最新04第四節(jié)定積分的換元法積分法和分部積分法.doc
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1、第四節(jié)定積分的換元法積分法跟分部積分法從上節(jié)微積分學(xué)的根本公式明白,求定積分的咨詢題能夠轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在區(qū)間上的增量咨詢題.從而在求不定積分時運用的換元法跟分部積分法在求定積分時仍實用,本節(jié)將詳細探討之,請讀者留意其與不定積分的差別.散布圖示定積分換元積分法例1例2例3例4例5例6例7例8定積分的分部積分法例9例10例11例12例13例14例15例16例17例18內(nèi)容小結(jié)講堂訓(xùn)練習(xí)題5-4前往內(nèi)容要點一、定積分換元積分法定理1設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上延續(xù),函數(shù)滿意前提:1且;2在(或)上存在延續(xù)導(dǎo)數(shù),那么有.(4.1)公式(4.1)稱為定積分的換元公式.定積分的換元公式與不定積分的換元公式非常相似.
2、然而,在運用定積分的換元公式時應(yīng)留意以下兩點:1用把變量x換成新變量t時,積分限也要換成響應(yīng)于新變量的積分限,且下限對應(yīng)于下限,下限對應(yīng)于下限;2求出的一個原函數(shù)后,不用象盤算不定積分那樣再把變更成原變量x的函數(shù),而只需把新變量t的上、下限分不代入而后相減就行了.二、定積分的分部積分法或.例題選講定積分換元積分法例1(E01)盤算.解令那么注:本例中,假如不分明寫出新變量那么定積分的上、下限就不要變,從新盤算如下:例2(E02)求定積分解令那么00由換元積分公式得注:在第一節(jié)的講堂訓(xùn)練中,咱們曾應(yīng)用定積分的多少何意思解此題并失掉一樣的后果.例3(E03)求定積分.解例4(E04)求定積分.解令
3、那么事先,事先,從而例5(E05)當(dāng)在上延續(xù),那么(1)當(dāng)為偶函數(shù),有;(2)當(dāng)為奇函數(shù),有.證在上式右端第一項中令那么(1)當(dāng)為偶函數(shù),即(2)當(dāng)為奇函數(shù),即例6(E06)盤算.解由于積分區(qū)間對稱于原點,且為偶函數(shù),為奇函數(shù),因此例7盤算解原式偶函數(shù)奇函數(shù)單元圓的面積例8(E07)假設(shè)在0,1上延續(xù),證實(1)(2)由此盤算證(1)設(shè)(2)設(shè)定積分的分部積分法例9(E08)盤算解令那么例10(E09)盤算定積分.解例11求解由分部積分公式得再用一次分部積分公式得從而例12(E10)盤算.解令那么事先,事先,因此有再運用分部積分法,令那么從而例13(E11)盤算定積分.解由于在上在上因此應(yīng)分兩個區(qū)間進展積分,因此例14已經(jīng)明白求.解令那么故因此例15(E12)已經(jīng)明白滿意方程求.解設(shè)那么有積分得或因此或例16(E13)導(dǎo)出(為非負整數(shù))的遞推公式.解易見事先從而失掉遞推公式重復(fù)用此公式直到下標為0或1,得此中為天然數(shù).注:依照例8的后果,有例17應(yīng)用上題論斷盤算00解令那么因此例18求函數(shù)在上的最年夜值與最小值.解令得駐點且在是恒年夜于0,故在上枯燥添加.事先,取最小值,最小值為事先,取最年夜值,最年夜值為即最年夜值最小值講堂訓(xùn)練1.盤算定積分.2.設(shè)在0,1上延續(xù),且求
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