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1、類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計(jì)43002015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京文）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要 求的一項(xiàng).1.若集合4 = R-5cx<2, 5 = 川一3Vx3,則405=（）.A. 止3Vx<2 B. 止5Vx<2 C. 止3Vx<3 D. 止5cx32 .圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是().A. (x-1) +(y-1) 1B.(元+1) +(y + l) 1C. (x+l)2 + (y + l)2 = 2D. (x-l)2+(y-l)2 = 23 .下列函

2、數(shù)中為偶函數(shù)的是().A.y = x2 sinxB. y = x2 cosx c. y = |lnx| D. y = 2x4 .某校老年，中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體情況,在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年人數(shù)為（）.A.90 B. 100 C. 180 D. 3005 .執(zhí)行如果所示的程序框圖，輸出的女值為（）.A.3B.4 C. 5 D. 66 .設(shè)a, b是非零向量，“山=|。帆”是“。/力”的（）.A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7 .某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）.正

3、（主）視圖 側(cè)（左）視圖俯視圖8 .某輛汽車每次加油都把油箱加滿，卜表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況.加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程 在這段時(shí)間內(nèi)，該車每io。r米平均耗油量為（）.A. 6 升 B. 8 升 C. 10 升 D. 12 升二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9 .復(fù)數(shù)1（1 + 1）的實(shí)部為10 . 2一3, 3" log二 5三個(gè)數(shù)中最大數(shù)的是.11 .在 中，。=3, b = f6 ,， /R =.312 .已知（2,0）是雙曲線

4、/一方=l（b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則6 =.13 .如圖，ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為O, P（x,y）為。中任 意一點(diǎn)，則z = 2x+3y的最大值為.14 .高三年級(jí)267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績?cè)谌昙?jí)中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生. " A - : 267語文成績年級(jí)名次數(shù)學(xué)成績年級(jí)名次總成績年級(jí)名次267總成績年級(jí)名次*267從這次考試成績看，在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是在語文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是三、解答題（共6題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或

5、證明過程）15 .（本小題13分）已知函數(shù)/（x） = sinx-2jJsin'1（1）求/（x）的最小正周期；（2）求/（x）在區(qū)間0,y上的最小值.16.（本小題13分）已知等差數(shù)列叫滿足+ 4=10, % - % = 2.（1）求4的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等比數(shù)列也滿足以=%，4=%；問：/與數(shù)列4的第幾項(xiàng)相等?17.（本小題13分）某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成下 統(tǒng)計(jì)表，其中“讓表示購買，“x”表示未購買.商品顧客人甲乙丙100VXVq217X7Xq2007X300XX85XXX98X7XX（1）估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率（2）

6、估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率 （3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？18.（本小題14分）如圖所示，在三棱錐V A6c中，平面6461.平面A6C,三角形VA6為等邊三角形，AC_L6C,且AC = 8C = JJ, O,"分 別為AS, L4的中點(diǎn).（1） 求證：儂平面MOC.（2） 求證：平面MOC_L平面VAB.（3） 求三棱錐V A6c的體積.19 .（本小題13分）設(shè)函數(shù)一knx,k>Q.（1）求/（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若/（X）存在零點(diǎn)，則“X）在區(qū)間（1,*）上僅有一個(gè)零點(diǎn)20 .（本小題14分

7、）己知橢圓C:x2+3r = 3,過點(diǎn)D（l,o）且不過點(diǎn)七（2,1）的直線與橢圓C交于A, B兩點(diǎn), 直線AE與直線x = 3交于兩點(diǎn)M .（1）求橢圓C的離心率；（2）若A5垂直于x軸，求直線5M的斜率；（3）試判斷直線5"與直線。石的位置關(guān)系，并說明理由.2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試答案(北京文)一、選擇題1 .【答案】A【解析】在數(shù)軸上將集合A、B表示出來，如圖所示，由交集的定義可得，為圖中陰影部分，即43c<22 .【答案】D【解析】由題意可得圓的半徑為廠=則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l+(y-l)2=23 .【答案】B 【解析】根據(jù)偶函數(shù)的定義/(-x) = /

8、(x)，A選項(xiàng)為奇函數(shù)，B選項(xiàng)為偶函數(shù)，C選項(xiàng)定義域?yàn)?0,+8)不具有奇偶性，D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故選B.4 .【答案】C【解析】：由題意，總體中青年教師與老年教師比例為竺”=3；設(shè)樣本中老年教師的人 9009數(shù)為x,由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即320x5 .【答案】B 【解析】3333初值為 a=3,k=O,進(jìn)入循環(huán)體后，a = ,k = l;a = - ,k = 2;a = ,k = 3;a = ,k = 4;24816此時(shí)，a一,退出循環(huán)，故k=4 46 .【答案】A 【解析】,由已知得cos = 1,即5/區(qū).而當(dāng) 出/B時(shí)，還可能是

9、左，此時(shí)/=一|£憫，故"存5=同忖”是“山區(qū)”的充 分而不必要條件.7 .【答案】C【解析】四棱錐的直觀圖如圖所示：由三視圖可知，SC_L平面ABCD, SA是四棱錐最長的棱,sa=Jsc'+ac? = 75c2+ab2+bc2 = 3 .8 .【答案】B 【解析】因?yàn)榈谝淮梧]箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時(shí)間內(nèi)的耗油量，故耗油量V = 48升.而這段時(shí)間內(nèi)行駛的里程數(shù)S = 3560035000 = 600千米.所以這段時(shí)間內(nèi),48該車每100 T米平均耗油量為xl00 = 8升，故選B.600二、填空題9 .【答案】-1【解析】復(fù):數(shù)= i l = +其實(shí)

10、部為-1.10 .【答案】log-【解析】2-3 =1<1, 35= /3>1，log25>log24>2>V3,所以log”最大. 8y7tU.【答案】- 4a b3 一痛萬【解析】由正弦定理，得一-=，即、Q - sm5,所以sinB =在，所以N6 =一 . sin A sinB_24212 .【答案】【解析】由題意知c = 2m = 1, b2=c2_a2=3t所以b = J?.13 .【答案】7【解析】由題圖可知，目標(biāo)函數(shù)b=b = 6 = 一六+（，因此當(dāng)x=2,戶1,即在點(diǎn)A出時(shí)z取得最大值為7.14 .【答案】乙按照全年級(jí)排名答案為語文靠前，按照班

11、級(jí)排名答案為數(shù)學(xué)靠前【解析】由圖可知，甲的語文成績排名比總成績排名靠后;而乙的語文成績排名比總成績排名靠前, 故填乙.由圖可知，比丙的數(shù)學(xué)成績排名還靠后的人比較多；而總成績的排名中比丙排名靠后的人 數(shù)比較少，所以丙的數(shù)學(xué)成績的排名更靠前，故填數(shù)學(xué).三、解答題15 .【解析】（1）f （x） = sin x - 2 >/3 x 1 :"=sin x +-73 cos x-73=2sin（x+y）-3故周期為2兀（2）因?yàn)?«%42乃，所以2工工+2工乃333所以的的最小值為/（爭=-"16 .【解析】根據(jù)可+ %=10,% -%=2得到2q + d = 10且

12、4 = 2于是 =4,所以 4, =4 + （，-1）" = 2 + 2（2） A = % = 8也=% = 16從而夕=2也=b2.q4 = 128令。 =2 + 2 = 128 得到 =6317 .【解析】（1）從表格可以得到同時(shí)購買乙和丙的人數(shù)為200人，由于總?cè)藬?shù)為1000人，所以概率為P=1000 5（2）顧客可能同時(shí)購買甲、乙、丙或者同時(shí)購買甲、乙、丁或者甲、丙、丁或者乙、丙、丁，從而概率期1000 3(3)同時(shí)購買乙的人數(shù)為200人，同時(shí)購買丙的人數(shù)為600人，同時(shí)購買丁的人數(shù)為100 人，從而丙的可能性更大。18 .【解析】(1)因?yàn)镸,O分別為線段AV和AB的中點(diǎn)，

13、所以MO為AABV的中位線,從而有MO/BV 由于MO 2平面MOC , MO U平面MOC,MO/BV得到VB 平面MOC因?yàn)锳C=BC,D為AB的中點(diǎn)，所以CO_LAB因?yàn)锳B=平面VABf)平面ABC所以CO_L平面ABV又因?yàn)镺CU平面MOC,所以平面MOC_L平面ABVSaabc=B小小=1連結(jié)VO,則VO垂直于AB,AB=平面VAB A平面ABC所以VO_L平面ABC因?yàn)锳B=2,所以VO = J?所以匕.a8c =19 .【解析】(1) /'(x) = x-(x>0)X令ra)= o得(舍)可知：X在(O,JF)上單調(diào)減極小值為/(J) = /(I 若ke,則于(8

14、) = 0且在(0,、/£)單調(diào)遞減，所以只有一個(gè)零點(diǎn)若k>e,則/(五)=yV0且在（）,&）單調(diào)遞減，當(dāng)X -0時(shí)，/（x）0所以只有一個(gè)零點(diǎn)20.【解析】（2）因?yàn)锳B_Lx軸，所以AB:X=1分為A在B上和B在A上兩種情況討論:當(dāng)A在B上時(shí)AQ,孚）,8（1, 一j6y/6所以仃VAE:x-11-2此時(shí)°A2一旦+西一?、=13-1同理，當(dāng)A在B上時(shí)，Kbm = 1通過畫圖可以初步判斷BM與DE平行理由如下:AD y. AZ 2-x.由題意而=與'而=丁AD.AM - AE.BD =弘 + % (2 x) (1)設(shè)AB的方程為ty=x-l與橢圓方程y+y2 = 1聯(lián)立得到（/+ 3）/ + 2。 2 = 0由韋達(dá)定理得其+必=XK =廠+3 r+3An af由（i）得x + y，（2-再+ yj = o所以=-一BD AM于是BMDE