《學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何..二面角訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第一冊(cè).docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何..二面角訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第一冊(cè).docx（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.4二面角課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知二面角-l-的兩個(gè)半平面與的法向量分別為a,b,且=6,則二面角-l-的大小為()A.6B.56C.6或56D.6或3答案C2.如圖,設(shè)AB為圓錐PO的底面直徑,PA為母線,點(diǎn)C在底面圓周上,若PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且COAB,則二面角P-AC-B的正弦值是()A.6B.427C.77D.7答案B解析如圖,取AC的中點(diǎn)D,連接OD,PD,PO底面,POAC,OA=OC,D為AC的中點(diǎn),ODAC,又POOD=O,AC平面POD,則ACPD,PDO為二面角P-AC-B的平面角.PAB是

2、邊長(zhǎng)為2的正三角形,PO=3,OA=OC=1,OD=22,則PD=(3)2+(22)2=142.sinPDO=POPD=3142=427.故選B.3.正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB與平面PCD所成的角為()A.30B.45C.60D.90答案B解析如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=AB=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是AD=(0,1,0),取PD的中點(diǎn)E,則E0,12,12,AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的法向量,AE是平面PCD的法向量,cos=22,平面PAB與平面PCD所成的角為45.4.請(qǐng)根據(jù)

3、所給的圖形,把空白之處填寫(xiě)完整.(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理(請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言作答).如圖,已知:a,求證:.(2)平面與平面垂直的性質(zhì)定理的證明.如圖,已知:,ABCD=B,=CD,求證:AB.證明:在內(nèi)引直線,垂足為B,則是二面角的平面角,由,知,又ABCD,BE和CD是內(nèi)的兩條直線,所以AB.解(1)已知:a,a,=b,求證:ab.故答案為a,=b;ab.(2)如圖,已知:,ABCD=B,=CD,AB,ABCD,求證:AB.證明:在內(nèi)引直線BECD,垂足為B,則ABE是二面角-CD-的平面角,由,知ABBE,又ABCD,BE和CD是內(nèi)的兩條相交直線,所以AB.故答案為AB,ABCD,BEC

4、D,ABE,-CD-,ABBE,相交.5.已知點(diǎn)O在二面角-AB-的棱上,點(diǎn)P在平面內(nèi),且POB=60.若直線PO與平面所成的角為45,則二面角-AB-的正弦值為.答案63解析如圖,過(guò)點(diǎn)P作PE,垂足為E,過(guò)點(diǎn)E作EFAB,垂足為F,連接OE,PF,則POE為直線PO與平面所成的角,PFE為二面角-AB-的平面角.設(shè)OP=2a,則在RtPEO中,由POE=45,可得PE=a;在RtPFO中,由POF=60,可得PF=2asin60=62a;在RtPEF中,sinPFE=PEPF=a62a=63,即二面角-AB-的正弦值為63.6.在空間中,已知平面過(guò)(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(

5、0,0,a)(a0),如果平面與平面xOy所成的角為45,則a=.答案125解析平面xOy的法向量n=(0,0,1),設(shè)平面的法向量為u=(x,y,z),則-3x+4y=0,-3x+az=0,即3x=4y=az,取z=1,則u=a3,a4,1.而cos=1a29+a216+1=22,又a0,a=125.7.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA平面ABCD,PA=AD=AC,點(diǎn)F為PC的中點(diǎn),求二面角C-BF-D的正切值.解如圖所示,設(shè)AC與BD交于O,連接OF,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)PA=AD=AC

6、=1,則BD=3,所以O(shè)(0,0,0),B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,OC=0,12,0,易知OC為平面BDF的一個(gè)法向量.由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可得平面BCF的一個(gè)法向量為n=(1,3,3),所以cos=217,sin=277,所以tan=233.8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.(1)證明:PABD;(2)設(shè)PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.(1)證明因?yàn)镈AB=60,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD.從而B(niǎo)D2+AD2=AB2,故BDAD.又PD底面ABCD

7、,可得BDPD,所以BD平面PAD.故PABD.(2)解如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng),射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,3,0),P(0,0,1).AB=(-1,3,0),PB=(0,3,-1),BC=(-1,0,0).設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則nAB=0,nPB=0,即-x+3y=0,3y-z=0,因此可取n=(3,1,3).設(shè)平面PBC的法向量為m=(a,b,c),則mPB=0,mBC=0,即3b-c=0,-a=0,可取m=(0,-1,-3),cos=-427=-277.由圖形知二面角A-PB-C大

8、小為鈍角,故二面角A-PB-C的余弦值為-277.9.正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)等于2,E,F分別是BD,AC的中點(diǎn).求:(1)直線AB和平面ACD所成角的正弦值;(2)二面角B-CD-A的余弦值.解如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,正方體的棱長(zhǎng)等于2,E,F分別是BD,AC的中點(diǎn),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,2),B(2,2,2),E(1,1,2),F(1,1,0).(1)AD=(-2,0,2),AC=(-2,2,0),AB=(0,2,2),設(shè)n=(x,y,z)是平面ACD的一個(gè)法向量,則由nAD=0,nAC=0,(x,y,z)(-2,0,2)=0,(

9、x,y,z)(-2,2,0)=0,z=x,y=x,取x=1,得平面ACD的一個(gè)法向量n=(1,1,1),設(shè)直線AB和平面ACD所成角的大小為,則sin=|nAB|n|AB|=|(1,1,1)(0,2,2)|38=63,直線AB和平面ACD所成角的正弦值是63.(2)DB=(2,2,0),DC=(0,2,-2),設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面BCD的一個(gè)法向量,則由mDB=0,mDC=0得x0=-y0,z0=y0,取y0=1得平面BCD的一個(gè)法向量m=(-1,1,1),由cos=nm|n|m|=(1,1,1)(-1,1,1)33=13,由圖形知二面角B-CD-A的大小為銳角.故二面角B-CD-

10、A的余弦值是13.關(guān)鍵能力提升練10.二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,則該二面角的大小為()A.150B.45C.60D.120答案C解析由條件知,CAAB=0,ABBD=0,CD=CA+AB+BD.|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CAAB+2ABBD+2CABD=62+42+82+268cos=(217)2,cos=-12,即=120,二面角的大小為60,故選C.11.設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)均相等,P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)).記直線PB與直線AC所成

11、的角為,直線PB與平面ABC所成的角為,二面角P-AC-B的平面角為,則()A.,B.,C.,D.,答案B解析如圖G為AC中點(diǎn),點(diǎn)V在底面ABC上的投影為點(diǎn)O,則點(diǎn)P在底面ABC上的投影點(diǎn)D在線段AO上,過(guò)點(diǎn)D作DE垂直AE,易得PEVG,過(guò)點(diǎn)P作PFAC交VG于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D作DHAC,交BG于點(diǎn)H,則=BPF,=PBD,=PED,所以cos=PFPB=EGPB=DHPB,因?yàn)閠an=PDEDPDBD=tan,所以.故選B.12.如圖,將菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使得C點(diǎn)至C,E點(diǎn)在線段AC上,若二面角A-BD-E與二面角E-BD-C的大小分別為30和45,則AEEC=()A.12B.66

12、C.22D.63答案C解析取BD的中點(diǎn)O,連接AO,EO,CO,菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使得C點(diǎn)至C,E點(diǎn)在線段AC上,COBD,AOBD,OC=OA,BD平面AOC,EOBD.二面角A-BD-E與二面角E-BD-C的大小分別為30和45,AOE=30,EOC=45,OC=OA,OCE=OAE,由正弦定理得OEsinOCE=ECsinEOC,OEsinOAE=AEsinAOE,ECsinEOC=AEsinAOE,AEEC=sin30sin45=1222=22.故選C.13.如圖所示,將邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC,沿BC邊上的高線AD將ABC折起.若折起后B,C間距離為a2,則二面角B-AD

13、-C的大小為.答案6014.如圖,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)將ABE沿AE折起得到ABE,當(dāng)二面角B-AE-D的平面角為120,點(diǎn)B在平面ABC上的投影為K,當(dāng)E從B運(yùn)動(dòng)到C,則點(diǎn)K所形成軌跡是.答案一段圓弧解析過(guò)K作KOAE,連接OB,二面角B-AE-D的平面角為120,BOK=60,KO=12BO,從而原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為BOAE,K為BO中點(diǎn),求K的軌跡長(zhǎng)度,如右圖,BOAE,O在以AB為直徑的圓上,取AB中點(diǎn)J,則JKBK,所以K點(diǎn)的軌跡是以BJ為直徑的圓上的一段弧.15.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC底面ABCD,四邊形ABCD是直角梯形,ABAD,ABCD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點(diǎn).若二面角P-AC-E的余弦值為33,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.解如圖,作CFDA,交AB于點(diǎn)F,以C為原點(diǎn),CF,CD,CP分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).設(shè)P(0,0,a)(a0),則E12,-12,a2,CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=12,-12,a2,取m=(1,-1,0),則mCA=mCP=0,所以m為平面PAC的一個(gè)法向量.