《(新課標(biāo))高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量與復(fù)數(shù)5.3平面向量的數(shù)量積習(xí)題理.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《(新課標(biāo))高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量與復(fù)數(shù)5.3平面向量的數(shù)量積習(xí)題理.docx（23頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、5.3 平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的概念已知兩個(gè)非零向量 a與b,我們把數(shù)量 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi) 積)，記作,即 a - b = ，其中 0 是 a與 b的夾角， | a|cos 0 (| b|cos 0)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的.a b的幾何意義：數(shù)量積 a b等于.2數(shù)量積的運(yùn)算律及常用結(jié)論(1) 數(shù)量積的運(yùn)算律交換律： ；數(shù)乘結(jié)合律： ；分配律： (2) 常用結(jié)論(a ± b) 2=;(a+ b) ( a - b) =; a2+ b2= 0? ; | | a| | b| | | a| | b| .3數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a, b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，

2、0是a與e的夾角，則 e , a=. ab? .當(dāng)a與b同向時(shí)，a - b=;當(dāng)a與b反向時(shí)，a - b=.特別地，a - a =或| a| =. cos 0 =. | a b | <.4.數(shù)量積的坐標(biāo)表不設(shè) a=（xi, yi） , b = （X2, y2）,則（Da - b =; a2=; | a| = a'b? . | x1 x2 + y 1 y21 <.自查自糾1. | a| | b| cos 6 a ' b | a| b|cos 6 投影 a的長(zhǎng)度| a|與b在a的方向上的投影 | b| cos 0的乘積2 . a b = b a （入 a） b=入（a

3、b） = a （入 b）（a + b） , c= a - c+ b , c（2）a?±2a b+b?a?一b?a=0 且 b= 03 . |a|cos e ab=0 S| b| - | a| b|a|2la|b|4 . xiX2 + yy x2+ y2 >j'x2 + y2 Xi X2 + yi y2 = 0 jx2- y2x2+ y22/22(2015 全國(guó)卷n)向量a= (I ,1), b=( 1, 2),則(2a+b) a=()A1 B 0C1D 223 / 22解：因?yàn)?2a+ b=2(1 ,1) + ( 1, 2) = (1 , 0),所以(2a+b) a=(

4、1 , 0) (1 ,一1)= 1.故選 C.(2015 廣東)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知四邊形 ABC匿平行四邊形，AB= (1 , 2), AD= (2, 1),則AD-AC=()A 2B 3C 4D 5解：因?yàn)樗倪呅?ABCD是平行四邊形，所以 AC=AB+ADu (1 , 2) + (2, 1)=(3,1),所以 AD- AC= 2X3+1 X( 1) =5.故選 D.(2015 北京)設(shè)a, b是非零向量，"a - b= | a| b|"是"a/ b”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解：a -

5、b= |a|b|cos a,b.若 a - b= | a| b| ,貝U cosa, b= 1,即a, b>=0,可得 a/ b；若a/ b,則a,b> = 0 或 兀，此時(shí) a - b= |a| b| 或 a - b= - | a| b|.故" a b= | a| b| "是“ a / b”的充分而不必要條件.故選 A.在正三角形ABC扎D是BC上的點(diǎn),若 AB= 3, BD= 1,貝UAB- AD=解：如圖所示，危而=危（超前 =9+ 3Xcos120° =15，故填（2015安徽）4ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a, b滿足AB= 2a,

6、 AC= 2a+b,則下列結(jié)論中正確的是 .（寫 出所有正確結(jié)論的編號(hào)）a為單位向量；b為單位向量；ab；b/曲 （4a+b），BC 解：由 AB= 2a, AC= 2a+b 得 a=AB b = AC- 2a=BC 正確；|a|=j AB = 1, 正確；|b| =|BC=2,錯(cuò)誤；a與b的夾角為120°，錯(cuò)誤；（4a + b） b=4a b+b2 = -4+4=0,正確.故填.類型一數(shù)量積的定義及幾何意義(1)若a, b, c均為非零向量，則下列說(shuō)法正確的是 .(填寫序號(hào)即可) a b= ± | a| | b| ? a / b;a, b? a - b= 0；a - c=

7、 b - c? a= b；(a - b) c=a (b c).解：a - b= | a| | b| cos 0 , 0為a, b的夾角，則cos 8 = ±1 ,正確；顯然正確；錯(cuò)誤，如 a=- b, a±c,則ac=b c=0,但awb；錯(cuò)誤，因?yàn)閿?shù)量積的運(yùn)算 結(jié)果是一個(gè)數(shù)，即等式左邊為c的倍數(shù)，等式右邊為 a的倍數(shù).故填 .(2) ABC的外接圓的圓心為 O,半徑為1,若麗武三2AO 且10A =1 AC ,則向量ba在向量bc方向上的投影為()D.一當(dāng) C. 3Bf3A.2解：由已知可以知道， ABC的外接圓的圓心在線段 BC的中點(diǎn)O處，因此 ABC是直角三角形.且

8、/ A=,又因?yàn)閨 OA = I CA = I OC ,C=-3, /b=-6-,AB=0 AC 一 n 3.=I,故BMBCT向上的投影為| BAcos -y = 2.故選A【點(diǎn)撥】 數(shù)量積a , b= | a| b| cos 0 = X1X2+yiy2(其中兩向量夾角為0 , a=(xi,yi) , b=(X2, y2).其幾何意義是：a - b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影I b|cos e的乘積.在理解數(shù)量積與投影概念的基礎(chǔ)上，利用二者的關(guān)系解題.(1)已知平面向量a = (xi, yi),(x2, y。，一 xi +yi若 |a| =2, |b| =3, a - b= 6.

9、貝隈2十；2 的值為() 即向量 a 與 b 反向，則 3a+2b=0.由此可得 3(xi, yi)+2(x2, y» = (0 , 0),得 xi =解：因?yàn)?ab = |a| b|cos a, b5C.62B-32A.3=2 x 3 x cos ab> = 6,所以 cosa, b> =22拓xl+yl 2 拓、.3x2, y1= 一行山，故近而=a.故選B.(2)(2013 湖北)已知點(diǎn) A(-1, 1), B(1 , 2), Q2,B.FD.孝1) , D(3 , 4),則向量 AfeCDf向上的投影為(C _芋解:投影為 | AB|cosAB, Cb =AL C

10、D_15 _京=求2+52=弩.故選.AB= (2, 1), C話(5, 5),由向量數(shù)量積的幾何意義知向量ABsCD方向上的類型二數(shù)量積的基本運(yùn)算2式，、已知e2是夾角為23的兩個(gè)單位 3向量，a=e1 -2e2, b=kede2,若ab = 0,則實(shí)數(shù)k的值為.解：因?yàn)?a b = ( e 2e2) (ke1 +e2) = ke2+(1 2k)( e1 e2) 2e2,且 |e|=|e2| =1 一1. 一 5 . 51, e1 - e2= - 2,所以 k+ (1 - 2k) - - -2=0,解得 k=%.故填.【點(diǎn)撥】 實(shí)數(shù)與數(shù)量積的運(yùn)算雖有諸多相似之處，但應(yīng)明確二者的區(qū)別，如a -

11、 b =0a 或 b 為 0, a - b= a - gb= c, (a b) cwa ( b c)等.(1)已知兩個(gè)單位向量ei, e2的夾角，式4- u,r，為三，右向重 bi= ei 2e2, b2=3ei + 4e2,則 bi , b2=3一 、，一 ，、_ _ 式 一解：bib2= (ei 2e2)(3ei + 4e2)= 3e2 2eie2 8e2=3 2x 1x 1 x cos- 8=36.故填6.(2)( 20i4 新課標(biāo)全國(guó)卷n )設(shè)向量a, b滿足| a+b| =近0, | ab| =J6,則a-b=()D. 5C. 3B. 2A. i解：(a+b)2=io, (ab)2=

12、6,兩式相減得 4a b=4, a - b= i.故選 A.類型三 用數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系(i)已知向量a= (x i , 2) , b =(2 , i),則ab的充要條件是()iB. x= - iA. x=-D. x= 0C. x = 5解：由向量垂直的充要條件得2( x 1) +2=0,所以x= 0.故選D.(2)已知兩個(gè)非零向量 a, b滿足| a + b| = | a b| ,則下面結(jié)論正確的是()B. aX bA. a " bD. a + b = a bC. | a| = | b|解法一：I a+ b| = | a-b| , -1 | a + b| 2= | a

13、-b|2,1. a2+ 2a - b+ b2= a2 2a b+ b2,得 a b= 0, 1- aX b.解法二：a+b, ab分別是以a, b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線. ; Ia+b| =| a b| ,.平行四邊形的對(duì)角線相等.，該平行四邊形為矩形，ab.故選B.【點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,即：a=(xi, yi), b=(x2,y2),則aX b? a , b= 0? xix?+yiy2= 0.應(yīng)認(rèn)識(shí)到此充要條件對(duì)含零向量在內(nèi)的所有向量均 成立，因?yàn)槲覀冇挚梢暳阆蛄颗c任意向量垂直.(1)在直角三角形 ABC中，已知AB=(2 , 3), AC= (1 ,

14、k),則 k 的值為解：當(dāng)A= 90°時(shí)，. ABLAC - AB- AC= 0.22x 1 + 3k=0,解得 k=-.3當(dāng)B= 90°時(shí)，.Abi的又 BC= AC- AB= (1 , k) - (2 , 3)=(1, k-3),11.AB- BC= 2X( 1) +3X( k-3) = 0,解得 k=.3當(dāng) C= 90° 時(shí)，Ab± bC,1 x ( 1) + k(k3) = 0,即 k23k1 = 0. k =（2）（ 2013-山東）已知向量A* AC勺夾角為120° ,且| AB| =3, | AC|=2.若A入AAC 且AP1BC 則實(shí)數(shù) 入的值為解：. 鼠址一而 Ap1 冊(cè) 貝心入Ab+AC （Ab-曲:入Ab-Ab-入危+ AC2AC AB= - 12 入+ 7=0, . .入