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1、相遇和追及問題【要點梳理】要點一、機動車的行駛安全問題：1、 反應(yīng)時間：人從發(fā)現(xiàn)情況到采取相應(yīng)措施經(jīng)過的時間為反應(yīng)時間。2、 反應(yīng)距離：在反應(yīng)時間內(nèi)機動車仍然以原來的速度v勻速行駛的距離。3、 剎車距離：從剎車開始，到機動車完全停下來，做勻減速運動所通過的距離。4、 停車距離與安全距離：反應(yīng)距離和剎車距離之和為停車距離。停車距離的長短由反應(yīng)距離和剎車距離共同決定。安全距離大于一定情況下的停車距離。要點二、追及與相遇問題的概述1、 追及問題的兩類情況(1)速度小者追速度大者(2)速度大者追速度小者說明:表中的x是開始追及以后,后面物體因速度大而比前面物體多運動的位移；x0是開始追及以前兩物體之間

2、的距離；t2-t0=t0-t1；v1是前面物體的速度,v2是后面物體的速度. 特點歸類：(1)若后者能追上前者，則追上時，兩者處于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度(2)若后者追不上前者，則當后者的速度與前者相等時，兩者相距最近2、 相遇問題的常見情況(1) 同向運動的兩物體的相遇問題,即追及問題.(2) 相向運動的物體,當各自移動的位移大小之和等于開始時兩物體的距離時相遇.解此類問題首先應(yīng)注意先畫示意圖,標明數(shù)值及物理量;然后注意當被追趕的物體做勻減速運動時,還要注意該物體是否停止運動了.【典型例題】類型一、機動車的行駛安全問題例1、為了安全，在高速公路上行駛的汽車之間應(yīng)保持必要的距離

3、。已知某高速公路的最高限速為v=120km/h。假設(shè)前方車輛突然停止運動，后面汽車的司機從眼睛發(fā)現(xiàn)這一情況，經(jīng)過大腦反應(yīng)，指揮手、腳操縱汽車剎車，到汽車真正開始減速，所經(jīng)歷的時間需要0.50s（即反應(yīng)時間），剎車時汽車所受阻力是車重的0.40倍，為了避免發(fā)生追尾事故，在該高速公路上行駛的汽車之間至少應(yīng)保留多大的距離？ 【答案】156m【解析】勻減速過程的加速度大小為。勻速階段的位移,減速階段的位移，所以兩車至少相距?！军c評】剎車問題實際上是勻變速直線運動的有關(guān)規(guī)律在減速情況下的具體應(yīng)用，要解決此類問題，首先要搞清楚在反應(yīng)時間里汽車仍然做勻速直線；其次也要清楚汽車做減速運動，加速度為負值；最后要

4、注意單位統(tǒng)一。舉一反三【變式】酒后駕車嚴重威脅交通安全其主要原因是飲酒會使人的反應(yīng)時間(從發(fā)現(xiàn)情況到實施操作制動的時間)變長，造成制動距離(從發(fā)現(xiàn)情況到汽車停止的距離)變長，假定汽車以108 km/h的速度勻速行駛，剎車時汽車的加速度大小為8 m/s2，正常人的反應(yīng)時間為0.5 s，飲酒人的反應(yīng)時間為1.5 s，試問：(1)駕駛員飲酒后的反制距離比正常時多幾米？(2)飲酒的駕駛員從發(fā)現(xiàn)情況到汽車停止需多少時間？【答案】(1)30 m(2)5.25 s【解析】(1)汽車勻速行駛v108 km/h30 m/s正常情況下剎車與飲酒后剎車，從剎車到車停止這段時間的運動是一樣的，設(shè)飲酒后的剎車距離比正常

5、時多s，反應(yīng)時間分別為則代入數(shù)據(jù)得(2)飲酒的駕駛員從實施操作制動到汽車停止所用時間解得所以飲酒的駕駛員從發(fā)現(xiàn)情況到汽車停止所需時間解得類型二、追及問題一：速度小者追趕同向速度大者例2、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮?xí)r汽車以3m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試求：（1）汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？ 【答案】2s 6m【解析】：方法一：臨界狀態(tài)法汽車在追擊自行車的過程中，由于汽車的速度小于自行車的速度，汽車與自行車之間的距離越來越大；當汽車的速度大于自行車的速度以后，汽車與自行車之間的

6、距離便開始縮小。很顯然，當汽車的速度與自行車的速度相等時，兩車之間的距離最大。設(shè)經(jīng)時間t兩車之間的距離最大。則 方法二：圖象法在同一個v-t圖象中畫出自行車和汽車的速度-時間圖線，如圖所示。其中表示自行車的速度圖線，表示汽車的速度圖線，自行車的位移等于圖線與時間軸圍成的矩形的面積，而汽車的位移 則等于圖線與時間軸圍成的三角形的面積。兩車之間的距離則等于圖中矩形的面積與三角形面積的差，不難看出，當t=t0時矩形與三角形的面積之差最大。 此時 ，方法三：二次函數(shù)極值法設(shè)經(jīng)過時間t汽車和自行車之間的距離，則 當時兩車之間的距離有最大值，且【點評】(1)在解決追及相遇類問題時，要緊抓“一圖三式”，即：

7、過程示意圖，時間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式，另外還要注意最后對解的討論分析(2)分析追及、相遇類問題時，要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往對應(yīng)一個臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨界條件(3)解題思路和方法舉一反三【變式1】小轎車在十字路口等綠燈亮后，以1m/s2的加速度啟動，恰在此時，一輛大卡車以7m/s的速度從旁超過，做同向勻速運動，問（1）小轎車追上大卡車時已通過多少路程？（2）兩車間的距離最大時為多少？【答案】98m 24.5m【變式2】甲、乙兩車同時從同一地點出發(fā)，向同一方向運動，其中甲以10 m/s的速度勻速行駛，乙以2

8、m/s2的加速度由靜止啟動，求：(1)經(jīng)多長時間乙車追上甲車？此時甲、乙兩車速度有何關(guān)系？(2)追上前經(jīng)多長時間兩者相距最遠？此時二者的速度有何關(guān)系？【答案】(1)10 s2倍(2)5 s相等【解析】(1)乙車追上甲車時，二者位移相同，設(shè)甲車位移為x1，乙車位移為x2，則x1x2，即，解得，因此.(2)設(shè)追上前二者之間的距離為，則 由數(shù)學(xué)知識知：當時，兩者相距最遠，此時.類型三、追及問題二：速度大者減速追趕同向速度小者例3、火車以速度勻速行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方同軌道上相距S處有另一列火車沿同方向以速度（對地、且）做勻速運動，司機立即以加速度緊急剎車，要使兩車不相撞，應(yīng)滿足什么條件？【答案】【解析】

9、方法一：設(shè)兩車恰好相撞(或不相撞)，所用時間為t，此時兩車速度相等 解之可得：即，當時，兩車不會相撞。方法二：要使兩車不相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為：對任一時間t，不等式都成立的條件為由此得【點評】分析解決兩物體的追及、相遇類問題，應(yīng)首先在理解題意的基礎(chǔ)上，認清兩物體在位移、速度、時間等方面的關(guān)聯(lián)，必要時須畫出運動關(guān)聯(lián)的示意圖。這類問題的特殊之處是常與極值條件或臨界條件相聯(lián)系。分析解決這類問題的方法有多種，無論哪一種方法，分析臨界條件、解決相關(guān)的臨界條件方程或用數(shù)學(xué)方法找出相關(guān)的臨界值，是解決這類問題的關(guān)鍵和突破口。舉一反三【變式1】汽車正以10m/s的速度在平直公路上前進，突然發(fā)現(xiàn)正前方s 處有一輛

10、自行車以4m/s的速度做同方向的勻速直線運動，汽車立即關(guān)閉油門做勻減速運動，加速度大小為6m/s2，若汽車恰好不碰上自行車，則s大小為多少？【答案】3m【變式2】甲乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運動,t=0時刻同時經(jīng)過公路旁的同一個路標.在描述兩車運動的v-t圖中(如圖),直線ab分別描述了甲乙兩車在020 s的運動情況.關(guān)于兩車之間的位置關(guān)系,下列說法正確的是( )A.在010 s內(nèi)兩車逐漸靠近 B.在1020 s內(nèi)兩車逐漸遠離C.在515 s內(nèi)兩車的位移相等 D.在t=10 s時兩車在公路上相遇【答案】C【解析】由題圖知乙做勻減速運動,初速度v乙=10 m/s,加速度大小a乙=0

11、.5 m/s2;甲做勻速直線運動,速度v甲=5 m/s.當t=10 s時v甲=v乙,甲乙兩車距離最大,所以010 s內(nèi)兩車越來越遠,1015 s內(nèi)兩車距離越來越小,t=20 s時,兩車距離為零,再次相遇.故ABD錯誤.因515 s時間內(nèi)v甲=乙,所以兩車位移相等,故C正確.類型四、相遇問題例4、在某市區(qū)內(nèi)，一輛小汽車在公路上以速度向東行駛，一位觀光游客正由南向北從斑馬線上橫過馬路。汽車司機發(fā)現(xiàn)游客途經(jīng)D處時，經(jīng)過0.7s作出反應(yīng)緊急剎車，但仍將正步行至B處的游客撞傷，該汽車最終在C處停下，如圖所示。為了判斷汽車司機是否超速行駛以及游客橫穿馬路的速度是否過快，警方派一車胎磨損情況與肇事汽車相當?shù)?/p>

12、警車以法定最高速度行駛在同一馬路的同一地段，在肇事汽車的起始制動點A緊急剎車，經(jīng)14.0后停下來。在事故現(xiàn)場測得17.5，14.0，2.6肇事汽車的剎車性能良好，問：（1）該肇事汽車的初速度是多大? （2）游客橫過馬路的速度是多大?【答案】21m/s 1.53 m/s【解析】（1）警車和肇事汽車剎車后均做勻減速運動，其加速度大小，與車子的質(zhì)量無關(guān)，可將警車和肇事汽車做勻減速運動的加速度a的大小視作相等。對警車，有；對肇事汽車，有，則 ，即，故 21/。（2）對肇事汽車，由得，故肇事汽車至出事點B的速度為14.0/。肇事汽車從剎車點到出事點的時間 1，又司機的反應(yīng)時間t00.7，故游客橫過馬路的

13、速度m/s1.53/。【點評】研究物體的運動，首先要分析清楚物體的運動過程。特別是當物體有多個運動階段時，必須明確問題所研究的是運動的哪一個階段。當問題涉及多個物體的運動時，應(yīng)先分別獨立研究各個物體的運動，然后找出它們之間的聯(lián)系。舉一反三【變式1】羚羊從靜止開始奔跑，經(jīng)過50m的距離能加速到最大速度25m/s，并能維持一段較長的時間。獵豹從靜止開始奔跑，經(jīng)過60m的距離能加速到最大速度30m/s，以后只能維持這速度4.0s。設(shè)獵豹距離羚羊x時開始攻擊，羚羊則在獵豹開始攻擊后1.0s才開始奔跑，假定羚羊和獵豹在加速階段做勻加速運動，且均沿同一直線奔跑，求：（1）獵豹要在從最大速度減速前追到羚羊，

14、x值應(yīng)在什么范圍？（2）獵豹要在其加速階段追到羚羊，x值應(yīng)在什么范圍？【答案】(1） 31.875m x 55m （2）x 31.875m 【變式2】一輛值勤的警車停在公路邊，當警員發(fā)現(xiàn)從他旁邊以10 m/s的速度勻速行駛的貨車嚴重超載時，決定前去追趕，經(jīng)過5.5 s后警車發(fā)動起來，并以2.5 m/s2的加速度做勻加速運動，但警車的行駛速度必須控制在90 km/h以內(nèi)問：(1)警車在追趕貨車的過程中，兩車間的最大距離是多少？(2)警車發(fā)動后要多長時間才能追上貨車？【答案】(1)75 m(2)12 s【變式3】甲乙兩車在一平直道路上同向運動,其v-t圖象如圖所示,圖中OPQ和OQT的面積分別為s

15、1和s2(s2s1).初始時,甲車在乙車前方s0處( )A.若s0=s1+s2,兩車不會相遇 B.若s0s1,兩車相遇2次C.若s0=s1,兩車相遇1次 D.若s0=s2,兩車相遇1次【答案】ABC【解析】在T時刻,甲乙兩車速度相等,甲車的位移s2,乙車的位移s1+s2,當甲車在前方s0=s1+s2時,T時刻乙車在甲車的后方s2處,此后乙車速度就比甲車小,不能與甲車相遇,A正確;如果s0=s1,說明T時刻乙車剛好趕上甲車,但由于速率將小于甲車,與甲車不會相遇第二次,C正確;如果s0s1,說明T時刻,乙車已經(jīng)超過了甲車,但由于速度將小于甲,與甲車會相遇第二次,B正確;如果s0=s2,T時刻乙車在

16、甲的后方s2-s1處,此后乙車速度就比甲車小,不能與甲車相遇,D不正確.【鞏固練習(xí)】解答題：1、在十字路口，汽車以的加速度從停車線啟動做勻加速運動，恰好有一輛自行車以的速度勻速駛過停車線與汽車同方向行駛，求：什么時候它們相距最遠？最遠距離是多少？在什么地方汽車追上自行車？追到時汽車的速度是多大？2、甲、乙兩個同學(xué)在直跑道上練習(xí)4100m接力，他們在奔跑時有相同的最大速度。乙從靜止開始全力奔跑需跑出25m才能達到最大速度，這一過程可看作勻變速運動。現(xiàn)甲持棒以最大速度向乙奔來，乙在接力區(qū)伺機全力奔出。若要求乙接棒時奔跑達到最大速度的80%，則：（1）乙在接力區(qū)須奔出多大距離？（2）乙應(yīng)在距離甲多遠

17、時起跑？3、甲、乙兩車相距為s，同時同向運動，乙在前面做加速度為a1、初速度為零的勻加速運動，甲在后面做加速度為a2、初速度為v0的勻加速運動，試討論兩車在運動過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系。4、在水平直軌道上有兩列火車A和B相距s。A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動；而B車同時做初速度為0、加速度大小為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件。5、甲、乙兩車在同一條平直公路上行駛，甲車以v1=10m/s的速度做勻速運動，經(jīng)過車站A時關(guān)閉油門以a1=4m/s2的加速度勻減速前進。2s后乙車與甲車同方向以a2=1m/s2的加速度從

18、同一車站A出發(fā)，由靜止開始做勻加速直線運動。問乙車出發(fā)后經(jīng)多長時間追上甲車？6、高速公路給人們出行帶來了方便，但是因為在高速公路上行駛的車輛的速度大，霧天往往出現(xiàn)十幾輛車追尾連續(xù)相撞的車禍。已知轎車在高速公路正常行駛速率為120km/h。轎車剎車產(chǎn)生的最大加速度為8m/s2，如果某天有霧，能見度（觀察者與能看見的最遠目標間的距離）約為37m，設(shè)司機的反應(yīng)時間為0.6s，為安全行駛，轎車行駛的最大速度是多少？7、小球1從高H處自由落下，同時小球2從其下方以速度v0豎直上拋，兩球可在空中相遇，試就下列兩種情況討論v0的取值范圍。（1）在小球2上升過程兩球在空中相遇；（2）在小球2下降過程兩球在空中

19、相遇。8、 如圖所示，AB、CO為互相垂直的丁字形公路，CB為一斜直小路，CB與CO成60角，CO間距300。一逃犯騎著摩托車以45km/h的速度正沿AB公路逃竄。當逃犯途徑路口O處時，守候在C處的公安干警立即以1.2m/s2的加速度啟動警車，警車所能達到的最大速度為120km/h。若公安干警沿COB路徑追捕逃犯，則經(jīng)過多長時間在何處能將逃犯截獲?若公安干警抄CB近路到達B處時，逃犯又以原速率掉頭向相反方向逃竄，公安干警則繼續(xù)沿BA方向追趕，則總共經(jīng)多長時間在何處能將逃犯截獲?（不考慮摩托車和警車轉(zhuǎn)向的時間）【答案與解析】解答題：1、10s 25m 100m 10m/s解析：兩車速度相等時相距

20、最遠，設(shè)所用時間為t ，最遠距離設(shè)汽車追上自行車所用時間為t，此時， 此時距停車線距離， ，此時汽車速度，2、16m 24m解析: （1）設(shè)兩人奔跑的最大速度為v0，則在乙從靜止開始全力奔跑達到最大速度的過程，以及乙接棒時奔跑達到最大速度的80%的過程，分別應(yīng)用勻變速直線運動速度位移關(guān)系式，有 ，由以上兩式可解得乙在接力區(qū)須奔出的距離，。 （2）設(shè)乙在距甲為x0處開始起跑，到乙接棒時跑過的距離為，所經(jīng)歷的時間為t，則甲、乙兩人在時間t內(nèi)通過的位移有如下關(guān)系：，又由平均速度求位移的公式可知乙的位移，從而由以上兩式可解得 3、答案見解析。解析 : 這里提供兩種解法。解法一（物理方法）：由于兩車同時

21、同向運動，故有（1）當2時，可得兩車在運動過程中始終有。由于原來甲車在后，乙車在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時間后甲車必然追上乙車。由于甲車追上乙車時，所以甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次。（2）當時，因此甲、乙兩車也只能相遇一次。 （3）當時，的大小關(guān)系會隨著運動時間的增大而發(fā)生變化。剛開始a1t和a2t相差不大且甲有初速度v0，所以。隨著時間的推移，a1t和a2t相差越來越大，當時，接下來，則有。若在之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于，甲車就沒有機會超過乙車，即兩車不相遇；若在時，兩車剛好相遇，隨后由于，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在之前，甲

22、車已超過乙車，即已相遇一次，隨后由于，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時，再相遇一次，則兩車能相遇兩次。解法二(數(shù)學(xué)方法）： 設(shè)經(jīng)過時間t兩車能夠相遇，由于， ，相遇時有，則，所以。（1）當時，t只有一個解，則相遇一次。（2）當時，所以。t只有一個解，則相遇一次。（3）當時，若，t無解，即不相遇； 若，t只有一個解，即相遇一次； 若，t有兩個正解，即相遇兩次。4、解析： 要使兩車不相撞，A車追上B車時其速度最多只能與B車速度相等。設(shè)A、B兩從相距s到A車追上B車時，A車的位移為xA，末速度為vA，所用時間為t；B車的位移為xB，末速度為vB，運動過程如圖所示。 現(xiàn)用四種方法求解。解法一（利用

23、位移公式和速度公式求解）：對A車有 ，。對B車有 ，。兩車有，追上時，兩車剛好不相撞的條件是 ，由以上各式聯(lián)立解得 。故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是，解法二（利用速度公式和速度位移關(guān)系式求解）：兩車剛好不相撞的臨界條件是：即將追上時兩車速度相等。設(shè)此速度為v，A車追上B車前，A車運動的時間為 ，B車運動的時間為 ,因為，所以，即。A車的位移 ， B車的位移 ，因為，所以。即兩式聯(lián)立解得。故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是，。解法三（利用判別式解）：由解法一可知，即，整理得。這是一個關(guān)于時間t的一元二次方程，當根的判別式0時，t無實數(shù)解，即兩車不相撞。故要使兩車不

24、相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是，。解法四（用速度圖象解）：如圖所示，先作A、B兩車的速度圖象。設(shè)經(jīng)過時間t兩車剛好不相撞，則對A車有，對B車有，由以上兩式聯(lián)立解得。經(jīng)時間t兩車的位移之差，即為原來兩車間的距離s，它可用速度圖象中陰影部分的面積表示，由速度圖象可知。故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是。5、5s解析 : 這里提供兩種解法。解法一（公式法）：甲、乙兩車自同一地點于不同時刻開始運動，乙車出發(fā)時甲車具有的速度為m/sm/s=2 m/s，此時離甲車停止運動的時間s=0.5s。根據(jù)題設(shè)條件，乙車在0.5s內(nèi)追不上甲車，也就是說乙車追上甲車時，甲車已經(jīng)停止了運動。甲車停止時

25、離車站A的距離m=12.5m，Ov/(ms)-1t/s12345678246810a1a2甲乙t設(shè)乙走完這段路程所需的時間為t，由得s=5s。故乙車出發(fā)后經(jīng)過5s追上甲車。解法二（圖象法）：甲、 乙兩車運動的速度圖象如圖所示。乙車追上甲車的條件是它們離開車站A的距離相等，即圖線和時間軸所圍的面積相等，加速度可用直線的斜率表示。由圖象可得 ，t=5s。故乙車出發(fā)后經(jīng)過5s追上甲車。6、解析：由題設(shè)知，轎車在司機發(fā)現(xiàn)目標到開始剎車的反應(yīng)時間里做勻速直線運動，剎車后開始減速運動直至停下來。設(shè)轎車的最大速度為v 在反應(yīng)時間內(nèi)轎車行駛距離 ，剎車后至停下來轎車行駛距離 要保證轎車行駛安全必要求：即 ，代

26、入數(shù)值可解得：7、 解析：兩球相遇，則小球1下落的高度h1與小球2上升的高度h2的算術(shù)和等于H，即： （1）小球2上升過程所用時間為：，在小球2上升過程中兩球相遇，應(yīng)有：tt上即：、得：(2)小球2從拋出到落回原地所用時間為:，在小球2下降過程中兩球相遇，應(yīng)有：t上tT， 即: 8、624m 444.6m解析：（1）摩托車的速度，警車的最大速度 。 警車達最大速度的時間，行駛的距離。 在t1時間內(nèi)摩托車行駛的距離，。因為，故警車在t1時間內(nèi)尚未追上摩托車，相隔距離。 設(shè)需再經(jīng)時間t2，警車才能追上摩托車，則。 從而，截獲逃犯總共所需時間, 截獲處在OB方向距O處距離為。（2）由幾何關(guān)系可知，600，因，故警車抄CB近路達最大速度時尚未到達點。設(shè)再經(jīng)過時間到達點，則4.11。 在（）時間內(nèi)摩托車行駛的距離478.35，此時摩托車距B點 41.27。 此后逃犯掉頭向相反方向逃竄.設(shè)需再經(jīng)時間警車才能追上逃犯，則2.25。 從而，截獲逃犯總共所需時間 34.1。截獲處在OB間距O處 444.6。第10頁 共10頁