《第5講-函數(shù)的奇偶性對稱性周期性(師)(共8頁).doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《第5講-函數(shù)的奇偶性對稱性周期性(師)(共8頁).doc（8頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、精選優(yōu)質文檔 -傾情為你奉上 專心 -專注 -專業(yè) 第 5 講 函數(shù)的奇偶性對稱性周期性 2017.3.26 一、函數(shù)的奇偶性 1. 奇偶性的定義 如果對于函數(shù) ()fx的定義域內的任意一個 x ，都有 ( ) ( )f x f x，則稱函數(shù) ()fx為偶函數(shù)； 如果對于函數(shù) ()fx的定義域內的任意一個 x ，都 有 ( ) ( )f x f x ，則稱函數(shù) ()fx為 奇 函數(shù)。 2.奇偶性的幾何意義 具有奇偶性的函數(shù)的定義域關于原點對稱，奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關于 y 軸對稱。 3.常用性質 (1) 0)( xf 是既奇又偶函數(shù)； (2)奇函數(shù)若在 0 x 處有定義，則必

2、有 0)0( f ； (3)偶函 數(shù)滿足 )()()( xfxfxf ； (4)奇函數(shù)圖象關于原點對稱，偶函數(shù)圖象關于 y 軸對稱； (5) 0)( xf 除外的所有函數(shù)奇偶性滿足： 奇函數(shù) 奇函數(shù) =奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) =偶函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) =非奇非偶 奇函數(shù) 偶函數(shù) =奇函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) =偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) =偶函數(shù) (6)任何函數(shù) )(xf 可以寫成一個奇函數(shù) 2 )()()( xfxfx 和一個偶函 數(shù) 2 )()()( xfxfx 的和。 4.復合函數(shù)的奇偶性。 性質 1、復數(shù)函數(shù) )( xgfy 為偶函數(shù)，則 )()( xgfxgf ; 復合函數(shù) )( xgfy

3、為奇函數(shù)，則 )()( xgfxgf . 性質 2、復合函數(shù) )( axfy 為偶函數(shù)，則 )()( axfaxf ; 復合函數(shù) )( axfy 為奇函數(shù)，則 )()( axfaxf . 性質 3、復合函數(shù) )( axfy 為偶函數(shù)，則 )(xfy 關于直線 x a軸對稱。 復合函數(shù) )( axfy 為奇函數(shù)，則 )(xfy 關于點 (a,0)中心對稱。 練習 : 1.已知函數(shù) )(xf 是定義在 R 上的偶函數(shù) . 當 )0,( x 時， 4)( xxxf ， 則當 ),0( x 時， )(xf 2.已知定義域為 R 的函數(shù)12() 2xx bfx a 是奇函數(shù) 精選優(yōu)質文檔 -傾情為你奉上

4、 專心 -專注 -專業(yè) (1)求 ,ab的值； (2)若對任意的 tR ，不等式 22( 2 ) ( 2 ) 0f t t f t k 恒成立，求 k 的 取值范圍； 3.已知函數(shù) 1( ) .21xf x a ，若 fx為奇函數(shù)，則 a _。 4. 已知 )(xf 在（ 1， 1）上有定義，且滿足 ),1()()()1,1(, xyyxfyfxfyx 有 證明： )(xf 在（ 1， 1）上為奇函數(shù)； 5.若奇函數(shù) )( Rxxf 滿足 1)2( f ， )2()()2( fxfxf ，則 )5(f _ 二、函數(shù)的對稱性 1.函數(shù)自對稱 （ 1） 關于 y 軸對稱的函數(shù)（偶函數(shù)）的充要條件是

5、 )()( xfxf （ 2） 若函數(shù) )(xfy 關于 點 )0,(a 對稱，則以下 四 式成立且等價： )()( xafxaf )()2( xfxaf )()2( xfxaf )( axfy 是奇函數(shù) （ 3） 若函數(shù) )(xfy 關于直線 ax 對稱，則以下 四 式成立且等價： )()( xafxaf )()2( xfxaf )()2( xfxaf )( axfy 是偶函數(shù) （ 4） 如果函數(shù) )(xfy 對于一切 x R, 都有 f(a+x)=f(b-x)成立，那么函數(shù) )(xfy 的圖像關于直線x= 2ba 對稱 （ 5） 如果函數(shù) )(xfy 對于一切 x R, 都有 bxafxa

6、f 2)()( 成立 , 則函數(shù) )(xfy 圖像關于點 ),( ba 對稱 2.兩個函數(shù)的圖象對稱性 （ 1） )(xfy 與 )(xfy 關于 x 軸對稱。 換種說法： )(xfy 與 )(xgy 若滿足 )()( xgxf ，即它們關于 0y 對稱。 （ 2） )(xfy 與 )( xfy 關于 y 軸對稱。 換種說法： )(xfy 與 )(xgy 若滿足 )()( xgxf ，即它們關于 0 x 對 稱。 （ 3） )(xfy 與 )2( xafy 關于直線 ax 對稱。 換種說法： )(xfy 與 )(xgy 若滿足 )2()( xagxf ，即它們關于 ax 對稱。 （ 4） )(

7、xfy 與 )(2 xfay 關于直線 ay 對稱。 換種說法： )(xfy 與 )(xgy 若滿足 axgxf 2)()( ，即它們關于 ay 對稱。 （ 5） )2(2)( xafbyxfy 與 關于點 ,ab 對稱。 換種說法： )(xfy 與 )(xgy 若滿足 bxagxf 2)2()( ，即它們關于點 ,ab 對稱。 （ 6） )( xafy 與 )( bxy 關于直線 2bax 對稱。 精選優(yōu)質文檔 -傾情為你奉上 專心 -專注 -專業(yè) 若 )()( axfxf ,則 函數(shù) )(xfy 的圖象關于點 )0,2(a 對稱 ; 3.幾個常見的函數(shù)方程 （ 1） 正比例函數(shù) ()f x

8、 cx , ( ) ( ) ( ) , (1 )f x y f x f y f c . （ 2） 指數(shù)函數(shù) () xf x a , ( ) ( ) ( ) , (1 ) 0f x y f x f y f a . （ 3） 對數(shù)函數(shù) ( ) logaf x x , ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 ( 0 , 1 )f x y f x f y f a a a . （ 4） 冪函數(shù) ()f x x , ( ) ( ) ( ) , (1 )f x y f x f y f . 三 、函數(shù)的周期性 定義：對于函數(shù) )(xf ，如果存在一個非零常數(shù) T，使得當 x 取定義域內的每一個值時，都有)()

9、( xfTxf ，則 )(xf 的最小正周期為 T， T 為這個函數(shù)的一個周期（ 說明： nT 也是 )(xf 的周期 ） 注意： 關于函數(shù)的周期性的幾個重要性質： 1.如果函數(shù) )(xf 是 R 上的奇函數(shù)，且最小正周期為 T，那么 0)2()2( TfTf 2.如果函數(shù) )(xf 所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做 )(xf 的最小正周期，如果函數(shù) )(xf 的最小正周期為 T 則函數(shù) )(axf 的最小正周期為aT，如果 )(xfy 是周期函數(shù)，那么)(xfy 的定義域無界 3.若 )0)()( TxfTxf )(xf 是周期函數(shù)， T 是它的一個周期，說明： nT

10、也是 )(xf 的周期 推廣 ：若 )()( bxfaxf ，則 (xf 是周期函數(shù)， ab 是它的一個周期 4.定義在 R 上的函數(shù) )(xf 圖象關于直線 ax 和 bx )( ba 對稱，則 )(xf 是周期函數(shù)， )(2 ab 是它的一個周期 推論 ：若定義在 R 上的偶函數(shù) )(xf 的圖象關于直線 ax )0( a 對稱，則 )(xf 是周期函數(shù)， a2 是它的一個周期 5.定義在 R 上的函數(shù) )(xf 圖象關于點 )0,(a 和點 )0,(b )( ba 對稱，則 )(xf 是周期函數(shù)， )(2 ab 是它的一個周期 推論 ：若定義在 R 上的奇函數(shù) )(xf 的圖象關于點 )

11、0,(a )0( a 對稱，則 )(xf 是周期函數(shù)， a2 是它的一個周期 6.定義在 R 上的函數(shù) )(xf 圖象關于直線 ax 和點 )0,(b )( ba 對稱，則 )(xf 是周期函數(shù)， )(4 ab 是它一個周期 精選優(yōu)質文檔 -傾情為你奉上 專心 -專注 -專業(yè) 推論 ：若定義在 R 上的奇函數(shù) )(xf 的圖象關于直線 ax )0( a 對稱，則 )(xf 是周期函數(shù)， a4 是它的一個周期 7.若 a是非零常數(shù)，對于函數(shù) )(xfy 定義域內的 任一變量 x，有下列條件之一成立，則函數(shù) y f(x)是周期函數(shù)，且 2|a|是它的一個周期 ： )()( xfaxf ； )(1)

12、( xfaxf ； )(1)( xfaxf ； )()( axfaxf 8. )1)(,)(1 1)( xfxfaxf，則 )(xf 的周期 T=3a 9.)(1 )(1)( xf xfaxf 則 )(xf 的周期 T=4a； 例 1.設 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 xfy 的圖象關于直線 21x 對稱，則 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_. 【 考點分析 】本題考查函數(shù)的周期性 解析： 00ff 得 00f ，假設 0fn 因為點（ n ， 0）和點（ 1,0n ）關于 12x 對稱，所以 10f n f n f n 因此，對一切正整數(shù) n

13、 都有： 0fn 從而： 1 2 3 4 5 0f f f f f 。本題答案填寫： 0 例 2.已知 ()fx是周期為 2 的奇函數(shù)，當 01x時， ( ) lg .f x x 設 63( ), ( ),52a f b f 5( ),2cf 則 （ A） abc （ B） bac （ C） c b a （ D） c a b 解： 已知 ()fx是周期為 2 的奇函數(shù)，當 01x時， ( ) lg .f x x 設 6 4 4( ) ( ) ( )5 5 5a f f f ，3 1 1( ) ( ) ( )2 2 2b f f f ， 51( ) ( )22c f f0， b+c0， c+a0

14、， 證明： f（ a） +f（ b） +f（ c） 0。（ 12 分） 解： f（ x）是定義域 R上的 奇函數(shù)且為增函數(shù)。 由 a+b0得 a-b，由增函數(shù) f(a)f(-b)，且奇函數(shù) f（ -b） =-f（ b）， 得 f（ a） +f（ b） 0。同理可得 f（ b） +f（ c） 0， f（ c） +f（ a） 0。 相加得： f（ a） +f（ b） +f（ c） 0。 例 9 設函數(shù) f （ x ） 的 定 義 域 關 于 原 點 對 稱 ， 且 對 于 定 義 域 內 任 意 的 21 xx ，有)()( )()(1)( 12 2121 xfxf xfxfxxf ，試判斷 f（

15、 x）的奇偶性，并證明你的結論。（ 12 分） 解： )()()( )()(1)( 1212 2121 xxfxfxf xfxfxxf )()()( )()(1)()( )()(1 2112 2121 21 xxfxfxf xfxfxfxf xfxf ， 設 21 xxx ，則 12 xxx ， f（ -x） =-f（ x）； 又 f（ x）的定義域關于原點對稱， f（ x）為奇函數(shù)。 例 10.設 )(xf 是定義在 R 上的偶函數(shù)，它的圖象關于直線 2x 對稱，已知 22 ，x 時，函數(shù)1)( 2 xxf ，則 26 ，x 時， )(xf _ 例 11.設 )(xf 是定義在 R 上的奇函

16、數(shù)，且對任意實數(shù) x 恒滿足 )()2( xfxf ，當 2,0 x 時22)( xxxf 求證： )(xf 是周期函數(shù)； 當 4,2x 時，求 )(xf 的解析式； (3)算： )0(f )1(f )2(f )2005(f 例 12. 已知 f (x) 是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且 ,32)1(,)(1 )(1)2( fxf xfxf 若則 f (2005)= . 例 13.已知 )(xf 是 (- ， )上的奇函數(shù)， )()2( xfxf ，當 0 x 1 時， f(x)=x，則 f(7.5)=_ 當堂練習 : 1.定義在實數(shù)集上的奇函數(shù) 恒滿足 ，且 時 , ,則 _。 精選優(yōu)質文檔 -傾情為你奉上 專心 -專注 -專業(yè) 2.已知函數(shù) 滿足 ，則 圖象關于 _對稱。 3.函數(shù) 與函數(shù) 的圖象關于關于 _對稱。 4.設函數(shù) 的定義域為 R，且滿足 ，則 的圖象關于 _對稱。 5.設函數(shù) 的定義域為 R，且滿足 ，則 的圖象關于 _對稱。 圖象關于 _對稱。 6.設 的定義域為 R，且對任意 ，有 ，則 圖象關于_對稱， 關于 _對稱。 7.已知函數(shù) 對一切實數(shù) x 滿足 ，且方程 有