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1、第2頁共14頁第二章有理數(shù)一、正數(shù)和負(fù)數(shù)L正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念負(fù)數(shù)：比0小的數(shù) 正數(shù)：比0大的數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)注意：字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng) a表示正數(shù)時，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時，-a是正數(shù)；當(dāng)a 表示0時，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說法是錯 誤的，例如+a,-a就不能做出簡單判斷）正數(shù)有時也可以在前面加“ +”，有時“ +”省略不寫。所以省略“ +”的正數(shù)的符號是正號。2.具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：零上8c表示為：+8C；零下8c表示為：-8 C3.0表示的意義 0表示“沒有”，

2、如教室里有 0個人，就是說教室里沒有人;0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：二、有理數(shù)1.有理數(shù)的概念正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)正整數(shù)，0,負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。兀是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8 也是偶數(shù)，-1,-3,-5也是奇2.有理數(shù)的分類按有理數(shù)的意義分類L正整數(shù)整數(shù)0負(fù)整數(shù)0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則

3、a0;a0表示a是負(fù)數(shù)；反之，a是負(fù)數(shù)，則a0 時，-a0 （正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）當(dāng) a0 （負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）當(dāng) a=0 時， -a=0 ，（0 的相反數(shù)是0）6. 多重符號的化簡多重符號的化簡規(guī)律 : “ +”號的個數(shù)不影響化簡的結(jié)果，可以直接省略；“- ”號的個數(shù)決定最后化簡結(jié)果；即：“ - ”的個數(shù)是奇數(shù)時，結(jié)果為負(fù)，“ - ”的個數(shù)是偶數(shù)時，結(jié)果為正。五、絕對值1 .絕對值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a 的絕對值，記作|a| 。2. 絕對值的代數(shù)定義一個正數(shù)的絕對值是它本身； 一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)； 0 的絕對值是0.可用字母表示為：如果a0,那么

4、|a|=a ; 如果a0, |a|=a（非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。）awo, |a|=-a（非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)；絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）3. 絕對值的性質(zhì)任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，也就是說絕對值具有非負(fù)性。所以， a 取任何有理數(shù)，都有|a| 0o即0的絕對值是0;絕對值是0的數(shù)是0.即：a=0 |a|=0 ;一個數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，絕對值最小的數(shù)是 0.即：|a| 0;任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即：|a| a;絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。即：若 |x|=a （a0）,則x=a；互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即： |-a|二

5、|a|或若a+b=0,則|a|二|b| ;絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即： |a|二|b| ,則a=b或a=-b;若幾個數(shù)的絕對值的和等于0 ，則這幾個數(shù)就同時為0。即 |a|+|b|=0 ，則 a=0 且 b=0 。（非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則有且只有這幾個非負(fù)數(shù)同時為0）4. 有理數(shù)大小的比較利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大小：數(shù)軸上的兩個數(shù)相比較，左邊的總比右邊的小；利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大小：兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而??；異號兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。5. 絕對值的化簡當(dāng) a 0 時，|a|=a; 當(dāng) aw。時，|a|=-a6. 已知一個數(shù)的絕對值，求這個數(shù)一個數(shù)

6、 a 的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù) a 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，一般地，絕對值為同一個正數(shù)的有理數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，絕對值為 0 的數(shù)是 0 ，沒有絕對值為負(fù)數(shù)的數(shù)。六、有理數(shù)的加減法1. 有理數(shù)的加法法則同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值； 互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零;第 4 頁共 14 頁一個數(shù)與零相加，仍得這個數(shù)。2. 有理數(shù)加法的運(yùn)算律加法交換律： a+b=b+a 加法結(jié)合律： (a+b)+c=a+(b+c)在運(yùn)用運(yùn)算律時，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到化簡的目的，通常有下列規(guī)律：互為相反數(shù)的

7、兩個數(shù)先相加一一“相反數(shù)結(jié)合法”；符號相同的兩個數(shù)先相加一一“同號結(jié)合法”；分母相同的數(shù)先相加一一“同分母結(jié)合法”；幾個數(shù)相加得到整數(shù)，先相加一一“湊整法”；整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加一一“同形結(jié)合法”。3. 加法性質(zhì)一個數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)??；加0 后的和等于原數(shù)。即：當(dāng) b0 時， a+ba當(dāng) b0 時， a+ba當(dāng) b=0 時， a+b=a4. 有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為： a-b=a+(-b) 。5. 有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)行計算。在和式

8、里，通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：按這個式子表示的意義讀作“負(fù) 8、負(fù)7、負(fù)6、正5的和”按運(yùn)算意義讀作“負(fù) 8減7減6加5”6. 有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用結(jié)合律時的一些技巧：I .把符號相同的加數(shù)相結(jié)合(同號結(jié)合法) (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)(將減法轉(zhuǎn)換成加法)(省略加號和括號)(把符號相同的加數(shù)相結(jié)合)(運(yùn)用加法法則一進(jìn)行運(yùn)算)(運(yùn)用加法法則二進(jìn)行運(yùn)算)原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)=-33+18-15-1+23=(-

9、33-15-1)+(18+23)=-49+41n .把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合(湊整法)(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)=6.6-5.2+3.826-4.8=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8=4-10+3.8=7.8-10=-2.2（將減法轉(zhuǎn)換成加法）（省略加號和括號）（把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合）（運(yùn)用加法法則進(jìn)行運(yùn)算）（把符號相同的加數(shù)相結(jié)合，并進(jìn)行運(yùn)算）（得出結(jié)論）m.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合（同分母結(jié)合法）-3-1+3-2+1-75 2 4 5 2 8原式=(-

10、3-2)+(-1+1)+(+3-7)=-1+0-1=-115 52 24 888W .既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算要統(tǒng)一后再結(jié)合（先統(tǒng)一后結(jié)合）(+0.125)-(-33 )+(-3 1)-(-10 -)-(+1.25)483原式=(+1 )+(+3 3 )+(-3 1 )+(+10 2 )+(-1 1) 84834=(3 3-11)+(1-3 1)+10 -=2448831+39-31+102-11848341211-3+10=-3+13=102366V .把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合（先拆分后結(jié)合）-3 +1012 +4 5112215原式=(-3+10-12+4)+(-1 + )+( - ) =-1+11 =-1+ +15 -5 1511 2215 2230 30 30VI .分組結(jié)合2-3-4+5+6-7-8+9 -+66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+-+(66-67-68+69) =0W .先拆項(xiàng)后結(jié)合(1+3+5+7 - +99) - (2+4+6+8 - +