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1、3-1研究流體運動的方法,流 場：充滿運動流體的空間,一、基本概念,流體質(zhì)點：由無數(shù)流體分子所組成的質(zhì)量微團(tuán)，有大小和形狀且隨時間不斷改變。,空間點：是幾何位置點，無大小和形狀，不隨時間改變。,系統(tǒng)：無數(shù)個流體微團(tuán)的集合。,控制體：由空間點組成。,拉格朗日簡介,法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利西北部的都靈，1813年4月10日卒于巴黎。19歲就在都靈的皇家炮兵學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)教授。1766年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請說，在“歐洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀去柏林，居住達(dá)二十年之久。在此期間他完成了分析力學(xué)一書，建立起完整和諧的力學(xué)體系。 1786

2、年，他接受法王路易十六的邀請，定居巴黎，直至去世。近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。,歐拉簡介,瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國彼得堡去逝。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的教育。13歲時入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲碩士學(xué)位。 歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個物理的領(lǐng)域。他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等的課本，無窮小分析引論、微分學(xué)原理、積分學(xué)原理等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。歐

3、拉對數(shù)學(xué)的研究如此廣泛，因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。,1.Lagrange法（拉格朗日法）,二、研究流體運動的兩種方法,基本思想：跟蹤每個流體質(zhì)點的運動全過程，記錄它們在運動過程中的各物理量及其變化規(guī)律。,跟蹤法,初始時刻的位置坐標(biāo),任意時刻的運動坐標(biāo),區(qū)分不同流體質(zhì)點,流體質(zhì)點的位移,a，b，c為Lagrange變量，不是空間坐標(biāo)函數(shù)，是流體質(zhì)點的標(biāo)號。,速度表達(dá)式,加速度表達(dá)式,2.Euler法（歐拉法）,獨立變量：,基本思想：,考察空間每一點上的物理量及其變化。,空間一點上的物理量是指占據(jù)該空間點的流體質(zhì)點的物理量。,空間點坐標(biāo) ，時間(t)的

4、函數(shù)，也表示流體質(zhì)點的位移。,布哨法,運動要素表示為：,加速度,或,當(dāng)?shù)丶铀俣?質(zhì)點加速度：,遷移加速度,第一部分：是由于某一空間點上的流體質(zhì)點的速度隨時間的變化而產(chǎn)生的，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣取?第二部分：是某一瞬時由于流體質(zhì)點的速度隨空間點的變化而產(chǎn)生的，稱為遷移加速度。,Lagrange法優(yōu)缺點, 直觀性強(qiáng)、物理概念明確、可以描述各質(zhì)點的時變過程 數(shù)學(xué)求解較為困難，一般問題研究中很少采用,Euler法的優(yōu)越性：,3.在工程實際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點的來龍去脈?；谏鲜鋈c原因，歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。,1.利用歐拉法得到的是場，便于采用場論這一數(shù)學(xué)工具來研究。,2.采用歐拉法，加速度是一

5、階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)，所得的運動微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。,分別描述有限質(zhì)點的軌跡 同時描述所有質(zhì)點的瞬時參數(shù),表達(dá)式復(fù)雜 表達(dá)式簡單,不能直接反映參數(shù)的空間分布 直接反映參數(shù)的空間分布,不適合描述流體元的運動變形特性 適合描述流體元的運動變形特性,拉格朗日觀點是重要的 流體力學(xué)最常用的解析方法,兩種方法的比較,Lagrange法,Euler法,3-2流場的基本概念,一、 恒定流與非恒定流,恒定流 ：流場中所有空間點上一切運動要素均不隨時間變化 ，即,非恒定流：流場中所有空間點上一切運動要素均不隨時間變化 ，

6、即,恒定流,非恒定流,對于恒定流，只存在遷移加速度,二、 流線與跡線,（一）流線,1.定義：表示某瞬時流動方向的曲線，曲線上各質(zhì)點的流速方向均與該曲線相切 。,屬歐拉法的研究內(nèi)容,強(qiáng)調(diào)的是空間連續(xù)質(zhì)點而不是某單個質(zhì)點形成是在某一瞬間而不是一段連續(xù)時間內(nèi)表示的是質(zhì)點的速度方向而不是空間位置連線,2、流線的幾個性質(zhì)：通過某一空間點在給定瞬間只能有一條流線，一般情況流線不能相交和分支。流線不能是折線，是一條光滑的連續(xù)曲線。在定常流動中，流線不隨時間改變其位置和形狀，流線和跡線重合。在非定常流動中，由于各空間點上速度隨時間變化，流線的形狀和位置是在不停地變化的。,3、流線微分方程,速度矢量,通過該點流

7、線上的微元線段,速度與流線相切,（二）跡線,1、定義：流場中某一流體質(zhì)點的運動軌跡。它是單個質(zhì)點在運動過程中所占據(jù)的空間位置隨時間連續(xù)變化的軌跡。,屬拉格朗日法的研究內(nèi)容,（t為自變量， x, y, z 為t 的函數(shù) ）,三、流管、元流、總流,1流管：在流場中，任意取一封閉曲線（不是流線），由通過該曲線上每一點的流線所圍成的管狀面，稱為流管。,2元流：在微小流管內(nèi)所有流體質(zhì)點所形成的流動，稱為元流。,3總流:流管內(nèi)所有流體質(zhì)點所形成的流動成為總流，即為無數(shù)個元流的集合。,四、 過流截面、流量、平均流速,1.過流截面:與元流或總流內(nèi)各條流線相垂直的橫截面稱為過流截面，過流截面可以是平面或曲面。,

8、2流量：單位時間內(nèi)通過某一過流截面的流體體積稱為體積流量，簡稱流量，用符號 表示，其常用單位為 ，工程實際中常用來 表示流量。,3.平均流速：是一個假想的流速，即假定在有效截面上各點都以相同的平均流速流過，這時通過該有效截面上的體積流量仍與各點以真實流速流動時所得到的體積流量相同。,五、均勻流、非均勻流、漸變流、急變流,1.均勻流：是指流線為直線且相互平行，且同一條流線上各空間點的流速相同的流動。2.非均勻流：流線不是相互平行直線，且同一條流線上各空間點的流速相同的流動。,1-2漸變流2-3急變流3-4漸變流4-5急變流,3.漸變流和急變流：在非均勻流中，流線之間的夾角較小、流線曲率較小而近似

9、平行直線的流動。否則稱為急變流。,c-c處漸變流,六、一維流動、二維流動、三維流動,1.三維流動：若流動要素是三個空間坐標(biāo)的函數(shù)，則這種流動稱為三維流動。例如，空氣繞地面建筑物的流動、水在自然河道中的流動等。,2.二維流動：若流動要素只是兩個空間坐標(biāo)的函數(shù)而與第三坐標(biāo)無關(guān)，這種流動稱為二維流動。例如，水在矩形渠道中的流動 。,3.一維流動：流動要素只是一個空間坐標(biāo)的函數(shù)的流動稱之為一維流動。通常河道、渠道、管道中，流動要素是三個坐標(biāo)的函數(shù)，如果流速用平均流速來代替，它們的流動也看成一維流動來處理。,3-3 流體運動的連續(xù)性方程,一、三維流動、二維流動的連續(xù)性方程,在x方向,在 時間內(nèi)，沿軸從左

10、邊和右邊側(cè)面流入六面體的流體質(zhì)量分別為,沿 x 軸流入和流出六面體的流體質(zhì)量之差為,同理,流入六面體內(nèi)的流體質(zhì)量總差為,引起密度的變化,在瞬時,在微段時間內(nèi)由密度引起流體的質(zhì)量變化為,不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性方程,不可壓縮流體二維流動的連續(xù)性方程,物理意義：在同一時間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。,二、恒定總流的連續(xù)性方程,（1）恒定流動，該段元流的形狀、位置不隨時間發(fā)生變化；（2）沒有流體穿過元流，從側(cè)面流入和流出；（3）元流內(nèi)流體不存在空隙。,根據(jù)質(zhì)量守恒定律，在 時間內(nèi),不可壓縮流體,分流,剛體:,流體:,具有流動

11、性，極易變形,移動（move） 線速度,轉(zhuǎn)動 (rotation) 角速度,移動（move） 線速度,轉(zhuǎn)動 (rotation) 角速度,變形（reform） 線變形 角變形,3-4流體微團(tuán)的運動,一、線變形運動,線變形速率,不可壓縮流體,水平方向,線變形,同理,二、角變形運動與旋轉(zhuǎn)運動,水平方向,豎直方向,純變形角,純旋轉(zhuǎn)角,同理,角變形速率,旋轉(zhuǎn)角速度,三、流體微團(tuán)運動的分解,在一般情況下，流體微團(tuán)的運動可分解為三部分：, 以流體微團(tuán)中某點的速度作整體平移運動, 繞通過該點軸的旋轉(zhuǎn)運動, 微團(tuán)本身的變形運動,線速度,旋轉(zhuǎn)角速度,線變形速率,角變形速率,四、有旋流動和無旋流動,數(shù)學(xué)條件：,當(dāng)

12、,當(dāng),無旋流動,有旋流動,如果在整個流場中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運動，則稱為無旋流動。,流體在流動中，如果流場中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運動，則稱為有旋流動。,有旋流動,無旋流動,即當(dāng)流場速度同時滿足：,流動無旋,需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運動軌跡無關(guān)。,如圖7-5（a），流體微團(tuán)的運動為旋轉(zhuǎn)的圓周運動，其微團(tuán)自身不旋轉(zhuǎn)，流場為無旋流動；圖7-5（b）流體微團(tuán)的運動盡管為直線運動，但流體微團(tuán)在運動過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以，該流動為有旋流動。,無旋流動,有旋流動,三、渦量、渦線和環(huán)量,1.渦量：表示流體微團(tuán)的

13、旋轉(zhuǎn)特性。,2.渦線：表示渦量方向的曲線，即渦線各點切向方向為渦量的方向。,3.渦管：任意一條封閉曲線C上所有渦線構(gòu)成的管狀曲面。,4.環(huán)量,xoy平面流動,無旋流，環(huán)量為零,3-5速度勢函數(shù)及流函數(shù),一、速度勢,1.勢:如果某一矢量函數(shù)沿某方向的投影恰好等于某一標(biāo)量函數(shù)在該方向上的偏導(dǎo)數(shù)，則稱該矢量為有勢矢量，此標(biāo)量函數(shù)稱為該矢量的勢函數(shù)。,由數(shù)學(xué)分析可知， 是 成為某一標(biāo)量函數(shù) 全微分的充分必要條件。,2.速度勢:,無旋,有勢,速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程，即,或,拉普拉斯算子,（1）速度勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，滿足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù)學(xué)上稱為調(diào)和函數(shù)。,3.速度勢函數(shù)的性質(zhì),（2）任意曲線上

14、的速度環(huán)量等于曲線兩端點上速度勢函數(shù)值之差。而與曲線的形狀無關(guān)。,（3）在空間無旋流場中，勢函數(shù)相等的面為等勢面；在平面無旋流動中，勢函數(shù)相等的線是等勢線。,對于任意封閉曲線，若A點和B點重合，速度勢函數(shù)是單值且連續(xù)的，則流場中沿任一條封閉曲線的速度環(huán)量等于零，即 。,二、二維平面流動的流函數(shù),1.流函數(shù)：,充分必要條件,2.平面流線方程:,3.流函數(shù)的性質(zhì),（1）對于不可壓縮流體的平面勢流，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。,（2）等流函數(shù)線與流線等同，僅在平面流動時成立。對于三維流動，不存在流函數(shù)，也就不存在等流函數(shù)線，但流線還是存在的。,（3）平面流動中，通過兩條流線間任一曲線

15、單位厚度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差,這就是流函數(shù)的物理意義。,證明如下：,其中,三、 和 的關(guān)系,（1）滿足柯西-黎曼條件。和互為共軛調(diào)和函數(shù)，這就有可能使我們利用復(fù)變函數(shù)這樣一種有力的工具求解此類問題。,（2）流線與等勢線正交。流線和等勢線構(gòu)成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)。,例1-1一不可壓流體平面流動的速度分布為：該平面流動是否存在流函數(shù)和速度勢函數(shù)；若存在，試求出其表達(dá)式；,解：,（1）由不可壓流體平面流動的連續(xù)性方程，知,該流動滿足連續(xù)性方程，流動是存在的，存在流函數(shù)。,該流動無旋，存在速度勢函數(shù)。,（2）由流函數(shù)的全微分得：,積分,由速度勢函數(shù)的全微分得：,積分,例1-2已知不可壓縮流

16、體平面勢流，其速度勢,試求速度分量和流函數(shù)。,解：,（1）由勢函數(shù)和流速之間的關(guān)系，知,（2）由流函數(shù)的全微分得：,積分,3-6簡單平面勢流,一、均勻平行流動,1.速度分量,定義：流速的大小和方向沿流線不變的流動為均勻流 若流線平行且流速相等，則稱均勻等速流。,2.流函數(shù),3.勢函數(shù),流函數(shù)線為平行直線，如圖中實線所示,等勢線也為平行直線，如圖中虛線線所示。兩者構(gòu)成流譜。,海洋上風(fēng)引起的空氣流動、風(fēng)洞或水洞實驗段內(nèi)的流動。,二、平面點源（匯）,點源,點匯,如果在無限平面上流體不斷從一點沿徑向直線均勻地向各方流出，則這種流動稱為點源，這個點稱為源點。,若流體不斷沿徑向直線均勻地從各方流入一點，則這種流動稱為點匯，這個點稱為匯點。,定義,1.速度分量,源（匯）強(qiáng),2.流函數(shù),3.勢函數(shù),等流函數(shù)線是一族從原點出發(fā)的徑向射線(實線），而等勢線是一族圓心位于原點的不同半徑的同心圓（虛線）。,井源滲流、小孔口出流,三、 環(huán)流,1.速度分量,表明：除原點（奇點）外，都為有勢流。,如果將一直線渦束代替固體圓柱體，渦束內(nèi)的流體質(zhì)點如同圓柱體一樣繞中心軸旋轉(zhuǎn)，渦束內(nèi)的區(qū)域稱為渦核區(qū)，渦束外的區(qū)域為有勢流