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1、高考總復習第2講 空間圖形的基本關(guān)系與公理 基礎(chǔ)題組練1四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有()A4個 B3個C2個 D1個解析：選A.首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面2已知l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點l1，l2，l3共面解析：選B.在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯；兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱

2、，故C錯；共點的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯3如圖，ABCDA1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是()AA，M，O三點共線 BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面解析：選A.連接A1C1，AC，則A1C1AC，所以A1，C1，C，A四點共面，所以A1C平面ACC1A1，因為MA1C，所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上所以A，M，O三點共線4.(2020廣東東莞模擬)如圖，在三

3、棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()ACC1與B1E是異面直線BAC平面ABB1A1CAE，B1C1為異面直線，且AEB1C1DA1C1平面AB1E解析：選C.因為CC1與B1E都在平面CC1B1B內(nèi)，且CC1與B1E是相交直線，所以選項A錯誤假設(shè)AC平面ABB1A1，則ACAB，即CAB90，從而可得C1A1B190，這與題設(shè)“底面三角形A1B1C1是正三角形”矛盾，故假設(shè)錯誤，即選項B錯誤因為點B1AE，直線B1C1交平面AEB1于點B1，所以AE，B1C1為異面直線；由題意可知ABC是正三角形，又E

4、是BC的中點，所以AEBC，結(jié)合BCB1C1可得AEB1C1，故選項C正確因為直線AC交平面AB1E于點A，又ACA1C1，所以直線A1C1與平面AB1E相交，故選項D錯誤綜上，選C.5在各棱長均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，已知M是棱BB1的中點，N是棱AC的中點，則異面直線A1M與BN所成角的正切值為()A. B1C. D解析：選C.法一：如圖，取AA1的中點P，連接PN，PB，則由直三棱柱的性質(zhì)可知A1MPB，則PBN為異面直線A1M與BN所成的角(或其補角)設(shè)三棱柱的棱長為2，則PN，PB，BN，所以PN2BN2PB2，所以PNB90，在RtPBN中，tanPBN，故選C.法二：

5、以N為坐標原點，NB，NC所在的直線分別為x軸，y軸，過點N與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AB2，則N(0，0，0)，A1(0，1，2)，B(，0，0)，M(，0，1)，所以(，0，0)，(，1，1)，設(shè)直線A1M與BN所成的角為，則cos |cos，|，則sin ，tan .6如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且，則下列說法正確的是_EF與GH平行；EF與GH異面；EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；EF與GH的交點M一定在直線AC上解析：連接EH，F(xiàn)G(圖略)，依題意，

6、可得EHBD，F(xiàn)GBD，故EHFG，所以E，F(xiàn)，G，H四點共面因為EHBD，F(xiàn)GBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點為M.因為點M在EF上，故點M在平面ACB上同理，點M在平面ACD上，所以點M是平面ACB與平面ACD的交點，又AC是這兩個平面的交線，所以點M一定在直線AC上答案：7一正方體的平面展開圖如圖所示，在這個正方體中，有下列四個命題：AFGC；BD與GC成異面直線且夾角為60；BDMN；BG與平面ABCD所成的角為45.其中正確的是_(填序號)解析：將平面展開圖還原成正方體(如圖所示)對于，由圖形知AF與GC異面垂直，故正確；對于，BD與GC顯然成異面直線如

7、圖，連接EB，ED，則BEGC，所以EBD即為異面直線BD與GC所成的角(或其補角)在等邊BDE中，EBD60，所以異面直線BD與GC所成的角為60，故正確；對于，BD與MN為異面垂直，故錯誤；對于，由題意得，GD平面ABCD，所以GBD是BG與平面ABCD所成的角但在RtBDG中，GBD不等于45，故錯誤綜上可得正確答案：8(2020河南安陽調(diào)研四)在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E平面AA1B1B，點F是線段AA1的中點，若D1ECF，則當EBC的面積取得最小值時，_解析：如圖所示，連接B1D1，取AB的中點G，連接D1G，B1G.由題意得CF平面B1D1G，所以當點E在直線B1G上

8、時，D1ECF，設(shè)BCa，則SEBCEBBCEBa，當EBC的面積取最小值時，線段EB的長度為點B到直線B1G的距離，所以線段EB長度的最小值為，所以.答案：9如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點證明：(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.因為E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，所以EFBA1.又A1BD1C，所以EFCD1，所以E，C，D1，F(xiàn)四點共面(2)因為EFCD1，EFCD1，所以CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，如圖所示則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面A

9、DD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，所以P直線DA，所以CE，D1F，DA三線共點10.如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，D是PC的中點已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱錐PABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解：(1)SABC222，三棱錐PABC的體積為VSABCPA22.(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則EDBC，所以ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.綜合題組練1(2020廣東深圳二模)已知正方體ABCDA1B1C1D1，P為棱

10、CC1上的動點，Q為棱AA1的中點，設(shè)直線m為平面BDP與平面B1D1P的交線，則()AmD1QBm平面B1D1QCmB1QDm平面ABB1A1解析：選B.因為正方體ABCDA1B1C1D1中，P為棱CC1上的動點，Q為棱AA1的中點，直線m為平面BDP與平面B1D1P的交線，且BDB1D1，所以mBDB1D1，因為m平面B1D1Q，B1D1平面B1D1Q，所以m平面B1D1Q.故選B.2在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1和AB的中點，平面B1EF交棱AD于點P，則PE()A. B C. D解析：選D.過點C1作C1GB1F，交直線CD于點G，過點E作HQC1G，

11、交CD延長線，C1D1于點H，Q，連接B1Q，HF交AD于點P，HQB1F，所以Q，H，F(xiàn)，B1四點共面，易求得HDD1Q，由PDHPAF可得2，則PD，在RtPED中，PE ，故選D.3.如圖，在直二面角ABDC中，ABD，CBD均是以BD為斜邊的等腰直角三角形，取AD的中點E，將ABE沿BE翻折到A1BE，在ABE的翻折過程中，下列不可能成立的是()ABC與平面A1BE內(nèi)某直線平行BCD平面A1BECBC與平面A1BE內(nèi)某直線垂直DBCA1B解析：選D.連接CE，當平面A1BE與平面BCE重合時，BC平面A1BE，所以平面A1BE內(nèi)必存在與BC平行和垂直的直線，故A，C可能成立；在平面BC

12、D內(nèi)過B作CD的平行線BF，使得BFCD，連接EF，則當平面A1BE與平面BEF重合時，BF平面A1BE，故平面A1BE內(nèi)存在與BF平行的直線，即平面A1BE內(nèi)存在與CD平行的直線，所以CD平面A1BE，故B可能成立若BCA1B，又A1BA1E，則A1B為直線A1E和BC的公垂線，所以A1BCE，設(shè)A1B1，則經(jīng)計算可得CE，與A1BCE矛盾，故D不可能成立故選D.4如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動，點N在正方體的底面ABCD內(nèi)運動，則MN的中點P的軌跡的面積是_解析：連接DN，則MDN為直角三角形，在RtMDN中，MN2，P為M

13、N的中點，連接DP，則DP1，所以點P在以D為球心，半徑R1的球面上，又因為點P只能落在正方體上或其內(nèi)部，所以點P的軌跡的面積等于該球面面積的，故所求面積S4R2.答案：5.已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為2，A1在底面ABC內(nèi)的射影O為底面三角形ABC的中心，如圖所示(1)連接BC1，求異面直線AA1與BC1所成角的大?。?2)連接A1C，A1B，求三棱錐C1BCA1的體積解：(1)因為AA1CC1，所以異面直線AA1與BC1所成的角為BC1C或其補角連接AO，并延長與BC交于點D，則D是BC邊上的中點因為點O是正三角形ABC的中心，且A1O平面ABC，所以BCAD，BCA

14、1O，因為ADA1OO，所以BC平面ADA1.所以BCAA1，又因為AA1CC1，所以CC1BC，BCCC1B1C1BB12，即四邊形BCC1B1為正方形，所以異面直線AA1與BC1所成角的大小為.(2)因為三棱柱的所有棱長都為2，所以可求得AD，AOAD，A1O.所以VABCA1B1C1SABCA1O2，VA1BCC1B1VABCA1B1C1VA1ABC，所以VC1BCA1VA1BCC1VA1BCC1B1.6.(2020衡陽模擬)如圖，四棱錐MABCD中，CDADAB90，AB2DC，MCD與MAD都是等邊三角形，且點M在底而ABCD上的射影為O.(1)證明：O為AC的中點；(2)求異面直線

15、MD與BC所成角的大小解：(1)證明：連接AC，取AC的中點N，連接MN，DN，因為MCD與MAD都是等邊三角形，且公共邊為MD，所以MCMAMDDADC，又因為N是AC的中點，所以MNAC，在RtADC中，DNNCAC，所以MNDMNC，得MNDN.又因為DNACN，所以MN平面ABCD，故點M在底面上的射影為N，又已知點M在底面ABCD上的射影為O，所以N與O重合，即O為AC的中點(2)設(shè)MCMAMDDADCa，AB2DC2a，因為CDADAB90，所以ACBCa，則AC2BC2AB2，即ACB90.又因為DADC，O是AC的中點，所以DOCACB90，所以DOBC，故異面直線MD與BC所成角為MDO.在RtMDO中，DOMOa，所以MDO45，即異面直線MD與BC所成角為45.9