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1、n 維列向 量,n 維行向 量,n 維向量(xingling)可寫成一行, 也可寫成一列.,為行向量和列向量, 也就是(jish)行矩陣和列矩陣, 并規(guī),定行向量與列向量都按矩陣的運算規(guī)則(guz)進行運算.,因此, n 維列向量 與 n 維行向量 T 是兩個不同,的向量.,分別稱,第1頁/共33頁,第一頁，共33頁。,在解析幾何中, 我們(w men)把“既有大小又有方向的,量”叫做向量(xingling), 并把可隨意平行移動的有向線段作,為向量(xingling)的幾何形象.,在引進坐標系以后, 這種向量,就有了坐標表示式 三個有次序的實數(shù), 就,因此, 當 n 3 時, n 維向量可以

2、把有,是 3 維向量.,向線段作為幾何形象, 但當 n 3 時, n 維向量就不,再有這種幾何形象只是沿用一些術(shù)語罷了.,幾何中, “空間”通常是作為點的集合, 即作為,“空間”的元素是點, 這樣的空間叫做點空間.,第2頁/共33頁,第二頁，共33頁。,我們把 3 維向量的全體所組成(z chn)的集合,R3 = r = (x , y , z)T | x , y , z R,叫做三維向量(xingling)空間.,在點空間(kngjin)取定坐標以后, 空,間中的點 P(x , y , z) 與 3 維向量 r = (x , y , z)T 之間,有一一對應(yīng)的關(guān)系, 因此, 向量空間可以類比為

3、取,向量的集合,定了坐標的點空間., = r = (x , y , z)T | ax + by + cz = d ,也叫做向量空間 R3 中的平面.,第3頁/共33頁,第三頁，共33頁。,類似地, n 維向量(xingling)的全體所組成的集合,Rn = x =(x1,x2, . ,xn)T | x1, x2, . , xn R ,叫做 n 維向量(xingling)空間.,n 維向量(xingling)的集合, = x =(x1,x2,.,xn)T | a1x1+a2x2+.+anxn=b ,叫做 n 維向量空間 Rn 中的 n - 1 維超平面.,第4頁/共33頁,第四頁，共33頁。,2

4、. 向量(xingling)組的定義,合叫做(jiozu)向量組.,就是(jish)一個由 4 個 3 維列向量 1, 2, 3, 4 構(gòu)成的,定義 若干個同維數(shù)的列（行）向量組成的集,向量組.,例如,第5頁/共33頁,第五頁，共33頁。,3. 矩陣與向量組的關(guān)系 對于(duy)一個 mn 矩陣 A = (aij) :,若令,第6頁/共33頁,第六頁，共33頁。,則矩陣(j zhn) A 有 n 個 m 維列向量 .,A = (1, 2, . , n ).,n 構(gòu)成一個(y ) mn 矩陣,n 個 m 維列向量(xingling)所組成的向量(xingling)組 1, 2, . ,成一個矩陣

5、.,例如,反之, 由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu),1T, 2T, . , mT 稱為矩陣 A 的行向量組.,則矩陣 A 有 m 個 n 維行向量, 它們組成的向量組,iT = ( ai1 , ai2 , . , ain ), (i = 1, 2, . , m),n 稱為矩陣 A 的列向量組.,若令,向量組 1, 2, . ,第7頁/共33頁,第七頁，共33頁。,同理, m 個 n 維行向量所組成(z chn)的向量組 1T,綜上所述, 一個(y )矩陣與一個(y )行向量組(或列向,2T , . , mT 構(gòu)成(guchng)一個 mn 矩陣,量組)一一對應(yīng).,第8頁/共33頁,第八頁，共3

6、3頁。,前兩章中常(zhngchng)把 m 個方程 n 個未知量的線性方,x1a1 + x2a2 + . + xnan = b,陣 B 的行向量組對應(yīng)(duyng).,若把方程組寫成向量(xingling)形式,一個方程對應(yīng)一個行向量, 則方程組即與增廣矩,增廣矩陣 B = ( A , b ) 一一對應(yīng).,這種對應(yīng)看成,程組寫成矩陣形式 Ax = b, 從而方程組可以與,4. 線性方程組與向量組的關(guān)系,第9頁/共33頁,第九頁，共33頁。,則可見(kjin)方程組與 B 的列向量組 a1, a2, . , an , b 之,組與一個(y )向量組一一對應(yīng).,間也有一一對應(yīng)的關(guān)系(gun x)

7、.,綜上所述, 一個線性方程,第10頁/共33頁,第十頁，共33頁。,1. 線性組合的定義(dngy),為這個(zh ge)線性組合的系數(shù).,稱為(chn wi)向量組 A 的一個線性組合, k1 , k2 , . , km 稱,k1a1 + k2a2 + . +kmam ,何一組實數(shù) k1 , k2 , . , km , 表達式,定義2 給定向量組 A: a1 , a2 , . , am , 對于任,二、向量組等價,第11頁/共33頁,第十一頁，共33頁。,給定向量(xingling)組 A: a1 , a2 , . , am 和向量(xingling) b, 如果存,有解.,x1a1 +

8、x2a2 + . + xmam = b,向量 b 能由向量組 A 線性表示(biosh), 也就是方程組,能由向量(xingling)組 A 線性表示.,則稱向量 b 是向量組 A 的線性組合,這時稱向量 b,b = 1a1 + 2a2 + . + mam ,在一組數(shù) 1 , 2 , . , m , 使,由上章,可得,第12頁/共33頁,第十二頁，共33頁。,定理 1 向量(xingling) b 能由向量(xingling)組 A 線性表示的充分,B = (a1 , a2 , . , am , b) 的秩.,必要條件(b yo tio jin)是矩陣 A = (a1 , a2 , . , a

9、m) 的秩等于矩陣,2. 向量(xingling)能由向量(xingling)組表示的充要條件,第13頁/共33頁,第十三頁，共33頁。,定義(dngy) 3 設(shè)有兩個向量組 A: a1 , a2 , . , am 及,則稱這兩個向量(xingling)組等價.,性表示(biosh).,若向量組 A 與向量組 B 能相互線性表示,組 A 線性表示, 則稱向量組 B 能由向量組 A 線,B: b1 , b2 , . , bs , 若 B 組中的每個向量都能由向量,3. 向量組等價的概念,第14頁/共33頁,第十四頁，共33頁。,把向量(xingling)組 A 和 B 所構(gòu)成的矩陣依次記作,存在

10、(cnzi)數(shù) k1j , k2j , . , kmj , 使,能由A 組線性表示(biosh), 即對每個向量 bj (j = 1,2, . , s),A = (a1 , a2 , . , am ) 和 B = (b1 , b2 , . , bs ), B 組,第15頁/共33頁,第十五頁，共33頁。,從而(cng r),這里, 矩陣 Kms = (kij) 稱為這一線性表示(biosh)的系數(shù),矩陣(j zhn).,第16頁/共33頁,第十六頁，共33頁。,為這一表示(biosh)的系數(shù)矩陣:,的列向量(xingling)組能由矩陣 A 的列向量(xingling)組線性表示, B,由此可

11、知, 若 Cmn = Ams Bsn , 則矩陣(j zhn) C,第17頁/共33頁,第十七頁，共33頁。,同時(tngsh), C 的行向量組能由 B 的行向量組線性表示,A 為這一表示的系數(shù)(xsh)矩陣:,第18頁/共33頁,第十八頁，共33頁。,設(shè)矩陣 A 經(jīng)初等(chdng)行變換變成矩陣 B, 則 B 的,陣 B, 則 A 的列向量(xingling)組與 B 的列向量(xingling)組等價.,類似地可知, 若矩陣 A 經(jīng)初等(chdng)列變換變成矩,于是 A 的行向量組與 B 的行向量組等價.,從而 A 的行向量組也能由 B 的行向量組線性表示.,等變換可逆, 知矩陣 B

12、 亦可經(jīng)初等行變換變?yōu)?A,的行向量組能由 A 的行向量組線性表示.,由于初,每個行向量都是 A 的行向量組的線性組合, 即 B,第19頁/共33頁,第十九頁，共33頁。,向量組的線性組合、線性表示及等價(dngji)等概念，,兩個(lin )方程組等價, 等價的線性方程組一定同解.,若方程組 A 與方程組 B 能相互(xingh)線性表示, 就稱這,性表示, 這時方程組 A 的解一定是方程組 B 的解;,組 A 的線性組合, 就稱方程組 B 能由方程組 A 線,一個線性組合;,程作線性運算所得的一個方程就稱為方程組 A 的,也可移用于線性方程組:,對方程組 A 的各個方,若方程組 B 的每個

13、方程都是方程,第20頁/共33頁,第二十頁，共33頁。,三、向量(xingling)組等價的條件,按,向量(xingling)組 B：b1 , b2 , , bl 能由向,量組 A：a1 , a2 , , am 線性表示(biosh)，,其涵義是存在,矩陣 Km l ，使 (b1 , , bl ) = (a1 , , am )K，,也就,是矩陣方程,(a1 , a2 , , am )X = (b1 , b2 , , bl ),有解.,由上章,可得,第21頁/共33頁,第二十一頁，共33頁。,定理(dngl) 2 向量組 B：b1 , b2 , , bl 能由向量,組 A：a1 , a2 , ,

14、 am 線性表示(biosh)的充分必要條件是,矩陣(j zhn) A = (a1 , a2 , , am ) 的秩等于矩陣(j zhn),(A , B) = (a1 , , am , b1 , , bl ),的秩，即,R(A) = R(A , B) .,推論 向量組 A：a1 , a2 , , am 與向量組,B：b1 , b2 , , bl 等價的充分必要條件是,R(A) = R(B) = R(A , B) .,其中 A 和 B 是向量組 A 和 B 所構(gòu)成的矩陣.,第22頁/共33頁,第二十二頁，共33頁。,例 1 設(shè),證明向量(xingling) b 能由向量(xingling)組 1

15、 , 2 , 3 線性表示，并,求出表示(biosh)式.,第23頁/共33頁,第二十三頁，共33頁。,例 2 設(shè),證明(zhngmng)向量組 a1 , a2 與向量組 b1 , b2 , b3 等價.,第24頁/共33頁,第二十四頁，共33頁。,定理(dngl) 3 設(shè)向量組 B：b1 , b2 , , bl 能由向,量組 A：a1 , a2 , , am 線性表示(biosh)，則,R(b1 , b2 , , bl ) R(a1 , a2 , , am ) .,第25頁/共33頁,第二十五頁，共33頁。,四、定理(dngl)的比較,本節(jié)定理(dngl) 1 向量 b 能由向量組 A 線性

16、表示的,矩陣(j zhn) B = (a1 , a2 , . , am , b) 的秩.,充分必要條件是矩陣 A = (a1 , a2 , . , am) 的秩等于,上章定理 5 線性方程組 Ax = b 有解的充分,必要條件是 R(A) = R(A , b) .,第26頁/共33頁,第二十六頁，共33頁。,本節(jié)定理(dngl) 2 向量組 B：b1 , b2 , , bl 能由,向量(xingling)組 A：a1 , a2 , , am 線性表示的充分必要條,件是矩陣(j zhn) A = (a1 , a2 , , am ) 的秩等于矩陣(j zhn),(A , B) = (a1 , , am , b1 , , bl ),的秩，即,R(A) = R(A , B) .,上章定理 6 矩陣方程 AX = B 有解的充分,必要條件是 R(A) = R(A , B) .,第27頁/共33頁,第二十七頁，共33頁。,本節(jié)定理(dngl) 3 設(shè)向量組 B：b1 , b2 , , bl 能,由向量(xingling)組 A：a1 , a2 , , am 線性表示，則,R(b1 , b2 , ,