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1、【步步高】（江蘇專(zhuān)用）2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 理1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x

2、1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2) (a0)，如果ab，那么x1y2x2y10；反過(guò)來(lái)，如果x1y2x2y10，那么ab.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.()(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)()1設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，那

3、么下列說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))若實(shí)數(shù)1，2使1e12e20，則120；空間內(nèi)任一向量a可以表示為a1e12e2(1，2為實(shí)數(shù))；對(duì)實(shí)數(shù)1，2，1e12e2不一定在該平面內(nèi)；對(duì)平面內(nèi)任一向量a，使a1e12e2的實(shí)數(shù)1，2有無(wú)數(shù)對(duì)答案2在ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且2，rs，則rs_.答案0解析因?yàn)?，所以()，則rs0.3在ABCD中，AC為一條對(duì)角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)4設(shè)0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，則tan _.答案解析ab，sin 21cos2 0，2sin cos cos2 0，0，co

4、s 0，2sin cos ，tan .5已知ABCD的頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)答案(1,5)解析設(shè)D(x，y)，則由，得(4,1)(5x,6y)，即解得題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(1)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若，則_.(2)如圖，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)答案(1)(2)解析(1)因?yàn)?)22，所以，所以.(2)設(shè)k，kR.因?yàn)閗k()k()(1k)，且m，所以1km，解得k，m.思維升華(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或

5、數(shù)乘運(yùn)算(2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決(1)在平行四邊形ABCD中，e1，e2，則_.(用e1，e2表示)(2)如圖，已知點(diǎn)G是ABC的重心，過(guò)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且x，y，則的值為_(kāi)答案(1)e1e2(2)解析(1)如圖，2()e2(e2e1)e1e2.(2)易知，xy，故.由于與共線，所以yx，即xy(xy)，因此.題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，則c_.(2)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，1)，則與向量A同方向的單位向量為_(kāi)答案

6、(1)(2)解析(1)由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)所以c.(2)AOO(4，1)(1,3)(3，4)，與A同方向的單位向量為.思維升華向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則(1)已知點(diǎn)A(1,5)和向量a(2,3)，若3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)(2)在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則_.答案(1)(5,14)(2)(6,21)解析(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則(x1，y5)由3a，得解得(2)33(2)63(6,30)(

7、12,9)(6,21)題型三向量共線的坐標(biāo)表示命題點(diǎn)1利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)例3(1)已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，則2a3b_.(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)答案(1)(4，8)(2)(2,4)解析(1)由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)，即m4.從而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)(2)在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2

8、y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)命題點(diǎn)2利用向量共線求參數(shù)例4若三點(diǎn)A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案解析(a1,3)，(3,4)，根據(jù)題意，4(a1)3(3)，即4a5，a.命題點(diǎn)3求交點(diǎn)坐標(biāo)例5已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)答案(3,3)解析方法一由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)又(2,6)，由與共線，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)方法二設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則(x，y)，因?yàn)?4,4)，且與共線，所以，即xy.

9、又(x4，y)，(2,6)，且與共線，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三點(diǎn)共線問(wèn)題A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于與共線設(shè)(2,4)，(a,2)，(b,0)，a0，b0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，

10、B，C三點(diǎn)共線，則的最小值為_(kāi)答案解析由題意得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32)(當(dāng)且僅當(dāng)ba時(shí)，等號(hào)成立)11解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用典例(14分)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的上運(yùn)動(dòng)若xy，其中x，yR，求xy的最大值思維點(diǎn)撥可以建立平面直角坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，用三角函數(shù)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值規(guī)范解答解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0)，B(，)4分設(shè)AOC(0，)，則C(cos ，

11、sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，8分所以xycos sin 2sin()，11分又0，所以當(dāng)時(shí)，xy取得最大值2.14分溫馨提醒本題首先通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算，然后用三角函數(shù)的知識(shí)求出xy的最大值引入向量的坐標(biāo)運(yùn)算使得本題比較容易解決，體現(xiàn)了解析法(坐標(biāo)法)解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，凸顯出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)方法與技巧1平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵2根據(jù)向量共線可以證明點(diǎn)共線；利用兩向量共線也可以求點(diǎn)的坐標(biāo)或參數(shù)值失誤與

12、防范1要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個(gè)向量共線有方向相同、相反兩種情況2若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘)1.如圖，設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，給出下列向量組：與；與；與；與.其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是_答案解析中，不共線；中，不共線2已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，則向量ab_.答案(1,2)解析a(，)，b(，)，故ab(1,2)3已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c_.答案ab解析設(shè)cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.4已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實(shí)數(shù)，(ab)c，則_.答案解析ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，.5已知|1，|，0，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，且與的夾角為30，