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1、4.2.1直線和圓的位置關(guān)系,番禺農(nóng)校數(shù)學(xué)組 羅永定,一、直線方程的一般形式,二、圓的方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 圓心為A（a,b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x-a)2+(y-b)2=r2（2）圓的一般方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0其中圓心為,半徑為,Ax+By+C=0(A,B不同時為零),（D2+E2-4F0),問題：一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區(qū)域。已知港口位于臺風(fēng)中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響。,問題歸結(jié)為臺風(fēng)影響的區(qū)域與輪船航線有無公共點：即,臺

2、風(fēng)中心 O,直線與圓的位置關(guān)系,四、直線與圓的位置關(guān)系,直線與圓有三種位置關(guān)系：（1）直線與圓相交，有兩個公共點。（2）直線與圓相切，只有一個公共點。（3）直線與圓相離，沒有公共點。,直線與圓的公共點的個數(shù),圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系,兩個交點,一個交點,沒有交點,d r,d = r,d r,A,O,O,A,B,O,d,r,d,r,d,r,題1：已知直線l：3x+4y-5=0與圓C： ,你能判斷它們的位置關(guān)系嗎?,分析：通過直線與圓的方程求出圓心到直線的距離，以及半徑； 然后利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系,解：圓C: x2+y2=4的圓心坐標(biāo)為C（0，0），半徑

3、為2，,圓心C（0，0）到直線l的距離,所以直線l與圓O相交,題2：當(dāng)上題中圓的方程為x2+y2=1，直線與圓的位置關(guān)系是什么？,題3：當(dāng)上題中圓的方程為 ,直線與圓的位置關(guān)系是什么？,鞏固練習(xí)：,1.直線x+2y+1=0和圓(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是_,2.直線x+2y-1=0和圓x2-2x+y2-y+1=0的位置關(guān)系是_,3、直線x+y-2=0與圓x2+y2-2=0的位置關(guān)系是,【例1】判斷直線l：3x+y-6=0與圓C：x2+y2-2y-4=0的位置關(guān)系。,分析：由直線和圓的方程組成的方程組實數(shù)解的個數(shù)來判斷。解：由直線l與圓C的方程，得方程組：消去y，得,因為,所以，直

4、線l與圓C相交,用直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法,一、判斷圓心到直線的距離d與半徑r關(guān)系。主要步驟：1.把直線方程化為一般式,求出圓心和半徑2.利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離3.作判斷：當(dāng)dr時，直線與圓相離；當(dāng)d=r時，直線與圓相切;當(dāng)dr時，直線與圓相交,二、判斷方程組解的個數(shù)。主要步驟：1.將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組.2.利用消元法，得到關(guān)于另一個元的一元二次方程,3.求出其判別式的值4.比較與0的大小關(guān)系,當(dāng)0時,直線與圓相交。,變式例1：判斷直線l：3x+y-6=0與圓C：x2+y2-2y-4=0的位置關(guān)系，如果相交，求它們交點的坐標(biāo)以及直線被圓截得的

5、弦長。,分析：由例1中可知直線與圓相交，要求出它們的兩交點的坐標(biāo)，只需要求出方程組的解即可。再由兩點間距離公式求出弦長。解：由直線l與圓C的方程，得方程組：,解方程組得,，所以直線與圓相交；,它們的交點坐標(biāo)分別是A（2，0），B（1，3）,由兩點間的距離公式得弦長,例2：求過點P（-2，-3），且與圓（x+3）2+（y-2）2=26相切的切線方程。,解：由題意可設(shè)切線方程為 y+3=k(x+2) 即 kx-y+2k-3=0 由圓心（-3，2）到切線的距離等于半徑,所以過點P（-2，-3）的切線方程為,即 x+5y+17=0,【例3】求過點P（-1，3），且與圓（x-2）2+（y+1）2=9相切

6、的直線的方程。,解：由題意可設(shè)所求直線l方程為 y-3=k(x+1) 即 kx-y+k+3=0 因為圓（x-2）2+（y+1）2=9圓心坐標(biāo)為（2，-1），半徑為3 又因為直線l與圓相切，所以圓心到直線l的距離,解得,所以，所求直線方程為,即 7x+24y-65=0,又因為過點（-1，3）斜率不存在的直線方程為x=-1,圓心到其距離為3，與半徑相等；所以，直線x=-1與圓（x-2）2+（y+1）2=9相切。,所以所求的切線方程為x=-1或7x+24y-65=0,變式練習(xí)求過點P（-2，-3），且與圓（x+3）2+（y-2）2=26相切的切線方程。,變式練習(xí)求過點P（-2，-3），且與圓（x+3

7、）2+（y-2）2=26相切的切線方程。,解：由題意可設(shè)切線方程為 y+3=k(x+2) 即 kx-y+2k-3=0 由圓心（-3，2）到切線的距離等于半徑,由點到直線的距離公式得：,解得,所以過點P（-2，-3）的切線方程為,即 x+5y+17=0,【思考題】已知直線l:mx-y-m+1=0被圓C:x2+（y-1）2 = 5所截得的弦長為 ，求直線l的斜率。,解：如圖，因為圓C的半徑為 ，直線l被圓C所截得的弦長是 所以，圓心到直線l的距離為d,由點到直線的距離公式得，圓心到直線l的距離為,解得,所以直線l的斜率為,c,A,B,D,r,參照本題自學(xué)課本138頁例2,小結(jié),如何用直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；靈活運用直線與圓的位置關(guān)系解題。,作業(yè),課本140頁 ： 練習(xí)2、3、4選做題：課本144頁 習(xí)題4.2 A組第6題,課后研討,1.求過圓x2+y2 = R2上定點P0(x0,y0)的圓的切線方程；把你的結(jié)論推廣到一般圓的情況。2.求過圓x2+y2 =R2外定點P0(x0,y0)的圓的切線方程和切線長；把你的結(jié)論推廣到一般圓的情況。,謝謝各位蒞臨指導(dǎo)！,