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1、§ 5.1 平面向量的概念及線性運算1 .向量的有關概念(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小，也就是向一一 ， ,， 量的(或稱模).AB勺模記作 .(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是 的.(3)單位向量：長度等于的向量叫做單位向量.7是一個與a同向的|a|.一號是一個與a的單位向量.|a|(4)平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量.平行向量又叫,任一組平行向量都可以移到同一直線上.規(guī)定：0與任一向量.(5)相等向量：長度 且方向 的向量叫做相等向量.(6)相反向量：長度 且方向 的向量叫做相反向量.(7) 向量的表示方法： 用 表示； 用 表示； 用 表示.2

2、 .向量的加法和減法(1)向量的加法三角形法則：以第一個向量 a的終點A為起點作第二個向量 b,則以第一個向量 a 的起點 O為 以第二個向量 b的終點 B為 的向量O瞅是a與b的推廣：A1A2+ A2AR +An-1An=6 / 191圖2平行四邊形法則：以同一點A為起點的兩個已知向量a, b為鄰邊作？ABCD則以A為起點的 就是a與b的和（如圖2）.在圖2中，Bb=Ab= b,因此平行四邊形法 則是三角形法則的另一種形式加法的運算性質：a+ b=（交換律）；（a+ b） +c=（結合律）；a+ 0 = a.（2） 向量的減法已知向量 a, b,在平面內任取一點O,作OA= a, OB= b

3、,則BA=,即a b 表示從向量b 的終點指向向量a（ 被減向量） 的終點的向量（ 如圖 ） 3 向量的數乘及其幾何意義 定義：實數 入與向量a的積是一個向量，記作 ,它的長度與方向規(guī) 定如下：|入a | =;當人0時，入a與a的方向;當入0時，入a與a的方向;當入=0時，X a =.(2)運算律：設 入，C R,則： 入(1 a) =;(入 +(1) a=； 入(a+b) =.4兩個向量共線定理向量a(aw。)與b共線的充要條件是有且只有一個實數入，使得.自查自糾i. (1)大小方向長度| aB|(2) 長度為 0 任意(3)1 個單位長度 單位向量方向相反(4) 相同 相反 非零共線向量平

4、行(5) 相等 相同 (6) 相等 相反(7) 字母有向線段坐標2. (1)起點 終點 和 A1An對角線AC b a a ( b c)0 a (2) a b3. (1)入a|入| a|相同相反 0(2)(入a)入a+a入a+入b4. b=入a設 a0 為單位向量， 若 a 為平面內的某個向量，則a=|a|a0;若a與ao平行，則a= | a|a°若a與ao平行且| a| = 1,則a= a°.上述命題中，假命題的個數是（）D 3C 2B 1A o解： 向量是既有大小又有方向的量， a 與| a| ao 的模相同， 但方向不一定相同 ， 故是假命題；若a與ao平行，則當a為

5、零向量時，a的方向任意；當a不為零向量時，a與ao 的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a=|a|ao,故也是假命題.綜上所述，假命題的個數是3. 故選D.設D為4ABC所在平面內一點，BC=3CD 則(14-»A. AD= -AB+ -AC14>B.AD= -AB-管c.Ad= 4ab+ 軟41fD.AD= -AB-資（2015 東北三省聯考）在四邊形 ABCD中，若AC= AB+ AD則四邊形 ABCD-.定是（B.菱形A.矩形D.平行四邊形C.正方形 一 .、一、I -Z一,Z 一 _ 一一一.解：依題意得AC= AB+ BC= AB+ AQ則BC= AD,因此

6、BC/ AD且BC= AD,故四邊形D.ABCD-定是平行四邊形.故選（2015 北京）在 ABC中，點M, N滿足AM= 2MC BN=NC若Mn= xAB3+ yAC 則 x=, y=.解：在 ABC扎 Mn= AN-AM= 1（麗 AC-2AC= 1-ABr- 1AC 所以x=-, y= -7.故填232626工_ J5；一百(2015 全國)設向量a, b不平行，向量入a+b與a+2b平行，則實數入=.解：由于入a+b與a+ 2b平行，且a+2bw0,，存在唯一的實數e R,使得 入a+入一！ 二 0,b= (1 (a+ 2b),即(入 一 w )a + (1 2 w )b = 0.

7、丁 a, b 不平行，/ c _ 解得 入=1 2= 0,11L =5.故填,類型一向量的基本概念給出下列命題：若 | a| = | b|,則 a= b；若A, B, C, D是不共線的四點，則“晶=& 是“四邊形ABCM平行四邊形”的充要條件；若 a= b, b= c,則 a= c；a=b的充要條件是| a| = | b|且a/ b.其中正確命題的序號是 .解：不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.正確.晶=氏，|麗=|而且晶/氏又.A B, C, D是不共線的四點，四 邊形ABC時平行四邊形；反之，若四邊形 ABCM平行四邊形，則曲/次且|而=|貢, 可得危=氏故&q

8、uot;龜=女 是"四邊形ABC時平行四邊形”的充要條件.正確.: a=b, a, b的長度相等且方向相同；又 b=c,.b, c的長度相等且方7/19向相同，a, c的長度相等且方向相同，故 a= c.不正確.由a= b可得| a| = | b|且a/b;由| a| = | b|且a/b可得a=b或a=b, 故"I a| = |b|且a/ b"不是"a= b"的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號是.故填 .【點撥】（1）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.（2）共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.（3）向量

9、可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解aa題時，不要把它與函數圖象白移動混為一談.（4）非零向量a與的關系： 丁是a方向上|a|a|的單位向量.下列命題中，正確的是.（填序號）有向線段就是向量，向量就是有向線段；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；向量利向量CD曲線，則A, B, C, D四點共線； 如果a/b, b/ c,那么a/c；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.解：不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；不正確，若a與b中有一個為零向量，零向量的方向是任意的，故兩向量方向不一定相同或相反；不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可

10、以平行；不正確，如果b為零向量，則a與c不一定平行；正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大??；向量的模均為實數，可以比較大小.故填.類型二 向量的線性運算(1)如圖，正方形 ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC上靠近點B的一個三等分點，那么E等于(1B?B+2ad11AqAB-手D11 / 19解：在CEFK因為點E為DC的中點，因為點F為BC的一個三等分點，有 EF=EC+CF 所以EC= 'DC 所以 CF= 1cib 172；t>172f172T所以 EF= 3DO -CB= -AB+ 鼻DA= AB-AD 232323故選D.（2）在ABC, AB= c, AC-b

11、,若點D滿足BD= 2氏 則A孱于（）52,A 2 , 1B. qC qbA.-b + -C3333122,1D-b + -cC.,b&c3333解：-. Be）= 2DC Ad-Ab= 2（AC>Ad）, 2» 1 » 213AD= 2AC AB，AD= Aa zAB=中+站. 3333故選A.【點撥】（1）解題的關鍵在于搞清構成三角形的三個向量間的相互關系，能熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉化.（2）用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧是：觀察各向量的位置；尋找相應的三角形或多邊形；運用法則找關系；化簡結果.(1)( 20

12、15 福建模擬)在 ABC中，AD= 2DC BA= a, BD= b, Bc>c,則下列等式成立的是()B. c=2a-bA. c=2ba3b a3abD- c=7-2C- c=7-2解：因為在 abc中，B>Bd>d>BD* 2AD=擒 2( BD-BA) = 3BD-t,Ba 所以 c=|b1 一，一2a.故選D(2)( 2014 全國I )設D, E, F分別為4ABC的三邊BC CA AB的中點，則EB+FC-()11D.2BCC.BCB.-ADA. AD-1 -> > 1 -> ->解：EB+FO 2( AB+CEB+2( AC+BC

13、1 f f.=-(AB+AQ =AD 故選 A.類型三向量共線的充要條件及其應用已知 A, B, C是平面內三個不相同的點，o是平面內任意一點，求證：向量OA OB OC勺終點 A b c共線的充要條件是存 在實數 入，,使得OC=入OAbwOB且入+ = 1. 證明：(i)先證必要性.若OA OB OC勺終點A b c共線，貝uAB/ BC存在實數 m使得BC= mAh 即OC-OB= mOB-OA, p-一 一 言一 . OC= rOAF (1 + m OB令人=ml (i = 1+ ml 則 入+w = m1 1 + m= 1, > 一 即存在實數 入，w ,使得OC=入O/V w

14、 OB且入+ W = 1.(2)再證充分性.若OC=入OAfOB 且入+ =1,則 OC= xOAf(1 -入)Ob.OC-OB= x(oa-Oe),即鼠入的Be/ BA 又 BCW BA有公共點 B, .A, B, C三點共線. 綜合(1)(2)可知，原命題成立.【點撥】 證明三點A, B, C共線，借助向量，只需證明由這三點A B, C所組成的向量中有兩個向量共線，即證明存在一個實數入，使AB=入BC但證明兩條直線 AB/ CD除了證明存在一個實數入，使AB=入CD7卜，還要說明兩直線不重合.注意：本例的結論可作定理使用.(1)已知向量 a, b,且AB= a+2b,BC= 5a+6b, &A 7a 2b,則一定共線的三點是()B. A, B, CA. A B, DD. A, C, DC. B, C, D 一