《2013屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)案：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用解讀.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)案：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用解讀.docx（21頁珍藏版）》請?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、4第八節(jié)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.E1.基礎(chǔ)知識要打牢HKIHl Z H 1 S H I Y A搬雙星I 固本-I 得基礎(chǔ)分I 掌矍程度知識能否憶起1.實(shí)際問題中的有關(guān)概念(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角 (如圖1).(2)方位角:從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為a(如圖2).(3)方向角:相對于某一正方向的水平角(如圖3)北偏東a。即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a。到達(dá)目標(biāo)方向.北偏西a。即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a。到達(dá)目標(biāo)方向.南偏西等其他方向角類似.(4)坡度：定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4,角。為

2、坡角).坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4, i為坡比).2.解三角形應(yīng)用題的一般步鰥(1)審題，理解問題的實(shí)際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系:(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形模型；(3)選擇正弦定理或余弦定理求解：(4)將三角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的單位、近似計(jì)算要求.小題能否全取1.從A處望8處的仰角為a,從3處望A處的俯角為£,則a, £之間的關(guān)系是（）A.B. a=BC. a+6=90。D. a+£=180。答案：B2-若點(diǎn)A在點(diǎn)。的北偏東30。,點(diǎn)8在點(diǎn)C的南偏東60。，且AC=BC,則點(diǎn)A在點(diǎn)8的（）

3、A.北偏東15。B.北偏西15。C北偏東10。D.北偏西10。解析：選B如圖所示，Z/4C8 = 90。，又AC=3C,：.CBA= 45° r而 £ 二 30。,.。二90。-45。-30。=15。.，點(diǎn)A在點(diǎn)8的北偏西15°.3.（數(shù)村習(xí)題改編）如圖，設(shè)A、8兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的 同側(cè)，選定一點(diǎn)C,測出AC的距離為50 m, NACB=45。，NCA8=105。, 則A、8兩點(diǎn)的距離為（）A. 5O>/2 mB. 5O>/3 mC. 256 mD. 2 ni解析：選A由正弦定理得AC-sin ZACB 50x 2AB = sinB =1

4、=5M(m).24.（2011 上海點(diǎn)考）在相距2千米的A、8兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C,若NCA8=75。，ZCBA=60。，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為 千米.解析：如圖所示，由題意知NC=45° ,AC 2 由正弦定理得而娜=而市，答案：血5. （2012泰州模擬）一船向正北航行，看見正東方向有相距8海里的兩個(gè)燈塔恰好在一 條直線上.繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏東60。，另一燈塔在船的南偏東75。, 則這艘船每小時(shí)航行 海里.解析：如圖，由題意知在LABC 中,AACB = 75。- 60。= 15。，8 = 15。，:O!A在 RtAOC 中，0C = AC-sin 30

5、76; = 4.這艘船每小時(shí)航行% 8海里.2答案：8解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形（1）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后.已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦 定理或余弦定理求解.（2）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后.已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這 時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量， 從幾個(gè)三角形中列出方程（組）.解方程（組）得出所要求的解.I高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn) 學(xué)技法I得拔高分|拿翼程度ItaHlkAoman 'i iJ J測量距離問題典題導(dǎo)入例1鄭州市某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)

6、境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的 Z 底座形狀分別為ABC、A8。，經(jīng)測量AD=BD=7米，BC=5 （: 米，AC=8 米，ZC=ZD.(1)求月3的長度；(2)若不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用最低(請說明理由).自主解答在U8C中，由余弦定理得AC2 + BC1 - AB2 82 + 52 - AB2as C = _2AC BC-= 2X8X5 '在中，由余弦定理得AD2 + BD2 - AB2 72 + 72 - AB2cosD = _2AD BD二 2X7X7 '由N。= ND 得 COS C = cos D.解得AB = 7 ,所以AB的長度為7米.小李的設(shè)計(jì)使

7、建造費(fèi)用最低.理由如下：易知 Smbd = AD BDsin D , Sc = AC BCsin C ,因?yàn)?AO.5O>AC.8C ,且NC 二 N。，所以 Sabd>Sabc-故選擇MBC的形狀建造環(huán)境標(biāo)志費(fèi)用較低.»一遺多變/_ 一、若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價(jià)為5 000元，試求最低造價(jià)為多少？解：因?yàn)锳Q二8。二A8=7 ,所以“B。是等邊三角形，ND = 60° , ZC = 60°.故 Sjm二3CBCsin C= l(h/3 ,所以所求的最低造價(jià)為5 000X1(/3 = 50 000小486 600元.&由題悟法求距離問題要注

8、意：(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若 有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.國以題試法1 .如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度， 在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A、B,觀察對岸的點(diǎn)C,測得NCA8=105。，二NC8A =45。,且 A8= 100 m. A B(1)求 sin NCAB 的值：(2)求該河段的寬度.解：(l)sin zC4B = sin 105°=sin(60° + 45°)=sin 600cos 45°

9、; 十 cos 60°sin 45°/X虛+應(yīng)-#+4- 2 x 2 +2X 2 - 4 -(2)因?yàn)镹G48 = 105° f NC8A = 45。，所以Z/1CB = 180。- Z.CAB - NCBA = 30°.由正弦定理，得=BC , sin Z.ACB sin /CAB貝!J BC = 50(乖 +，5)(m).如圖所示，過點(diǎn)c作CD±AB ,垂足為D ,則CD的長就是該河"一丁段的競度.在RI-BDC中，八 、 、1D A BCD 二 BC sin 45° = 50(木十碑)X 當(dāng)二 50(娟 + 1 )(m

10、).所以該河段的寬度為50(73+1 )m.,。二測量高度問題1典題導(dǎo)入例2 (2012,九江模擬)如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂 上一建筑物CD(CD所在的直線與地平而垂直)對于山坡的斜度為a, 從A處向山頂前進(jìn)/米到達(dá)B后，又測得CD對于山坡的斜度為£, 山坡對于地平面的坡角為夕(1)求5。的長；(2)若/=24, a=15。，£=45。，8=30。，求建筑物 CO 的高度.自主解答(1)在中，ZAC8 二根據(jù)正弦定理得BCABsin nBAC sin ZACB '所以8c二Mnasin(£ - a)./sin a 24 X sin 15°

11、; r r由知BC = sin 300 = 12(#-柩米.在SC。中,Z.BDC 二介器二4，sin /BDC =乎,根據(jù)正弦定理得BCCDsin BDC sin zCBD '所以CO=24-8小米.a由題悟法求解高度問題應(yīng)注意：(1)在測量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線 與水平線的夾角：(2)準(zhǔn)確理解題意，分清己知條件與所求，畫出示意圖：(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想 的運(yùn)用.國以題試法解：如圖，設(shè)電視塔A8高為xn】,2. (2012西寧模擬)要測量底部不能到達(dá)的電視塔A8的高度，在。點(diǎn)測得塔頂A

12、的仰 角是45。，在。點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30。，并測得水平而上的NBCO=120。，CD=40 m, 求電視塔的高度.則在 R2A8C 中，由"C3 = 45。彳導(dǎo) 3C二 r在 R3AO8 中，“。8 二在"DC中，由余弦定理得,BD2 = BC2 + CD2 - 2BC.CO.cos 120° ,即(巾x)2 = N +402 _ 2.x.40.cos 120。,解得X=40 ,所以電視塔高為40米.測量角度問題古典題導(dǎo)入例3 （2012太原模擬）在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45。 方向,相距12 n mile的水面上,有藍(lán)方一艘小艇

13、正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75° 方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時(shí)14 nmile的速度，沿北偏東45。+。方向攔截藍(lán)方的小艇.若 要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角a的正弦值.自主解答I如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，貝（J AC = 14a , BC= 10.r , ZABC = 1200.根據(jù)余弦定理得（14x）2 二 122十（10x）2 - 240XCOS 120° ,解得x = 2.故 AC = 28 , BC = 20.頻返神得黑二.，明/曰. 20sin 120° W5解得 sin a = - = /所

14、以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角a的正弦值為辭.3由題悟法1 .測量角度，首先應(yīng)明確方位角，方向角的含義.2 .在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這 一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理綜合使用的特點(diǎn).3以題試法3.（2012無錫模擬）如圖，兩座相距60 m的建筑物A3、CO的高 度分別為20 m、50 m. 為水平面，則從建筑物A3的頂端A看 建筑物CD的張角NCAQ的大小是.解析：.力。2= 602+ 202 = 4 000 , AC2 = 602 + 3O2 = 4 500.在中，由余弦定理得ADAO-CD1 也cos NCAO二o t)”，二姿，nC4O = 450.答案:45。解SS訓(xùn)練要高效JIET1 XUNL1A、Y AOG AOXIAO抓速感| 觀規(guī)范|拒絕眼離手低掌矍程度|A級全員必做題1.在同一平面內(nèi)中，在月處測得的8點(diǎn)的仰角是50。，且到A的距離為2, C點(diǎn)的俯 角為70。，且到A的距離為3,則8、C間的距離為（）A.V16B.V17C.V18D 小解析：選 D vzBAC= 120°= 2 MC = 3./.BCABAC1 - lAB ACcos Z.BAC= 4