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1、第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系3-1 3-1 關于力矩的概念及其計算關于力矩的概念及其計算3-2 3-2 關于力偶的概念關于力偶的概念3-3 3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡.3-1 平面力對點之矩的概念和計算一、平面問題中力對點之矩（力矩）一、平面問題中力對點之矩（力矩）力矩通常以力矩通常以 來表示，來表示，M M的的下標下標O O表示力對哪一點取矩表示力對哪一點取矩力矩作用面，力矩作用面，稱為稱為矩心矩心，到力的作用線的垂直距離到力的作用線的垂直距離 稱稱為為力臂力臂 力對點之矩可看作是力對點之矩可看作是代數(shù)量代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與，它的絕對值

2、等于力的大小與力臂的乘積，它的力臂的乘積，它的正負正負：力使物體繞矩心逆時針轉向時為正，：力使物體繞矩心逆時針轉向時為正，反之為負。常用單位或反之為負。常用單位或.oABd由圖可知：由圖可知：的面積的面積.平面內力對點之矩是代數(shù)量，不僅與力的大小有關，且與矩心位置有關。平面內力對點之矩是代數(shù)量，不僅與力的大小有關，且與矩心位置有關。當當F=0=0 或或 h=0=0 時，時，=0=0。說明：說明：力對一已知點之矩，不因力沿作用線的移動而改變。力對一已知點之矩，不因力沿作用線的移動而改變。互成平衡的兩個力對同一點之矩的代數(shù)和為零。互成平衡的兩個力對同一點之矩的代數(shù)和為零。力的作用線通過距心，則力矩

3、為零；反之如果一個力的大小不為零，力的作用線通過距心，則力矩為零；反之如果一個力的大小不為零，但它對某點的力矩為零，則此點的作用線必定通過該點，即但它對某點的力矩為零，則此點的作用線必定通過該點，即 力矩的概念是對物體上固定點的作用引出的，實際作用在物體上的力力矩的概念是對物體上固定點的作用引出的，實際作用在物體上的力可以對任意點去矩，因此應該具體問題具體分析?？梢詫θ我恻c去矩，因此應該具體問題具體分析。.5FFxFyOxyxy平面內力矩的解析表達式平面內力矩的解析表達式dr.6合力矩定理合力矩定理定理定理定理定理：平面匯交力系的合力對作用面內任一點的矩，等于平面匯交力系的合力對作用面內任一點

4、的矩，等于力系中各分力對同一點的矩的代數(shù)和。力系中各分力對同一點的矩的代數(shù)和。已知：力系（已知：力系（F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)n）可以合成為一個合力）可以合成為一個合力FR則：則：平面力系：平面力系：.7 解解：用力對點的矩法用力對點的矩法 已知：如圖已知：如圖 F、Q、l,求：求：和和應用合力矩定理應用合力矩定理例例1 1根據(jù)具體情況，選擇計算量更小的方法進行力矩的計算。.例例2 2 支架如圖所示，已知支架如圖所示，已知ABAB=ACAC=30cm,=30cm,CDCD=15cm,=15cm,F F=100N,100N,求：求：對對A A、B B、C C三點之矩。三點之矩。解：由定義解：由定義由

5、合力矩定理由合力矩定理.9 解解：例例3 已知：如圖已知：如圖 F、R、r,求：求：應用合力矩定理應用合力矩定理ARFr FxFy 將方程式展開將方程式展開OB.3-2 關于力偶的概念受兩個受兩個大小相等大小相等的的反向平行力反向平行力作用的物體作用的物體顯然這些物體不滿足二力平衡條件，顯然這些物體不滿足二力平衡條件，不會達到平衡不會達到平衡。.在力學中，把在力學中，把大小相等、大小相等、方向相反、作用線平行而不方向相反、作用線平行而不重合重合的兩個具有特殊關系的的兩個具有特殊關系的力作為一個整體，稱為力作為一個整體，稱為力偶力偶。以以 表示。表示。兩力作用線所決定的平面稱為兩力作用線所決定的

6、平面稱為力偶的作用面力偶的作用面，兩力作用線間的距離稱為兩力作用線間的距離稱為力偶臂力偶臂。力偶是具有特殊關系的力組成的力系，雖然力偶力偶是具有特殊關系的力組成的力系，雖然力偶中每個力仍具有一般的力的性質，但作為一個整體又中每個力仍具有一般的力的性質，但作為一個整體又有它有它本身的特性。本身的特性。力偶的定義力偶的定義.力偶的性質力偶的性質1 1、力偶在任何坐標軸上的、力偶在任何坐標軸上的投影都等于零投影都等于零。因為力偶。因為力偶中的兩個力大小相等、方向相反、作用線平行。因中的兩個力大小相等、方向相反、作用線平行。因此投影必定為零。此投影必定為零。2 2、力偶不能合成為一個力，或者說力偶沒有

7、合力，、力偶不能合成為一個力，或者說力偶沒有合力，即它不能一個力平衡；力偶是最簡單的即它不能一個力平衡；力偶是最簡單的特殊力系特殊力系。3 3、力偶對物體不產(chǎn)生移動效應，只產(chǎn)生轉動、力偶對物體不產(chǎn)生移動效應，只產(chǎn)生轉動效應，即它可以而且也效應，即它可以而且也只能改變物體的轉動狀只能改變物體的轉動狀態(tài)。態(tài)。.力偶矩力偶矩一、力偶效應的度量一、力偶效應的度量-設在剛體上作用有力偶（設在剛體上作用有力偶（F，F(xiàn) ），），現(xiàn)研究它對現(xiàn)研究它對O點的轉動效應。點的轉動效應。力偶（力偶（F，F(xiàn) ）對）對O點的轉動效應可點的轉動效應可用一矩矢用一矩矢 M 來度量（稱之為力偶矩）。來度量（稱之為力偶矩）。力使

8、物體轉動的效應用力矩來度量，因此力偶對物體的力使物體轉動的效應用力矩來度量，因此力偶對物體的轉動效應也可以用力偶中的轉動效應也可以用力偶中的兩個力兩個力對其作用平面內對其作用平面內任意任意一點一點的的力矩之和力矩之和來度量。來度量。FFdOx力偶矩：力偶矩：力偶矩：力偶矩：M=FdM=Fd.力偶對物體的轉動效應取決于力偶對物體的轉動效應取決于三個要素三個要素a.a.力偶矩的大小：力與力偶臂乘積力偶矩的大?。毫εc力偶臂乘積b.b.力偶的轉動方向力偶的轉動方向c.c.力偶的作用面力偶的作用面+力偶的方向：順時針為力偶的方向：順時針為負；逆時針為正負；逆時針為正.同一平面內同一平面內力偶等效定理。力

9、偶等效定理。在同一平面內的兩個力偶，如果他們的在同一平面內的兩個力偶，如果他們的力偶矩力偶矩大小相等，大小相等，而且轉向相同，則這兩個力偶等效。而且轉向相同，則這兩個力偶等效。三組力偶，力的大小、作用位置、力偶臂的長度不同，但三組力偶，力的大小、作用位置、力偶臂的長度不同，但它們的力偶矩相等，轉向相同，三個力偶是等效的它們的力偶矩相等，轉向相同，三個力偶是等效的.=平面內作用一力偶加減平衡力系公理力的合成力的可傳性原理證明：平面內兩個等效的力偶，其力偶矩的大小相等，轉向相同證明：平面內兩個等效的力偶，其力偶矩的大小相等，轉向相同.力偶的性質力偶的性質性質性質1.1.力偶可以在其作用面內任意轉移

10、，而不改變它對力偶可以在其作用面內任意轉移，而不改變它對剛體的轉動效應。剛體的轉動效應。性質性質2 2：保持保持力偶矩力偶矩的大小和轉向不變的條件下，可以任的大小和轉向不變的條件下，可以任意改變力偶中意改變力偶中力和力偶臂的大小力和力偶臂的大小，而不改變力偶對剛體的，而不改變力偶對剛體的轉動效應。轉動效應。力偶矩（包括大小和方向）才是度量力偶對剛體轉動效應力偶矩（包括大小和方向）才是度量力偶對剛體轉動效應的依據(jù)。的依據(jù)。只要保證力偶矩的代數(shù)值不變，一個力偶就可以只要保證力偶矩的代數(shù)值不變，一個力偶就可以用同一平面內的另一個力偶代替而不改變它對剛體的轉動用同一平面內的另一個力偶代替而不改變它對剛

11、體的轉動效應。效應。性質性質3.3.力偶沒有合力，力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡力偶只能由力偶來平衡.1.力和力偶小結 力偶使剛體產(chǎn)生轉動；力可使剛體產(chǎn)生移動+轉動.2.力矩和力偶矩 同為度量轉動效應的物理量.力矩與距心位置有關，而力偶矩與矩心位置無關.3-3 3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡一、合成一、合成.結論：結論：平面力偶系合成的結果還是一個力偶（稱為平面力偶系合成的結果還是一個力偶（稱為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。數(shù)和。推廣得：推廣得：.平面力偶系總可以簡化為圖平面力偶系總可以簡化為圖示情形。若

12、示情形。若F=0，則力偶系平衡，則力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，則或是合力偶矩等于零，則或是F=0或是或是d=0，無論哪種情況，該力偶系均，無論哪種情況，該力偶系均平衡。因此可得結論：平衡。因此可得結論：平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即：即：上式稱為上式稱為平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程。二、平衡條件二、平衡條件.23 例例 在一鉆床上水平放置工件在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時鉆四個等直徑在工件上同時鉆四個等直徑 的孔的孔,

13、每個鉆頭的力偶矩為每個鉆頭的力偶矩為 求工件的總切削力偶矩和求工件的總切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力?解解:各力偶的合力偶距為各力偶的合力偶距為.24根據(jù)平面力偶系平衡方程有根據(jù)平面力偶系平衡方程有:由力偶只能與力偶平衡的性由力偶只能與力偶平衡的性質，力質，力NA與力與力NB組成一力偶。組成一力偶。.25 例例 已知：已知：M11kNm，l1m，求平衡時求平衡時M2?解解:AB:CD:BClAD45oEM1M2FEFAFCFEM2EClEABM1.26xy 例例 已知：已知：M13m/2，M2m/2，CD=l，求：求：AB、AC 桿所受力。桿所受力。解解:CD:C:FACFCCBCDM1M2A M1M2DCFD FCFBC.系統(tǒng)如圖，系統(tǒng)如圖，ABAB桿上作用矩為桿上作用矩為M M的力的力偶，設偶，設AC=2RAC=2R，R R為輪為輪C C的半徑，各物體的半徑，各物體的重量及摩擦不計。求繩子的拉力和的重量及摩擦不計。求繩子的拉力和鉸鉸A A對對ABAB桿的約束反力及地面對輪桿的約束反力及地面對輪C C的的反力。反力。解：先以解：先以ABAB桿為研究對象，受力如圖。桿為研究對象，受力如圖。由幾何關系：由幾何關系：所以：所以：例例.再以輪再以輪C為研究對象，受力為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標。如圖，建立如圖坐標。其中：其中：解之得：解之得：.