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1、自 學 導 引,1.知道兩圓間的位置關(guān)系有:外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含5種.2.會根據(jù)兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系迅速判斷出兩圓的位置關(guān)系.3.初步體會根據(jù)圓的對稱性靈活處理問題的方法和它的優(yōu)越性.,課 前 熱 身,一般地,設(shè)圓C1和C2的方程分別為(x-x1)2+(y-y1)2=r21,(x-x2)2+(y-y2)2=r22.圓心分別為C1(x1,y1),C2(x2,y2),半徑分別為r1,r2,兩圓圓心距d=|C1C2|= 那么,當dr1+r2時,兩圓_.當d=r1+r2時,兩圓_.當|r1-r2|dr1+r2時,兩圓_.當d=|r1-r2|時,兩圓_.當0d|r1-r2|時,兩圓_.,外離,外

2、切,相交,內(nèi)切,內(nèi)含,名 師 講 解,1.判斷圓與圓的位置關(guān)系的方法與步驟(1)判斷兩圓C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r ,C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r位置關(guān)系的常用方法:兩圓C1C2外離|C1C2|r1+r2;兩圓C1、C2外切|C1C2|=r1+r2;兩圓C1C2相交|r1-r2|C1C2|r1+r2;兩圓C1、C2內(nèi)切|C1C2|=|r1-r2|;圓C1內(nèi)含于圓C20|C1C2|r2-r1|,其中|C1C2|=0時,兩圓同心.,(2)判斷兩圓的位置關(guān)系時的一般步驟:第一步:將兩圓的方程化為標準方程;第二步:依據(jù)圓的標準方程計算出兩圓的半徑r1、r2及圓心距d(即|C1

3、C2|);第三步:根據(jù)d與r1、r2之間的關(guān)系,判斷兩圓的位置關(guān)系.,2.判斷兩圓的位置關(guān)系為什么不用代數(shù)法跟判斷直線與圓的位置關(guān)系一樣,判斷兩圓的位置關(guān)系也可以用代數(shù)法求方程組解的組數(shù),但由于解兩個二元二次方程組通常計算量較大,較為麻煩,而且當無解或是一解時往往還得重新用幾何法來討論,不如直接運用幾何法簡便.,典 例 剖 析,題型一 圓與圓的位置關(guān)系例1:a為何值時,兩圓x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.(1)外切;(2)內(nèi)切.分析:把圓的方程化成標準方程,求出兩圓半徑及圓心距,再作比較.,解:將兩圓方程寫成標準方程(x-a)2+(y+2) 2=

4、9,(x+1) 2+(y-a) 2=4.設(shè)兩圓的圓心距為d,則d2=(a+1) 2+(-2-a) 2=2a2+6a+5.(1)當d=5,即2a2+6a+5=25時,兩圓外切,此時a=-5或2.(2)當d=1即2a2+6a+5=1時,兩圓內(nèi)切,解得a=-1或a=-2. 規(guī)律技巧:解決兩圓的位置關(guān)系,運用幾何方法(圓心距與半徑的關(guān)系)比代數(shù)方法(方程組解的情況)簡單.,變式訓練1:A的方程為x2+y2-2x-2y-7=0,B的方程為x2+y2+2x+2y-2=0,判斷A和B是否相交,若相交,求過兩交點的直線的方程;若不相交,說明理由.分析:判定兩圓是否相交,只需判定兩圓的半徑和差與圓心距間關(guān)系即可

5、.,解:A的方程可寫為(x-1)2+(y-1) 2=9,B的方程可寫為(x+1) 2+(y+1) 2=4,兩圓心之間的距離滿足3-2|AB|= 即兩圓心之間的距離小于兩圓半徑之和大于兩圓半徑之差.兩圓相交.A的方程與B的方程左右兩邊分別相減得-4x-4y-5=0.即4x+4y+5=0為過兩圓交點的直線的方程.,題型二 與兩圓相切有關(guān)的問題例2:求與圓x2+y2-2x=0外切且與直線 相切于點 的圓的方程.分析:先設(shè)出圓的方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2 (r0),利用題設(shè)條件,得到關(guān)于a、b、r的三個方程,解方程組求得a,b,r即可.,解:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b) 2=

6、r2 (r0),將x2+y2-2x=0化為標準形式(x-1) 2+y2=1,由題意可得,規(guī)律技巧:本題利用了待定系數(shù)法,設(shè)出所求圓的方程,根據(jù)圓與圓相切,圓與直線相切的條件列出關(guān)于a,b,r的方程組求解.,變式訓練2:以(3,-4)為圓心,且與圓x2+y2=64內(nèi)切的圓的方程.解:設(shè)所求圓的半徑為r,則r=3或r=13,故所求圓的方程為(x-3) 2+(y+4) 2=9或(x-3) 2+(y+4) 2=169.,題型三 與兩圓公共弦有關(guān)的問題例3:已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.分析:因兩圓的交點坐標

7、同時滿足兩個圓的方程,聯(lián)立方程組消去x2項y2項,即得兩圓的兩個交點所在的直線方程.利用勾股定理可求出兩圓公共弦長.,解:設(shè)兩圓交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則AB兩點坐標是方程組-得3x-4y+6=0.AB兩點坐標都滿足此方程,3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程.易知圓C1的圓心(-1,3),半徑r=3.,規(guī)律技巧:求兩圓的公共弦所在直線方程,只要將表示圓的兩個方程相減即可得到.求圓的弦長用幾何法簡單.,變式訓練3:判斷圓C1:x2+y2-2x-6y-6=0,與圓C2:x2+y2-4x+2y+4=0的公切線的條數(shù).分析:先判斷兩圓位置關(guān)系.解:由題意得:將圓C1化為標

8、準方程:(x-1) 2+(y-3) 2=16.將圓C2化為標準方程:(x-2) 2+(y+1) 2=1.得圓C1的圓心坐標C1 (1,3),半徑r1=4.圓C2的圓心坐標C2 (2,-1),半徑r2=1,又r1+r2|C1C2|r1-r2,即兩圓相交.圓C1與圓C2有兩條公切線.,易錯探究例4:求與圓(x-2)2+(y+1) 2=4相切于點A(4,-1)且半徑長為1的圓的方程.錯解:設(shè)所求圓的圓心C(a,b),則由解得a=5,b=-1.所求圓的方程為(x-5) 2+(y+1) 2=1.,錯因分析:兩圓相切包括內(nèi)切和外切兩種情況,錯解中認為相切就是外切,思考不到位,丟掉了內(nèi)切的情況,造成錯解.正

9、解:設(shè)所求圓的圓心C(a,b),則 (1)當兩圓外切時,有 由解得a=5,b=-1.所求圓的方程為(x-5)2+(y+1) 2=1.,(2)若兩圓內(nèi)切,則有 由解得a=3,b=-1.所求圓的方程為(x-3)2+(y+1) 2=1.綜上所述,所求圓的方程為(x-5) 2+(y+1) 2=1或(x-3) 2+(y+1) 2=1.,技 能 演 練,基礎(chǔ)強化1.圓x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置關(guān)系是( )A.相離 B.外切C.相交D.內(nèi)切解析:圓:x2+y2-2x=0,配方(x-1)2+y2=1,圓心C1(1,0),半徑r1=1.圓:x2+y2+4y=0,配方x2+(y+2)2=4,

10、圓心C2(0,-2),半徑r2=2.圓心距|C1C2|= r1+r2=3,兩圓相交.答案:C,2.兩圓x2+y2=r2與(x-3) 2+(y+1) 2=r2 (r0)外切,則r的值是( )答案:D,3.兩圓x2+y2-4x+2y+1=0與x2+y2+4x-4y-1=0的公切線有( )A.1條B.2條C.3條D.4條解析:圓x2+y2-4x+2y+1=0(x-2) 2+(y+1) 2=4,圓心C1(2,-1),半徑r1=2.圓x2+y2+4x-4y-1=0(x+2) 2+(y-2) 2=9,圓心C2(-2,2),半徑r2=3.|C1C2|= =5=r1+r2.兩圓相外切,公切線有3條.答案:C,

11、4.圓x2+2x+y2+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為 的點共有( )A.4個B.3個C.2個D.1個解析:圓x2+2x+y2+4y-3=0(x+1) 2+(y+2) 2=8.圓心(-1,-2),半徑為 而圓心(-1,-2)到直線x+y+1=0的距離圓上點到直線的距離為 的點有3個.答案:B,5.已知半徑為1的動圓與圓(x-5)2+(y+7) 2=16相切,則動圓圓心的軌跡方程是( )A.(x-5) 2+(y+7) 2=25B.(x-5) 2+(y+7) 2=17或(x-5) 2+(y+7)2=15C.(x-5) 2+(y+7) 2=9D.(x-5) 2+(y+7) 2=25或(x

12、-5) 2+(y+7) 2=9解析:設(shè)動圓圓心G(x,y).當兩圓內(nèi)切時,有(x-5) 2+(y+7) 2=9.當兩圓外切時,有(x-5) 2+(y+7) 2=25.應選D.答案:D,6.已知兩圓x2+y2=10和(x-1) 2+(y-3) 2=20相交于AB兩點,則直線AB的方程是_.解析:二圓相減可得x+3y=0.,x+3y=0,7.以點(1,2)為圓心,與直線4x+3y-35=0相切的圓的方程是_.解析:半徑又圓心(1,2).圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=25.,(x-1)2+(y-2)2=25,8.兩圓x2+y2=1和(x+4) 2+(y-a) 2=25相切,則實數(shù)a的值為_.

13、解析:當兩圓內(nèi)切時,有(0+4) 2+(0-a) 2=(5-1) 2.a=0;當兩圓外切時,有(0+4) 2+(0-a) 2=(5+1) 2,a= a=0或a=,能力提升9.已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點,點A(12,0)是x軸上的一定點,當點P在圓上運動時,線段PA的中點M的軌跡是什么?并分析此軌跡與圓x2+y2=16的位置關(guān)系.解:設(shè)線段PA的中點M(x,y),P(x0,y0),則由中點坐標公式得:,P(x0,y0)在圓x2+y2=16上,(2x-12) 2+(2y) 2=16,即(x-6) 2+y2=4.這就是點M的軌跡方程.點M的軌跡是以(6,0)為圓心,2為半徑的圓.兩圓的

14、圓心距 而兩半徑之和為6.兩圓相外切.,10.求半徑為4,與圓x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直線y=0也相切的圓的方程.解:由題意,設(shè)所求圓的方程為圓C:(x-a) 2+(y-b) 2=r2.圓C與直線y=0相切,且半徑為4,則圓心C的坐標為C1(a,4)或C2(a,-4).又已知圓x2+y2-4x-2y-4=0的圓心A的坐標為(2,1),半徑為3.若兩圓相切,則|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.,(1)當C1(a,4)時,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2) 2+(4-1) 2=12(無解),故可得a=2 所求圓的方程為 +(y-4) 2=42,或 +(y-4)

15、2=42.(2)當C2(a,-4)時,(a-2) 2+(-4-1) 2=72,或(a-2) 2+(-4-1) 2=12(無解),故a=2 所求圓的方程為 +(y+4) 2=42,或 +(y+4) 2=42.,11.圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2-4y=0的位置關(guān)系是( )A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切解析:圓O1:x2+y2-2x=0,配方得(x-1) 2+y2=1,圓心O1,(1,0),半徑r1=1.圓O2:x2+y2-4y=0,配方得x2+(y-2) 2=4,圓心O2 (0,2),半徑r2=2.,|O1O2|= =r1+r2.圓O1與圓O2相交.答案:B,12. 若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的長為 則a=_.解析:兩圓作差得弦所在直線方程為弦心距 由弦心距半弦及半徑的關(guān)系得 ,a=1.,1,