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1、題型十題型十 二次函數(shù)綜合題二次函數(shù)綜合題題題型型分分類類突突破破例例1 如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，直線yaxb經(jīng)過點(diǎn)A、C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對稱軸為直線l.(1)求直線AC的解析式；類型一 線段、周長最值問題例1題圖【題型解讀】重慶中考二次函數(shù)綜合題的考查多以題干中給出解析式的形式考查，第(2)問多為線段最值問題，第(3)問多為特殊圖形的判定問題【思維教練】(1)拋物線 與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，令x0，得y2，令y0，即，化簡得x25x40，解得x11，x24，A(4，0)、B(1，0)、C(0，2)，將A(4，0)、C(0，2)代入yaxb，得解得

2、 ，直線AC的解析式為；(2)設(shè)點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，且AECE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；例1題圖【思維教練】(2)如解圖，由點(diǎn)E在x軸上，可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(e，0)，連接CE，則AE4e.在RtCOE中，根據(jù)勾股定理得CE2OC2OE222e2，AECE，(4e)222e2，解得e，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，0)；例1題解圖(3)設(shè)點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G，使得GDGB的值最小，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例1題圖【思維教練】要求GDGB的值最小，先找點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B，再連接BD，BD與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)G，先求直線BD的解析式，再求其與y軸的交點(diǎn)即可(3)存在如解圖，取點(diǎn)B關(guān)于

3、y軸的對稱點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)連接BD，直線BD與y軸的交點(diǎn)G即為所求的點(diǎn)設(shè)直線BD的解析式為ykxd(k0)，其中將點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得直線BD的解析式為令x0得y，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0，)；例1題解圖(4)在對稱軸l上是否存在一點(diǎn)F，使得BCF的周長最小，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及BCF周長的最小值；若不存在，請說明理由；例1題圖【思維教練】因?yàn)锽C長為定值，要使BCF周長最小，即要使CFBF的值最小，由點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸l對稱，可知AC與對稱軸l的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，即可使CFBF最小，將 代入直線AC的解析式，即可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，在RtAOC中可得AC的長，在RtBOC中可得B

4、C的長，即可得BCF的最小周長(4)存在要使BCF的周長最小，即BCBFCF最小如解圖，連接BC、BF，在RtOBC中，OB1，OC2.由勾股定理得 為定值，只需BFCF最小點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱，AC與對稱軸l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)F.將x代入直線 得點(diǎn)F的坐標(biāo)為()在RtAOC中，AO4，OC2，根據(jù)勾股定理得BCF周長的最小值為例1題解圖(5)若點(diǎn)H是拋物線上位于AC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)H作y軸的平行線，交AC于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為h，線段HKd.求d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；求d的最大值及此時(shí)H點(diǎn)的坐標(biāo)；例1題圖【思維教練】由題可得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為h，分別將h代入拋物線及直線AC的解析式中，即可得

5、到點(diǎn)H、K的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)H在點(diǎn)K的上方，可得到d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可得d的最大值(5)如解圖，點(diǎn)H在拋物線上，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0h4)，HKy軸，交AC于點(diǎn)K，點(diǎn)K的坐標(biāo)為，點(diǎn)H在點(diǎn)K的上方，d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式為例1題解圖由可知，當(dāng)h2時(shí)，d最大，024，符合題意，當(dāng)h2時(shí)，d最大，最大值為2，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2，1)；(6)設(shè)點(diǎn)Q是對稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)(Q不與A重合)，過點(diǎn)Q作y軸的平行線，交AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)R，若QM3MR，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)例1題圖【思維教練】要求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，需分點(diǎn)Q在點(diǎn)M的上方和點(diǎn)Q在點(diǎn)M的下方兩種情況討論，在每種情況下用點(diǎn)Q，M，

6、R的縱坐標(biāo)表示出QM和MR的長度，利用QM3MR列方程求解，注意檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的合理性(6)設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為q，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)M的上方時(shí)(q4)，如解圖.此時(shí)解得q13或q24，均不符合題意，舍去綜上可知，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，1)例1題解圖例例2 如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線yx22x3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A、C.類型二 與面積有關(guān)的問題例2題圖解：(1)已知拋物線解析式y(tǒng)x22x3，令y0，即x22x30，解得x13，x21，A(3，0)，B(1，0)，令x0，得y3，C(0，3)設(shè)一次函數(shù)解析式y(tǒng)kxb(k0)，代入A、C點(diǎn)坐標(biāo)，解得k1，b3，yx3；

7、(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)或(0，3)或(2)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，DE是拋物線的對稱軸，點(diǎn)E在x軸上，在拋物線上存在點(diǎn)Q，使得QAE的面積與CBE的面積相等，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；【思維教練】QAE與CBE的底邊AEBE.要使兩三角形面積相等，只要高相等，CBE的底邊BE上的高為3，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為3或3時(shí)，滿足條件，分別代入拋物線解析式求解即可例2題圖【解法提示】如解圖，依題意AEBE，當(dāng)QAE的邊AE上的高為3時(shí)，QAE的面積與CBE的面積相等當(dāng)y3時(shí)，x22x33，解得x12，x20，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(0，3)；當(dāng)y3時(shí)，x22x33，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為綜

8、上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(0，3)或例2題解圖(3)在(2)的條件下，連接AD，CD，求四邊形AOCD和ACD的面積；例2題圖【思維教練】要求四邊形AOCD和ACD的面積，由于四邊形AOCD是不規(guī)則圖形，則可利用S四邊形AOCDSAODSCOD計(jì)算由于ACD的底與高不容易計(jì)算，所以可利用S四邊形AOCDSAOC計(jì)算如解圖，連接OD，易知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)，S四邊形AOCDSAODSCODSACDS四邊形AOCDSAOC.例2題解圖(4)在直線AC的上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，使MAC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例2題圖【思維教練】要使MAC面積最

9、大，可先把MAC的面積用含字母的式子表示出來，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求得M點(diǎn)坐標(biāo)(4)存在一點(diǎn)M ，使MAC的面積最大理由如下：如解圖，過點(diǎn)M作MNy軸，交AC于點(diǎn)N，設(shè)M(x，x22x3)，則N(x，x3)，MNx22x3(x3)x23x，SMACSAMNSCMN0，當(dāng)x時(shí)，SMAC的值最大為；當(dāng)x 時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為存在點(diǎn)M ，使MAC的面積最大；例2題解圖(5)點(diǎn)H是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作HGx軸于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)I，試確定H點(diǎn)的位置，使HGA的面積被直線AC分為12的兩部分；例2題圖【思維教練】HGA的面積被直線AC分為12兩部分，由于高AG一樣，只需HI與IG的比為12

10、即可，利用HI與IG為12與21關(guān)系列方程求解即可(5)如解圖，可分兩種情況討論：()若H1I12I1G1，則有x23x2(x3)，整理得x25x60，解得x12，x23(不合題意，舍去)，H1(2，3)；()若2H2I2I2G2，則有2(x23x)x3，整理得2x27x30，解得x1，x23(不合題意，舍去)，綜上所述，點(diǎn)H的坐標(biāo)為H1(2，3)或例2題解圖【思維教練】先假設(shè)存在點(diǎn)R，使得SRBC.過點(diǎn)R作BC的垂線交BC于點(diǎn)K，可得BCRK.此時(shí)點(diǎn)R，K坐標(biāo)不容易計(jì)算可考慮作RHy軸與BC延長線相交于點(diǎn)F，利用RKF與BOC相似，RFOBBCRK9，設(shè)出R點(diǎn)坐標(biāo)，利用此關(guān)系式，解方程求解(

11、6)若點(diǎn)R是拋物線上的一點(diǎn)，且位于對稱軸的左側(cè)，是否存在點(diǎn)R，使SRBC？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由例2題圖例2題解圖(6)假設(shè)存在點(diǎn)R，使SRBC，如解圖，過點(diǎn)R作RKBC，交BC的延長線于點(diǎn)K，作RHy軸，交x軸于點(diǎn)H，交BC的延長線于點(diǎn)F，則FBCO，RKFBOC90，RKFBOC，BCRKBORF，又SRBC，BO1，RF9，由B(1，0)，C(0，3)可求出直線BC的解析式為y3x3，設(shè)R(x，x22x3)(3x1)，則F(x，3x3)，RF3x3(x22x3)x2x，x2x9，解得 (不合題意，舍去)，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)R，使SRBC，點(diǎn)R的坐標(biāo)為背景作圖求法有一條邊在

12、坐標(biāo)軸上：以在坐標(biāo)軸上的邊為底邊，過頂點(diǎn)作垂線 SABC AB|yC|沒有邊在坐標(biāo)軸上：過動(dòng)點(diǎn)作平行于坐標(biāo)軸的直線SPACPP|xCxA|1.坐標(biāo)平面內(nèi)圖形面積的表示四邊形有兩邊在坐標(biāo)軸上：過動(dòng)點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線或連接動(dòng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)OS四邊形COBPS梯形EOBPSCEPSOPCSOPB2.圖形面積最值問題的計(jì)算通常利用1中方法用點(diǎn)坐標(biāo)表示出面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求最大值或最小值例例3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，直線BC的解析式為ykx3，拋物線的頂點(diǎn)為D，對稱軸與直線BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F.類型三 與特殊三角形有關(guān)的

13、問題例3題圖(1)求拋物線的解析式；【思維教練】已知A，B點(diǎn)坐標(biāo)，可將拋物線解析式設(shè)為交點(diǎn)式，然后代入C點(diǎn)坐標(biāo)，求解即可，而C點(diǎn)是直線ykx3與y軸的交點(diǎn)，只需令x0，求出y的值即可求得C點(diǎn)坐標(biāo)(1)直線BC的解析式為ykx3，令x0，得y3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，又拋物線與x軸交于點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，可設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)(x3)，將C(0，3)代入，得3a3，解得a1，拋物線的解析式為yx22x3；(2)連接AC，CF判斷CAF的形狀，并說明理由；例3題圖【思維教練】觀察題圖可知CAF應(yīng)該是以AC、FC為腰的等腰三角形，又COAF，所以只需求得AOFO即可得證，A點(diǎn)坐

14、標(biāo)已知，F(xiàn)點(diǎn)為拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)，只需再根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸即可(2)CAF是等腰三角形，理由如下：拋物線的對稱軸為x1，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，AOOF1，COAF，CO是線段AF的垂直平分線，CACF，CAF是等腰三角形；(3)x軸上是否存在點(diǎn)G，使得ACG是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例3題圖【思維教練】當(dāng)ACG是以AC為底邊的等腰三角形時(shí)，有AGCG，設(shè)出點(diǎn)G坐標(biāo)，然后表示出AG和CG，列關(guān)系式即可求解，若有解，則存在，否則不存在(3)存在如解圖，作AC的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)G，連接CG，則點(diǎn)G即為所求，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(g，0

15、)，在RtCOG中，CO3，OGg，由勾股定理，得CG2CO2OG29g2，又AGg1，AGCG，9g2(g1)2，解得g4，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(4，0)；例3題解圖(4)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得PDQ是等邊三角形若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例3題圖【思維教練】由(1)知拋物線的解析式，對稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作PHDQ于點(diǎn)H，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，H點(diǎn)橫坐標(biāo)已知，縱坐標(biāo)與P點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，由等邊三角形的性質(zhì)可得PHDH，可列出等式，分點(diǎn)P在DQ的左側(cè)和右側(cè)兩種情況，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)(4)存在由(1)得拋物線的解析式為yx22x3，對稱軸為x1，頂點(diǎn)

16、D的坐標(biāo)為(1，4)，點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，t22t3)，如解圖，過P作PHDQ于點(diǎn)H，連接DP，PQ，DPQ是等邊三角形，PHx軸，且DHHQ，PHDH，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1，t22t3)，例3題解圖DH4(t22t3)t22t1，當(dāng)點(diǎn)P在DQ的右側(cè)時(shí)，PHt1，即解得 t2=1(舍)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為當(dāng)點(diǎn)P在DQ的左側(cè)時(shí)，根據(jù)拋物線對稱性可知，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為綜上所述，存在點(diǎn)P使得PDQ是等邊三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5)在x軸上是否存在點(diǎn)G，使得BGE是直角三角形，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例3題圖【思維教練】由EBO90，可知要使BGE是直角三角形，只需分EG

17、B90或GEB90兩種情況討論即可得解(5)存在點(diǎn)G在x軸上，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(g，0)(i)由EFx軸可得，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)F重合時(shí)，BEG是以EGB為直角的直角三角形，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，0)；(ii)當(dāng)GEEB即GEB90時(shí)，由(1)知點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，3)，又點(diǎn)B坐標(biāo)為(3，0)，OBOC，EBG45，EGB45，EGEB，EFBG，GFBF2，此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，其坐標(biāo)為(1，0)，綜上所述，使BGE為直角三角形的G點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)或(1，0)；(6)若點(diǎn)H在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)H，使得BCH是直角三角形，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由例3題圖【思維教練】分HCB90

18、、HBC90、CHB90三種情況討論，利用直角三角形的性質(zhì)求解(6)存在設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1，h)，要使BCH為直角三角形，可分以下三種情況討論：(i)HCB90.如解圖，DCBC，此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，坐標(biāo)為H(1，4)；(ii)H2BC90，如解圖，易得BEH2BH2E45，BEBH2，又BFEH2，F(xiàn)H2EF2，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1，2)；例3題解圖例3題解圖(iii)CH3B90，如解圖，過點(diǎn)C作CMDF于點(diǎn)M，則CH3MBH3E90，BH3EFBH390，CH3MFBH3，又CMH3BFH390，CH3MH3BF，解得此時(shí)這樣的點(diǎn)H有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為綜上所述，存在點(diǎn)H使得BCH是直角三角

19、形，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1，4)，例3題解圖探究特殊三角形存在性問題的方法探究特殊三角形存在性問題的方法首先假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，然后設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)1.代數(shù)法：(1)利用點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出三條線段長的平方；(2)若為等腰三角形且底邊不確定，分別令兩兩相等列方程求解即可；若為直角三角形且直角頂點(diǎn)不確定，分別令三條邊為斜邊，利用勾股定理列方程求解即可2.幾何法：(1)等腰三角形存在性問題：當(dāng)所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：當(dāng)定長為腰，找已知直線上滿足條件的點(diǎn)時(shí)，以定長的某一端點(diǎn)為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與已知直線有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若

20、所畫弧與已知直線無交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長的另一端點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在；當(dāng)定長為底邊時(shí)，作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與已知直線有交點(diǎn)時(shí)，則交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線與已知直線無交點(diǎn)，則滿足條件的點(diǎn)不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn)作圖如圖：分別以點(diǎn)A、B為圓心，以線段AB長為半徑作圓，再作AB的垂直平分線，兩圓和垂直平分線與l的交點(diǎn)即為所有符合條件的P點(diǎn)；計(jì)算：在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，大多時(shí)候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添加輔助線構(gòu)造相似三角形，有時(shí)也可利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解(2)直角三角形存在性問題：觀察圖形，判斷頂點(diǎn)是否確定，若不確定，則需分類

21、討論；結(jié)合題干，在圖中找出所有滿足條件的頂點(diǎn)，作圖如圖：分別過點(diǎn)A、B作AB的垂線，再以線段AB為直徑作圓，兩垂線和圓與l的交點(diǎn)即為所有P點(diǎn)；計(jì)算：作垂線，用勾股定理或相似建立等量關(guān)系求解例例4如圖，拋物線yx26x5經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，頂點(diǎn)為M，連接AC，拋物線的對稱軸為l，l與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)D，與AC交點(diǎn)為點(diǎn)E.類型四 與特殊四邊形有關(guān)的問題例4題圖(1)求直線AC的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；【思維教練】已知A，B點(diǎn)坐標(biāo)，可將拋物線解析式設(shè)為交點(diǎn)式，然后代入C點(diǎn)坐標(biāo)，求解即可，而C點(diǎn)是直線ykx3與y軸的交點(diǎn)，只需令x0，求出y的值即可求得C點(diǎn)坐標(biāo)(1)已知拋物線的解析式為yx26

22、x5，令y0，解得x15，x21，A(5，0)，B(1，0)，令x0，解得y5，C(0，5)，設(shè)直線AC的解析式為ykxb，分別代入A、C的坐標(biāo)，解得k1，b5，直線AC的解析式為yx5，已知拋物線的對稱軸為x3，將x3代入yx5，得y2，E(3，2)；(2)拋物線沿直線AB平移，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)B處，此時(shí)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，試判定四邊形ABCC的形狀，并說明理由；例4題圖【思維教練】根據(jù)平移的性質(zhì)可知，點(diǎn)A平移到點(diǎn)B的規(guī)律與點(diǎn)C平移到點(diǎn)C的規(guī)律一致，即可得到點(diǎn)C坐標(biāo)，再由ABCC，ABCC判定四邊形的形狀(2)四邊形ABCC是平行四邊形理由如下：A(5，0)，B(1，0)，C(0，

23、5)，如解圖，由平移可知：C(4，5)AB4，CC4，ABCC，四邊形ABCC是平行四邊形；例4題解圖(3)設(shè)點(diǎn)G是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作GHx軸交對稱軸l于點(diǎn)H，是否存在點(diǎn)G，使得以A，B，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例4題圖【思維教練】由GHx軸，AB在x軸上可知ABGH，從而只需證明GHAB即可得到平行四邊形ABGH.(3)存在如解圖，點(diǎn)G在拋物線上，則設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(g，g26g5)，GHx軸，點(diǎn)H在對稱軸l：x3上，點(diǎn)H(3，g26g5)GHAB，要使得ABGH為平行四邊形，需GHAB4，即|g3|4，解得g1或g7，當(dāng)g1時(shí)，g2

24、6g512，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G1(1，12)；當(dāng)g7時(shí)，g26g512，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G2(7，12)綜上，滿足條件的G有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為(1，12)或(7，12)；例4題解圖(4)設(shè)點(diǎn)G是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)K是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G，使得以A，C，G，K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例4題圖【思維教練】先分析得出只需ACG是直角三角形即可，然后利用勾股定理列方程求解(4)存在要使A，C，G，K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，則ACG一定是直角三角形如解圖，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3，g)，作G1Hy軸于點(diǎn)H，可知AC2525250，AG2(53)2g24g2，CG

25、232(5g)2g210g34，(i)若ACG90，則AC2CG2AG2，即50g210g344g2，解得g8，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G1(3，8)；例4題解圖(ii)若CAG90，則AC2AG2CG2，即504g2g210g34，解得g2，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G4(3，2)；(iii)若CGA90，則CG2AG2AC2，則g210g344g250，解得g16，g21，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G2(3，6)或G3(3，1)；綜上，滿足條件的點(diǎn)G有四個(gè)，分別為(3，8)或(3，6)或(3，1)或(3，2)(5)設(shè)點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)R是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在四邊形AQCR是菱形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，

26、請說明理由例4題圖【思維教練】由四邊形AQCR是菱形可確定AC是對角線，結(jié)合OCOA，過點(diǎn)O作OIAC，且OI平分AC，從而可得點(diǎn)Q在OI上，只需求出OI所在直線的解析式，與拋物線聯(lián)立解方程組可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)進(jìn)而可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)(5)存在如解圖，過O作OIAC于點(diǎn)I.OAOC5，AICI，OI是AC的垂直平分線，由四邊形AQCR是菱形可知，點(diǎn)Q、R在AC的垂直平分線上，點(diǎn)Q是直線OI與拋物線的交點(diǎn)過點(diǎn)I作II1x軸于點(diǎn)I1，則II1是AOC的中位線，點(diǎn)I的坐標(biāo)為例4題解圖設(shè)直線OI的表達(dá)式為ytx，將點(diǎn)I的坐標(biāo)代入，可得t1，直線OI的表達(dá)式為yx，與拋物線的表達(dá)式聯(lián)立得解得綜上，Q點(diǎn)有兩個(gè)，坐

27、標(biāo)分別為平行四邊形存在性問題的解題方法：平行四邊形存在性問題的解題方法：已知已知問題問題找點(diǎn)找點(diǎn)求點(diǎn)坐標(biāo)求點(diǎn)坐標(biāo)已知三個(gè)點(diǎn)已知平面上不共線三個(gè)點(diǎn)A、B、C，求一點(diǎn)P，使得A、B、C、P四個(gè)點(diǎn)組成平行四邊形連接AB、AC、BC，分別過點(diǎn)A、B、C作對邊的平行線，三條平行線的交點(diǎn)即為所有點(diǎn)P分別求出直線P1P2，P2P3，P3P1的解析式，再求出交點(diǎn)即為P點(diǎn)；可由點(diǎn)的平移來求坐標(biāo)已知兩個(gè)點(diǎn)已知平面上兩個(gè)點(diǎn)A、B，求兩點(diǎn)P、Q，使得A、B、P、Q四個(gè)點(diǎn)組成平行四邊形(題目中P、Q的位置有具體限制)分兩種情況討論：若AB為平行四邊形的邊，將AB上下左右平移，確定P、Q的位置；若AB為平行四邊形的對角線，取AB中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)經(jīng)過中點(diǎn)的直線確定P、Q的位置通過點(diǎn)的平移，構(gòu)造全等三角形來求坐標(biāo)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得坐標(biāo)系中APBQ的四個(gè)點(diǎn)A、P、B、Q的坐標(biāo)滿足xAxBxPxQ，yAyBypyQ