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1、【步步高】（江蘇專用）2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 5.3 平面向量的數(shù)量積 理1向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作a，b，則AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是0，2平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，為a與b(或e)的夾角則(1)eaae|a|cos .(2)abab0

2、.(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，ab|a|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab|a|b|.特別地，aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.4平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)abba；(2)(a)ba(b)(ab)ab(為實(shí)數(shù))；(3)(ab)cacbc.5平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，則|a|2x2y2或|a|.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|.(3)設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.【思考辨析】判斷下面

3、結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量()(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(3)在四邊形ABCD中，且0，則四邊形ABCD為矩形()(4)兩個(gè)向量的夾角的范圍是0，()(5)由ab0可得a0或b0.()(6)(ab)ca(bc)()1已知向量a，b的夾角為60，且|a|2，|b|1，則向量a與向量a2b的夾角等于_答案30解析設(shè)向量a與向量a2b的夾角為.|a2b|2444ab88cos 6012，|a2b|2，a(a2b)|a|a2b|cos 22cos 4cos ，又a(a2b)a22ab44c

4、os 606，4cos 6，cos ，0，180，30.2已知菱形ABCD 的邊長(zhǎng)為a，ABC60，則_.答案a2 解析如圖所示，由題意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2，BDa.|cos 30a2a2.3已知單位向量e1，e2的夾角為，且cos ，若向量a3e12e2，則|a|_.答案3解析|a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e1|212e1e24|e2|29121149.|a|3.4已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若()，則與的夾角為_答案90解析由()可知點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，即BC為圓O的直徑，又因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角為

5、直角，所以BAC90，所以與的夾角為90.5已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120，則向量b在向量a方向上的投影為_答案2解析由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos 4cos 1202.題型一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)(2015四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4，若點(diǎn)M，N滿足3，2，則_.(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_；的最大值為_答案(1)9(2)11解析(1)，(43)(43)(16292)(1662942)9.(2)方法一以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1,0)，C(1,1

6、)，D(0,1)，設(shè)E(t,0)，t0,1，則(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因?yàn)?1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值為1.方法二由圖知，無論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB1，|11，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大即為DC1，()max|11.思維升華(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義(2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí)，可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)再運(yùn)算，但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，

7、2，則_.(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則_.答案(1)22(2)2解析(1)由3，得，.因?yàn)?，所以()()2，即222.又因?yàn)?25，264，所以22.(2)由題意知：()()()()224022.題型二用數(shù)量積求向量的模、夾角命題點(diǎn)1求向量的模例2(1)已知向量a，b均為單位向量，它們的夾角為，則|ab|_.(2)(2014湖南)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足|1，則|的最大值是_答案(1)(2)1解析(1)因?yàn)橄蛄縜，b均為單位向量，它們的夾角為，所以|ab| .(2)設(shè)D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)

8、2y21，即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.問題轉(zhuǎn)化為圓(x3)2y21上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1，)間距離的最大值圓心C(3,0)與點(diǎn)P(1，)之間的距離為，故的最大值為1.命題點(diǎn)2求向量的夾角例3(1)(2015重慶)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為_(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_答案(1)(2)解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，設(shè)a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|2

9、0，|b|2|b|2cos 2|b|20，cos .又0，.(2)2a3b與c的夾角為鈍角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，則2k312，即k.當(dāng)k時(shí)，2a3b(12，6)6c，即2a3b與c反向綜上，k的取值范圍為.思維升華(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，可以求向量的模、夾角，解決垂直、夾角問題；兩向量夾角為銳角的充要條件是cos 0且兩向量不共線；(2)求向量模的最值(范圍)的方法：代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解(1)已知單位向量e1

10、與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos _.(2)在ABC中，若A120，1，則|的最小值是_答案(1)(2)解析(1)|a| 3，|b| 2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，cos .(2)1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.題型三平面向量與三角函數(shù)例4(2015廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)因?yàn)閙，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0

11、，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因?yàn)閨m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因?yàn)?x，所以x，所以x，即x.思維升華平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等(2015懷化二模)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量(3sin ，cos )，(2sin ，5sin 4cos )，且，則tan 的值為_答案解析由題意知6s

12、in2cos (5sin 4cos )0，即6sin25sin cos 4cos20，上述等式兩邊同時(shí)除以cos2，得6tan25tan 40，由于，則tan 0，解得tan .6向量夾角范圍不清致誤典例(14分)若兩向量e1，e2滿足|e1|2，|e2|1，e1，e2所成的角為60，若向量2te17e2與向量e1te2所成的角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍易錯(cuò)分析兩個(gè)向量所成角的范圍是0，兩個(gè)向量所成的角為鈍角，容易誤認(rèn)為所成角為鈍角，導(dǎo)致所求的結(jié)果范圍擴(kuò)大規(guī)范解答解設(shè)向量2te17e2與向量e1te2的夾角為，由為鈍角，知cos 0，故(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2t215t70，解得7t.5分再設(shè)向量2te17e2與向量e1te2反向，則2te17e2k(e1te2)(k0)，8分從而且k0，解得即當(dāng)t時(shí)，兩向量所成的角為.12分所以t的取值范圍是(7，)(，)14分溫馨提醒(1)兩個(gè)非零向量的夾