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1、. .二次根式的知識點(diǎn)匯總知識點(diǎn)一：二次根式的概念形如的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點(diǎn)二：取值X圍1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2.二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時，沒有意義。知識點(diǎn)三：二次根式的非負(fù)性表示a的算術(shù)平方根，也就是說，是一個非負(fù)數(shù)，即0。注：因?yàn)槎胃奖硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方

2、根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0，這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如假設(shè)，那么a=0,b=0；假設(shè)，那么a=0,b=0；假設(shè)，那么a=0,b=0。知識點(diǎn)四：二次根式的性質(zhì)文字語言表達(dá)為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。知識點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)知識點(diǎn)六：與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差異的，而2、一樣點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即

3、時，=；時，無意義，而.知識點(diǎn)七：二次根式的運(yùn)算1因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面2二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式3二次根式的乘除法：二次根式相乘除，將被開方數(shù)相乘除，所得的積商仍作積商的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式=a0，b0； b0，a04有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算【例題精選】

4、二次根式有意義的條件：例1：求以下各式有意義的所有x的取值X圍。解：1要使有意義，必須，由得，當(dāng)時，式子在實(shí)數(shù)X圍內(nèi)有意義。2要使有意義，為任意實(shí)數(shù)均可，當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時均有意義。3要使有意義，必須的X圍內(nèi)。當(dāng)時，式子在實(shí)數(shù)X圍內(nèi)有意義。小練習(xí)：1當(dāng)x是多少時，在實(shí)數(shù)X圍內(nèi)有意義？2當(dāng)x是多少時，+在實(shí)數(shù)X圍內(nèi)有意義？3當(dāng)x是多少時，+x2在實(shí)數(shù)X圍內(nèi)有意義？4當(dāng)時，有意義。2. 使式子有意義的未知數(shù)x有 個 A0 B1 C2 D無數(shù)3y=+5，求的值4假設(shè)+有意義，那么=_5. 假設(shè)有意義，那么的取值X圍是。最簡二次根式例2：把以下各根式化為最簡二次根式：分析：依據(jù)最簡二次根式的概念進(jìn)展化簡

5、，1被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；2被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。解：同類根式：例3：判斷以下各組根式是否是同類根式：分析：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)一樣，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡二次根式。解：分母有理化：例4：把以下各式的分母有理化：分析：把分母中的根號化去，叫做分母有理化，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個代數(shù)式互為有理化因子，如與，均為有理化因式。解：求值：例5：計(jì)算：分析：迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)展二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，必須掌握，要特別注

6、意運(yùn)算順序和有意識的使用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到正確的運(yùn)算結(jié)果。解：1原式化簡：例6：化簡：分析：應(yīng)注意1式，2，所以，可看作可利用乘法公式來進(jìn)展化簡，使運(yùn)算變得簡單。解：例7：化簡練習(xí)：解：化簡求值：例8：求：的值。分析：如果把a(bǔ)，b的值直接代入計(jì)算的計(jì)算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊徑，考慮到互為有理化因子可計(jì)算，然后將求值式子化為的形式。解：小結(jié)：顯然上面的解法非常簡捷，在運(yùn)算過程中我們必須注意尋求合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算能力。類似的解法在許多問題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識的總結(jié)和積累。例9：在實(shí)數(shù)X圍內(nèi)因式分解：2x24；【提示】先提取2，再用平方差公式【答案】 2xxx42x23【提

7、示】先將x2看成整體，利用x2pxqxaxb其中abp，abq分解再用平方差公式分解x23【答案】x21xx例10、綜合應(yīng)用：如下圖的RtABC中，B=90，點(diǎn)P從點(diǎn)B開場沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動；同時，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開場沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動問：幾秒后PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？結(jié)果用最簡二次根式表示【專項(xiàng)訓(xùn)練】：一、選擇題：在以下所給出的四個選擇中，只有一個是正確的。1、成立的條件是：ABCD2、把化成最簡二次根式，結(jié)果為：ABCD3、以下根式中，最簡二次根式為：ABCD4、t1，化簡得：ABC2D05、以下各式中，正確的選項(xiàng)是：ABCD6、以

8、下命題中假命題是：A設(shè)B設(shè)C設(shè)D設(shè)7、與是同類根式的是：ABCD8、以下各式中正確的選項(xiàng)是：ABCD三、1、化簡2、：求：拓展訓(xùn)練一、 分式，平方根，絕對值；1. 成立的條件是_2 當(dāng)a_時，；當(dāng)a_時，。3 假設(shè)，那么_；假設(shè)，那么_。4 把根號外的因式移入根號內(nèi)，結(jié)果為_。5 把-3根號外的因式移到根號內(nèi)，結(jié)果為_。6 xy，那么化簡為_10.假設(shè)與是同類二次根式，那么a=_，b=_。11.求使為實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)的值為_。二、根式，絕對值的和為0；1. 假設(shè)=0，那么=_。2. 如果求的算術(shù)平方根。6.在ABC中，a，b，c為三角形的三邊，那么=_。7.8.如果，那么=_。三、分式的有理化1、x

9、= ,y= ，求x2y2的值。5.，求以下各式的值； ； ； ;四、整數(shù)局部與小數(shù)局部1.的整數(shù)局部是_，小數(shù)局部是_。4.，的整數(shù)局部為，小數(shù)局部為，求的值。五、 根式，分式的倒數(shù)；1.x=4,求x的值。3. 假設(shè)的值；六、轉(zhuǎn)換完全平方公式；1.，求的值3.x，y是實(shí)數(shù)，假設(shè)axy-3x=y，求a的值；5、0 x1，化簡：6、化簡：1、； 2、；七、技巧性運(yùn)算1.2、計(jì)算的結(jié)果是_4、，那么的值是_5、那么的值是_6、，求的值附：中考類型1、在實(shí)數(shù)X圍內(nèi)，有意義，那么x的取值X圍是 ；Ax0 Bx0 Cx0 Dx0 2、使二次根式有意義的x的取值X圍是 ；ABCD ；3一個自然數(shù)的算術(shù)平方根

10、為，那么和這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)是 ；ABCD4、在電路中，一個電阻的阻值R和它消耗的電功率P.由電功率計(jì)算公式可得它兩端的電壓U為 ； 5、使代數(shù)式有意義的x的取值X圍是 A、 ；B、 ；C、 ；D 、且；6函數(shù)的自變量的取值X圍是 A BC D函數(shù)中自變量的取值X圍是 A；B；C 且； D且；二、二次根式的運(yùn)算問題7、09XX市二次根式的值是 ；AB或CD8、 (XX市2021年)下面計(jì)算正確的選項(xiàng)是 ；ABCD9、(09年XX市)以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是 ； ABCD10、(09XX市)計(jì)算的結(jié)果等于11、(黔東南州2021年)_；12、(09XX省)計(jì)算：13、(09年襄樊市)計(jì)算：

11、備用題、09XX市計(jì)算： .三、二次根式與絕對值、0指數(shù)冪等的混合運(yùn)算14、(09黔東南州)方程，當(dāng)時，m的取值X圍是 ；A、；B、；C、；D、；15、09XX市當(dāng)時，代數(shù)式的值是_16、09XX市計(jì)算：17、(09XX市)計(jì)算：四、二次根式與整式的化簡求值問題：18、09XX市先化簡，再求值：，其中19、09XX市：求以下各式的值 1；220、09威海市先化簡，再求值：，其中1、，求：的值；2、：，計(jì)算：1 ；2五、二次根式與分式的化簡求值問題：21、09黔東南州先化簡，再求值：，其中；22、(09XX)求代數(shù)式的值：，其中23、09XX市先化簡、再求值：。24、09黔東南州先化簡，再求值：，其中；六、二次根式的探究規(guī)律問題：25、我們看幾個等式：=14+1=5;=25+1=11; =36+1=19；仔細(xì)觀察上面幾道題及其結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？能解釋這一規(guī)律嗎？并用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜測下面的結(jié)果：=_.= ( ) ( )；=_.2021XX，4，4分設(shè)a=1，a在兩個相鄰整數(shù)之間，那么這兩個整數(shù)是 A1和2B2和3 C3和4 D4和52021XXXX，5,4分如果，那么 Aa B. a C. a D. a2021XXXX，14，5分、為兩個連續(xù)的整數(shù)，且，那么2021XX內(nèi)江，加試1，6分假設(shè)，那么的值是2021XXXX12,4分當(dāng)時，=_