度均勻分布均勻分布X Ua,b正態(tài)分布正態(tài)分布分布名稱分布名稱 記號記號 分布密度分布密度指數(shù)分布指數(shù)分

3、布概率密度概率密度函數(shù)圖形函數(shù)圖形1.均勻分布均勻分布(1)定義定義分布函數(shù)分布函數(shù)(2)均勻分布的性質(zhì)均勻分布的性質(zhì)若若 X Ua,b，則則(3)均勻分布的含義均勻分布的含義背景：幾何概型背景：幾何概型 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 在在 2,5 上服從均勻分布上服從均勻分布,現(xiàn)現(xiàn)對對 X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測進(jìn)行三次獨(dú)立觀測,試求至少有兩次觀測值試求至少有兩次觀測值大于大于3 的概率的概率.X 的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為設(shè)設(shè) A 表示表示“對對 X 的觀測值大于的觀測值大于 3”,解解即即 A=X 3.例例2因而有因而有設(shè)設(shè)Y 表示表示對對 X進(jìn)行進(jìn)行3次獨(dú)立觀測中次獨(dú)立觀測中,觀測值大于觀

4、測值大于3的次數(shù)的次數(shù),則則2.正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)高斯資料高斯資料(1)定義定義(2)正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征-正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù) 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差;人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景(3)正態(tài)分布下的概率計(jì)算正態(tài)分布下的概率計(jì)算原函數(shù)不是原函數(shù)不是初等函數(shù)

5、初等函數(shù)方法一方法一:利用利用MATLAB軟件包計(jì)算軟件包計(jì)算方法二方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形性質(zhì)：性質(zhì)：x-xxyo可得可得則其則其分布密度分布密度可查表可查表2，得，得如：如：情形情形1.計(jì)算方法：計(jì)算方法：解解例例3情形情形2.證證 例例4某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績(百分制百分制),服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)榉恼龖B(tài)分布，平均成績?yōu)?72分，

6、分，96分以上占考生總數(shù)的分以上占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的外試求考生的外語成績在語成績在 60分至分至 84分之間的概率分之間的概率.解解依依題意，考生外語成績題意，考生外語成績 X查表，知查表，知查表，得查表，得3.指數(shù)分布指數(shù)分布 某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如例如無線電元件的壽命無線電元件的壽命,電力設(shè)備的壽命電力設(shè)備的壽命,動(dòng)物的動(dòng)物的壽命等都服從指數(shù)分布壽命等都服從指數(shù)分布.應(yīng)用與背景應(yīng)用與背景分布函數(shù)分布函數(shù) 設(shè)某類日光燈管的使用壽命設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為=1/2000的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時(shí)小時(shí)

7、)(1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管,求能正常使用求能正常使用1000小時(shí)以小時(shí)以上的概率上的概率.(2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時(shí)以小時(shí)以上上,求還能使用求還能使用1000小時(shí)以上的概率小時(shí)以上的概率.X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解例例5指數(shù)分布的重要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無記憶性無記憶性”.分布函數(shù)分布函數(shù)三、內(nèi)容小結(jié)三、內(nèi)容小結(jié)2.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布均勻分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布(或高斯分布或高斯分布)指數(shù)分布指數(shù)分布 正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景,例如測量例如測量誤差誤差;

8、人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度直徑、長度、重量高度;炮彈的彈落點(diǎn)的分布等炮彈的彈落點(diǎn)的分布等,都服從或近似服從正態(tài)都服從或近似服從正態(tài)分布分布.可以說可以說,正態(tài)分布是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最正態(tài)分布是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最為常見的一種分布為常見的一種分布,一個(gè)變量如果受到大量微小一個(gè)變量如果受到大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響,那么這個(gè)變量一般那么這個(gè)變量一般是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量.3.正態(tài)分布是概率論中最重要的分布正態(tài)分布是概率論中最重要的分布另一方面另一方

9、面,有些分布有些分布(如二項(xiàng)分布、泊松分布如二項(xiàng)分布、泊松分布)的極的極限分布是正態(tài)分布限分布是正態(tài)分布.所以所以,無論在實(shí)踐中無論在實(shí)踐中,還是在理還是在理論上論上,正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布.二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換解解例例1-1備份題備份題解解則有實(shí)根的概率為則有實(shí)根的概率為例例3-1(1)所求概率為所求概率為解解例例7-1例例8-1 某儀器裝有某儀器裝有3支獨(dú)立工作的同型號電子元件，支獨(dú)立工作的同型號電子元件，其壽命其壽命(單位：小時(shí)單位：小時(shí))都服從同一指數(shù)分布，都服從同一指數(shù)分布，分布密度為分布密度為試求在儀器使用的

10、最初試求在儀器使用的最初 200小時(shí)內(nèi)，至少有小時(shí)內(nèi)，至少有一支電子元件損壞的概率一支電子元件損壞的概率.解解 設(shè)設(shè) Xi=第第 i 支元件使用的壽命支元件使用的壽命 (i=1,2,3)BAi=在儀器使用最初在儀器使用最初200小時(shí)內(nèi)，小時(shí)內(nèi)，第第 i 支電子元件損壞支電子元件損壞 (i=1,2,3)在儀器使用最初在儀器使用最初200小時(shí)內(nèi)，小時(shí)內(nèi)，第第 i 支電子元件未損壞支電子元件未損壞 (i=1,2,3)設(shè)設(shè) Xi=第第 i 支元件使用的壽命支元件使用的壽命 (i=1,2,3)(i=1,2,3)(i=1,2,3)例例8-2假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t 的時(shí)間內(nèi)的時(shí)間

11、內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)發(fā)生故障的次數(shù) N(t)服從參數(shù)為服從參數(shù)為 t 的的泊松分布泊松分布.試求試求相繼兩次故障之間相繼兩次故障之間時(shí)間時(shí)間間隔間隔 T 的概率分布的概率分布.解解)=0Tt 設(shè)電阻值設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量,均勻分布在均勻分布在900歐歐1100歐歐.求求R的概率密度及的概率密度及R 落在落在950歐歐1050歐的概率歐的概率.解解由題意由題意,R 的概率密度為的概率密度為故有故有例例3例例4分析分析 1 等候時(shí)間為等候時(shí)間為 0 5分鐘的任一時(shí)間分鐘的任一時(shí)間;(無限性無限性)2 等可能性等可能性.屬幾何概型屬幾何概型解解所求概率所求概率:解解例例1Born:30 April 1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany)Died:23 Feb 1855 in Gttingen,Hanover(now Germany)Carl Friedrich GaussGaussGauss