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1、函數(shù)奇偶性的正判與錯判一、函數(shù)的奇偶性的判定函數(shù)奇偶性的判定方法較多，下面舉例介紹常見的判定方法1定義域判定法例1判定的奇偶性解：要使函數(shù)有意義，須，解得，定義域不關(guān)于原點對稱，原函數(shù)是非奇非偶函數(shù)評注：用定義域雖不能判定一個函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，但可以通過定義域不關(guān)于原點對稱，來否認(rèn)一個函數(shù)具有奇偶性2定義判定法例2判斷的奇偶性解：函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)是偶函數(shù)評注：在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，可根據(jù)定義判定函數(shù)奇偶性3等價形式判定法例3判定的奇偶性解：的定義域為，關(guān)于原點對稱，當(dāng)時，圖象過原點又時，又，為奇函數(shù)評注：常用等價變形形式有：假設(shè)或，那么為奇函數(shù)；假設(shè)或，那么為偶函數(shù)其中4

2、性質(zhì)判定法例4假設(shè)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，試判定的奇偶性解：在的公共定義域內(nèi)，任取一個，那么，分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，在上為奇函數(shù)評注：在兩個函數(shù)常函數(shù)除外的公共定義域關(guān)于原點對稱的前提下：兩個偶函數(shù)的和、差、積都是偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)二、判斷函數(shù)奇偶性易錯點初學(xué)函數(shù)奇偶性的同學(xué)，在利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性時，常會由于根底知識掌握不牢，產(chǎn)生以下幾種錯誤1.錯用定義例5判斷函數(shù)的奇偶性錯解：當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)是偶函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)是奇函數(shù)剖析：函數(shù)的奇偶性在關(guān)于原點對稱的定義域內(nèi)是一致的，不能把定義域分割開來，“當(dāng)時，函數(shù)是

3、偶函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)是奇函數(shù)這種說法本身就是錯誤的正解：當(dāng)時，；當(dāng)時，故函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)2.對函數(shù)本質(zhì)認(rèn)識不透例6判斷函數(shù)的奇偶性錯解：，且故此函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)剖析：外表上看，以上結(jié)論似乎無懈可擊，便考慮到函數(shù)的定義域是，值域是，故函數(shù)的解析式可簡化為，正解：，且故此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)3無視定義域?qū)е洛e誤例7判斷的奇偶性.錯解:,是偶函數(shù).例8. 判斷的奇偶性.錯解:是偶函數(shù).剖析：奇偶函數(shù)定義中隱含著一個重要條件：有奇偶性的函數(shù)的定義域D必是一個關(guān)于原點對稱的區(qū)間，也即如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于原點不對稱，那么這個函數(shù)無奇偶性。例7的定義域為，例8的定義域為，均關(guān)于原

4、點不對稱。因此，例7、例8的正確答案應(yīng)為：非奇非偶函數(shù).4無視對參數(shù)的討論導(dǎo)致錯誤例9.設(shè)m為實數(shù),函數(shù)試討論的奇偶性.錯解: ,函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).剖析：例9的錯誤在于無視了對參數(shù)m的討論,事實上,當(dāng)m=0時,函數(shù).此時是偶函數(shù).這種情況也應(yīng)該考慮.5.顧此失彼例10判斷函數(shù)的奇偶性錯解：當(dāng)時，；當(dāng)時，函數(shù)是奇函數(shù)剖析：盡管對于定義域內(nèi)的每一個，都有成立，但當(dāng)時，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)此外，應(yīng)特別注意，假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，那么對定義域內(nèi)的每一個，都有，特別當(dāng)屬于定義域時，有，所以因此，一般地，有以下結(jié)論：奇函數(shù)要么在處沒有定義，要么在處的函數(shù)值為0，即在例3中如果能去掉函數(shù)在處的定義或在處定義，那么這個函數(shù)就是奇函數(shù)了